張 琪, 徐繼尚

(中國海洋大學海洋地球科學學院，海底科學與探測技術教育部重點實驗室，山東 青島 266100)

研究簡報

波致Gibson粉土質(zhì)海床累積孔壓響應的簡化分析*

張 琪, 徐繼尚**

(中國海洋大學海洋地球科學學院，海底科學與探測技術教育部重點實驗室，山東 青島 266100)

基于累積孔隙水壓的控制方程，采用有限差分法求解了波浪作用下Gibson粉土質(zhì)海床的累積孔隙水壓。首先采用有限差分法求解了均勻及雙層海床的累積孔隙水壓，通過與解析解對比，驗證了該方法的準確性。其次針對Gibson粉土質(zhì)海床累積孔壓計算量大的缺點，提出了利用等效替代法獲取簡化土體性質(zhì)參數(shù)的思路，并設計算例予以驗證。計算結(jié)果表明：在一定的時間尺度內(nèi)，可將Gibson土簡化為雙層土體，簡化運算減少了孔壓計算量，方便工程應用。

Gibson海床；固結(jié)；累積孔隙水壓；有限差分法；等效替代法

通過現(xiàn)場觀測和試驗研究，目前認為波浪作用下海床的動力響應可根據(jù)孔隙水壓生成機制的不同分為兩類：瞬時孔隙水壓和累積孔隙水壓。瞬時孔隙水壓通常呈周期性變化，一般存在振幅衰減和相位滯后[1]。累積孔隙水壓指循環(huán)剪應力導致松散的海床土體顆粒壓縮，造成的孔壓隨時間增長的現(xiàn)象[2]。與地震作用下的土體液化類似，波致累積孔隙水壓通常發(fā)生在荷載的初始階段，如果孔壓不能及時消散會引起海床土體的液化破壞。

現(xiàn)有對累積孔隙水壓的研究主要是根據(jù)不排水循環(huán)三軸試驗建立孔隙水壓增長模式，通過求解修正的Biot固結(jié)方程，得到孔壓解析解[3]和數(shù)值解[4]。 Seed[4]構(gòu)建了一維有限元模型用于計算海床土的累積孔隙水壓，并以1964年日本新潟地震的某一典型砂層為例估算了孔隙水壓力的變化過程。McDougal[5]在求解Biot固結(jié)方程時對累積孔壓比和循環(huán)應力比做了線性近似，得到了適用于不同厚度海床的累積孔壓解析解。Sumer[6]給出線性推進波作用下均勻海床累積孔隙水壓的解析解，并提出了一種預測海床累積孔壓的隨機游走模型。Cheng[7]采用有限差分法求解了推進波作用下均勻土體的累積孔隙水壓，發(fā)現(xiàn)海床厚度較大時，孔壓對表層土剪切力比較敏感。Jeng[8]利用拉普拉斯變換得到了波浪荷載下無限厚海床累積孔壓的簡化解，通過變動參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，相對水深減小或波陡增大時，海床更易發(fā)生累積液化。

然而，以上研究針對的都是均勻海床，而實際海床通常是不均勻的。例如，對具有一定沉積歷史的海床，固結(jié)過程的增密效應和上層土體的壓實作用往往導致剪切模量及滲透系數(shù)隨深度連續(xù)變化[9]。因此，工程中用到的Gibson土可能更符合實際情況。Gibson土是指剪切模量及滲透系數(shù)隨深度連續(xù)變化的非均質(zhì)彈性半空間土體模型[10]。目前關于海床累積液化的研究主要針對的是均勻或雙層土體，對諸如Gibson土等非均勻土體的研究較少。劉占閣[11]運用分離變量法和格林函數(shù)得到了推進波作用下三層海床累積孔壓解析解，不過在分析土況參數(shù)對累積孔壓的影響時仍將海床視為雙層土體。ZHU Jieran[12]采用橢圓余弦波理論計算淺水區(qū)域海床面的波壓力，引入雙曲線模型來描述累積孔壓比和循環(huán)應力比的關系，進而分析了雙層海床的累積孔壓響應。

本文采用有限差分法求解了線性推進波作用下Gibson粉土質(zhì)海床的累積孔隙水壓，通過算例分析得到了與Gibson土孔壓變化規(guī)律相似的簡化土體的性質(zhì)參數(shù)，這樣在求解Gibson海床累積孔隙水壓時可用簡化土體近似代替它，方便了工程應用。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

