江蘇省鹽城中學(xué) 何 瑩

巧用函數