假定土骨架和孔隙流體是可壓縮的，土骨架應變足夠小，且應力應變關系符合Hooke定律，土中滲流滿足Darcy定律。根據(jù)應力平衡方程、彈性本構(gòu)關系及流體連續(xù)性條件，Biot[13]建立了三維Biot固結(jié)方程。該方程能準確反映孔隙水壓消散與土骨架變形的耦合關系，又稱為“真三維固結(jié)理論”[14]。

雖然Biot固結(jié)理論與實際情況接近，不過卻不便計算[15]。為此，本文僅考慮滲流發(fā)生在垂向的情形。當海床厚度大于等于波長的一半，即h≥L/2時，多孔飽和彈性海床瞬時孔隙水壓力Posc和剪應力τxz與土況參數(shù)無關，表述如下：

Posc=Pb×exp(-kz)×cos(kx+wt)，

(1)

τxz=Pb×kz×exp(-kz)×cos(kx+wt)。

(2)

為了確定波浪作用下海床土孔隙水壓發(fā)展規(guī)律，需要建立不排水條件下孔隙水壓力發(fā)展模式?，F(xiàn)將一維Biot固結(jié)理論和不排水條件下的孔壓增長模式相結(jié)合，得到海床累積孔壓Pres的控制方程：

(3)

式中cv(z)為土體深度z處的固結(jié)系數(shù)，由下式給出：

(4)

其中：G(z)為剪切模量；K(z)為滲透系數(shù)；rw為水容重；v為泊松比。公式(3)中，f(z)為累積孔壓源項，通常與土體相對密度、初始循環(huán)剪應力比等有關，表征了單位時間單位孔隙體積內(nèi)孔壓的生成速率[16]，即：

(5)

(6)

(7)

式中：N為波浪加載次數(shù)；Nl為引起土體液化的波浪加載次數(shù)，是循環(huán)剪應力比的函數(shù)：

(8)

α和β是與土體相對密度(Dr)有關的經(jīng)驗參數(shù)，本文參考McDougal[5]表1和圖3中的土況參數(shù)，取α=0.246，β=-0.165，Dr=0.54。當海床厚度不小于半波長時，

f(z)=Azexp(-λz)，

(9)

(10)

(11)

其中：r′為土體浮容重；rs為土容重；K0為土體靜壓力系數(shù)。

1.2 初始及邊界條件

假定海水表面存在線性推進波，海床表面水平，為透水邊界；海床底部為不透水邊界(見圖1)。

求解方程 (3)需要給出初始條件和邊界條件，由于海床表面為完全透水界面，累積孔壓始終為0，即：

(12)

海床基底為不透水邊界，垂向孔壓梯度為0，即：

(13)

初始時刻，海床內(nèi)無孔壓累積，即：

(14)

在深度z=m處上下分別選取厚度為Δm的土體微元，當Δm很小時，該微元體可視為均質(zhì)體，滲透系數(shù)為K(m)，固結(jié)系數(shù)為cv(m)，累積孔壓為Pres(z,t)；同樣深度m至m+Δm處土體微元的滲透系數(shù)為K(m+Δm)，固結(jié)系數(shù)為cv(m+Δm)，累積孔壓為Pres′(z,t)。這樣，深度z=m-Δm至z=m+Δm的Gibson土可視為固結(jié)系數(shù)不同的雙層土體。由達西定律和流速連續(xù)性條件有：

(15)

1.3 構(gòu)建差分格式

對深度z=m-Δm至z=m的土體，一維Biot固結(jié)方程(3)連同邊界條件和初始條件(等式(12)-(15))可利用有限差分法求解。本文采用經(jīng)典顯式差分，差分格式構(gòu)造如下：

(16)

為了提高邊界節(jié)點的誤差階，對兩個一階中心差商

(17)

(18)

(19)

化簡，得：

(20)

再將(17)式和(18)式代入(20)式，有：

(21)

(22)

這樣，(15)式變?yōu)椋?/p>

(23)

特別地，當z=h時，垂向孔壓梯度為0：

(24)

2 計算結(jié)果驗證

2.1 均勻海床累積孔隙水壓有限差分解與解析解的對比

Clukey[19]根據(jù)水槽實驗測量了波浪荷載下飽和粉土質(zhì)海床的累積孔隙水壓，本文為了驗證均勻海床累積孔壓有限差分解的準確性，在設計算例時參考其設置的波浪和土況參數(shù)，具體為：線性推進波，周期T=1.76s，波長L=3.473m，水深d=0.5m，波高H=0.22m；均勻海床，泊松比u=0.49，剪切模量G=5.6×105N/m2，K=4×10-8m/s，水容重rw=9806N/m3，土體浮容重r′=8500N/m3，靜壓力系數(shù)K0=0.4，海床厚度h=2m，經(jīng)驗系數(shù)α=0.246，經(jīng)驗系數(shù)β=-0.165。

考慮到孔壓計算模型僅適用于厚度大于半波長的海床，將Clukey水槽實驗中的海床厚度h設置為2 m。參考Jeng[8]求取累積孔隙水壓使用的解析解方法，將有限差分法得到的累積孔壓數(shù)值解及解析解對比結(jié)果如圖2。

2.2 雙層海床累積孔隙水壓有限差分解與解析解的對比

對雙層海床，參考劉占閣[11]設置的波浪參數(shù)，設計算例，具體為：線性推進波，周期T=7s，波長L=40m，水深d=4m，波高H=2.75m；上層海床，泊松比u=0.49，剪切模量G=52 353 N/m2，K=0.000 1m/s，水容重rw=10 000N/m3，土體浮容重r′=10000N/m3，靜壓力系數(shù)K0=0.4，海床厚度h=10m，經(jīng)驗系數(shù)α=0.246，經(jīng)驗系數(shù)β=-0.165；下層海床，泊松比u=0.49，剪切模量G=26 177N/m2，K=0.00005m/s，水容重rw=10000N/m3，土體浮容重r′=10000N/m3，靜壓力系數(shù)K0=0.4，海床厚度h=20m，經(jīng)驗系數(shù)α=0.246，經(jīng)驗系數(shù)β=-0.165。

將累積孔壓有限差分數(shù)值解與劉占閣的解析解對比結(jié)果如圖3。

圖2和3顯示，在不同時刻均勻及雙層海床累積孔壓的數(shù)值解與解析解吻合，說明利用有限差分法求解此類土體的累積孔壓是可行的。

3 Gibson粉土質(zhì)海床累積孔隙水壓的簡化分析

由于現(xiàn)階段尚未對波浪作用下Gibson海床的累積孔隙水壓響應展開深入研究，缺乏相應的數(shù)值解和解析解。因此，工程上在求取該類土體的累積孔壓時，只能將其簡化為均勻或雙層土體，雖然計算簡單，不過簡化土體的土況與Gibson土差異較大，孔壓解可能不太準確?？紤]到對實際三維Gibson海床，當海床較厚或土性參數(shù)在橫向變化劇烈時，采用有限差分法求解累積孔壓需要將土體劃分為極為精細的網(wǎng)格，這將極大地增加孔壓計算量，不便于工程應用。本節(jié)基于Gibson海床累積孔壓的有限差分解，采用等效替代法得到了簡化土體的性質(zhì)參數(shù)，只需獲取Gibson海床表面的土性參數(shù)即可判斷累積孔壓的大小及變化規(guī)律，既保證了孔壓解的準確性，又簡化了運算，可為工程上研究此類土體的累積孔壓變化規(guī)律提供參考。

Jeng[20]基于Byrant[21]和Suzuki[22]取自墨西哥灣的海底沉積物樣品所做的固結(jié)實驗，擬合得到了Gibson海床滲透系數(shù)及剪切模量隨深度變化的函數(shù)，如式(25)和(26)所示：

K(z)=Ks·exp(-4.69z/h)，

(25)

G(z)=Gs·(1+15z/h)。

(26)

式中，Ks和Gs分別表示海床表面的滲透系數(shù)和剪切模量，由于Gibson海床的滲透系數(shù)及剪切模量均隨深度變化，直接確定簡化土體的性質(zhì)參數(shù)有些困難。為此，本文首先對滲透系數(shù)或剪切模量隨深度變化的土體做了簡化，進而得到Gibson海床的簡化土體的性質(zhì)參數(shù)，現(xiàn)考慮以下3種土體的累積孔壓響應：

土體a：滲透系數(shù)隨深度指數(shù)減小，剪切模量不變；

土體b：滲透系數(shù)不變，剪切模量隨深度線性增大；

土體c：滲透系數(shù)隨深度指數(shù)減小，剪切模量隨深度線性增大。

王立忠[23]在研究波浪作用下砂質(zhì)及粉質(zhì)海床的孔壓響應時發(fā)現(xiàn)，砂質(zhì)海床不會出現(xiàn)孔壓累積現(xiàn)象，而粉質(zhì)海床的孔壓累積現(xiàn)象明顯。因此，本文在設計土況參數(shù)時也只考慮粉質(zhì)海床的情況，參考王立忠[23]水槽實驗選用的粉土海床參數(shù)以及王棟[24]在分析波浪作用下海床動力響應時用到的線性推進波參數(shù)，設計算例A，具體為：線性推進波，周期T=5.49 s，波長L=40 m，水深d=8 m，波高H=1 m；Gibson海床，泊松比u=0.49，海床面剪切模量Gs=1.1×106N/m2，海床面滲透系數(shù)Ks=2.1×10-7m/s，水容重rw=10 000 N/m3，土體浮容重r‵=10 000 N/m3，靜壓力系數(shù)K0=0.4，海床厚度h=24 m，經(jīng)驗系數(shù)α=0.246，經(jīng)驗系數(shù)β=-0.165。

3.1 土體a累積孔隙水壓響應的簡化分析

對土體a，假定可以將其等效為均勻土體d，該土體的滲透系數(shù)為K，剪切模量與土體a相同，如果它具有與a相似的累積孔壓變化規(guī)律，那么在分析復雜土體a的孔壓響應特點時，可用均勻土體d代替它。圖4給出了對土體d取不同的滲透系數(shù)，兩種土體在波浪作用3 000T時累積孔壓隨深度的對比曲線，不難看出當K=0.75Ks時，土體d的累積孔壓幅值及孔壓隨深度的變化規(guī)律與a最接近。圖5顯示，如果波浪作用時間不超過3 000T，滲透系數(shù)為0.75Ks的土體d的累積孔壓幅值與a相差較小，且兩種土體孔壓隨深度的變化趨勢相同。

為了探究在不同的波浪條件下，當土體a的性質(zhì)參數(shù)發(fā)生變化時，滲透系數(shù)為0.75Ks的土體d與a的累積孔壓是否接近。參考劉紅軍[25]研究黃河三角洲土體強度時所使用的波浪及粉土質(zhì)海床參數(shù)，設計算例B，具體為：線性推進波，周期T=7 s，波長L=46.16 m，水深d=5 m，波高H=1 m；Gibson海床，泊松比u=0.33，海床面剪切模量Gs=107N/m2，海床面滲透系數(shù)Ks=10-8m/s，水容重rw=10 000 N/m3，土體浮容重r‵=10 000 N/m3，靜壓力系數(shù)K0=0.4，海床厚度h=30 m，經(jīng)驗系數(shù)α=0.246，經(jīng)驗系數(shù)β=-0.165。

現(xiàn)作出當K=0.75Ks時，土體a和d在算例B所示的波浪及土況條件下累積孔壓隨深度的對比曲線：

可見，對不同的波浪和土況條件，當K=0.75Ks時，如果波浪作用時間不超過3 000T，土體d的累積孔壓幅值與a相差較小，且孔壓隨深度的變化趨勢與a相同，均表現(xiàn)出隨深度先增大后減小的特征。因此，可用滲透系數(shù)為0.75Ks的均勻土體來代替它。

3.2 土體b累積孔隙水壓響應的簡化分析

通過對比均勻土體與土體b累積孔壓隨深度的分布曲線發(fā)現(xiàn)，兩種土體累積孔壓相差較大。因此，均勻土體可能不適合作為土體b的等效土體。本文假定可以將土體b等效為雙層土體e，土體e的滲透系數(shù)與b相同，其上層土的剪切模量為G1，下層土的剪切模量為G2。大量的數(shù)值實驗表明，對算例A所示的波浪及土況條件，當G1=1.4Gs，G2=6.5Gs，上層海床厚度為5 m時，如果波浪作用時間不超過3 000T，土體e和b在不同時刻的累積孔壓變化規(guī)律相同，且孔壓值相差較小(見圖7、8)，因此，可將土體b簡化為雙層土體。

為了探究在不同的波浪條件下，當土體b的性質(zhì)參數(shù)發(fā)生變化時，是否仍可將其簡化為上層滲透系數(shù)為1.4Gs，下層滲透系數(shù)為6.5Gs，上下層分界深度為5 m的雙層土體。參考算例B的波浪及土況參數(shù)，繪制兩種土體累積孔壓隨深度的對比曲線(見圖9)。

圖9顯示，對算例B所示的波浪及土況條件，當上層海床厚度為5m，G1=1.4Gs，G2=6.5Gs時，如果波浪作用時間不超過3 000T，土體b與e的累積孔壓值接近，且兩種土體具有相同的孔壓變化規(guī)律。試驗證明，可對土體b做這種簡化分析。

3.3 土體c累積孔隙水壓響應的簡化分析

基于得到的土體a和b的簡化土體的性質(zhì)參數(shù)，在討論土體c累積孔壓的變化規(guī)律時，假定能夠選用某一雙層土體f來替代它，且f滿足以下3個條件：

(1)上下層的滲透系數(shù)相同，其值為土體c海床面滲透系數(shù)的0.75倍，即K=0.75Ks。

(2)上下層剪切模量分別為土體c海床面剪切模量的1.4倍和6.5倍，即G1=1.4Gs，G2=6.5Gs。

(3)上下層分界深度為5 m。

為了驗證上述假設是否合理，參考算例A和B中的波浪及土況參數(shù)，繪制兩種土體累積孔壓隨深度的對比曲線，如下：

可見，當雙層土體f滿足上述假設時，對不同的波浪及土況條件，如果波浪作用時間小于3 000T，土體f與c的累積孔隙水壓值相差較小，且孔壓隨深度的變化規(guī)律與c相同。因此，可以將土體c簡化為雙層土體，且該雙層土體的性質(zhì)參數(shù)滿足上述3個條件。當波浪作用時間大于3 000T，雖然土體f與c累積孔壓隨深度的變化規(guī)律相同，不過兩種土體孔壓相差較大。圖11顯示當波浪作用時間為8 000T，對算例A所示的波浪及土況條件，6 m以深處土體f累積孔壓隨深度的分布曲線明顯偏離土體c。因此，不宜選用土體f作為c的等效土體。

4 結(jié)語

本文提出并驗證了利用等效替代法計算線性推進波作用下Gibson粉土質(zhì)海床累積孔隙水壓的思路，驗證結(jié)果表明：在3 000個波周期內(nèi)，對滲透系數(shù)和剪切模量分別滿足(25)式和(26)式的Gibson海床，可將其簡化為雙層土體，該土體上下層的分界深度為5 m；雙層土體上下層的滲透系數(shù)相同，均為海床面滲透系數(shù)的0.75倍；上下層土體的剪切模量分別為海床面剪切模量的1.4和6.5倍。等效替代法的優(yōu)勢在于只需獲取Gibson海床表面處的土性參數(shù)即可預測不同深度位置的累積孔壓，因而能極大地減少孔壓運算量，方便工程應用。

需要說明的是，在3 000個波周期內(nèi)，Gibson土與雙層土體的累積孔壓隨深度的變化規(guī)律相同，且孔壓幅值相近，而當波浪作用時間超過3 000個波周期時，兩種土體孔壓幅值相差較大，因此，只有當波浪作用時間小于3 000個波周期時才能對Gibson土做上述等效替代。另外，上述等效替代對滲透系數(shù)和剪切模量滿足(25)式和(26)式的Gibson土體是有效的，尚不清楚是否可以將其他土體簡化為雙層土體，這也是論文下一步要做的工作。

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責任編輯 徐 環(huán)

Simplified Analysis of Wave-Induced Residual Pore Pressure Response in Gibson Silty Seabed

ZHANG Qi, XU Ji-Shang

(College of Marine Geosciences, Key Lab of Submarine Sciences & Prospecting Techniques, Ministry of Education, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Finite difference method is employed to calculate the wave-induced residual pore pressure in Gibson silty seabed based on the governing equation of residual pore pressure. Finite difference method is employed to calculate the wave-induced residual pore pressure in the uniform and two-layer seabed, and analytic solutions are used to validate the method. Considering the large computation effort of the residual pore pressure in the Gibson silty seabed, equivalent substitution method is proposed to obtain the properties of simplified soil, and numerical examples are designed to prove the effectiveness of this method. Numerical results indicate that Gibson soil could be reduced to two-layer soil in a definite time scale, and equivalent substitution method has the advantage of decreasing the computation complexity, which is convenient for engineering application.

Gibson seabed; consolidation; residual pore pressure; finite-difference method; equivalent substitution method

國家自然科學基金項目(51479182；41006024) 資助

2015-09-13；

2015-10-19

張 琪(1990-)，男，碩士生。E-mail:noweiciji@126.com

** 通訊作者： E-mail: jishangxu@ouc.edu.cn

TU431

A

1672-5174(2017)04-073-08

10.16441/j.cnki.hdxb.20150318

張琪, 徐繼尚. 波致Gibson粉土質(zhì)海床累積孔壓響應的簡化分析[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版), 2017, 47(4): 73-80.

ZHANG Qi, XU Ji-Shang. Simplified analysis of wave-induced residual pore pressure response in Gibson silty seabed[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(4): 73-80.

Supported by the National Natural Science Foundation of China (51479182，41006024)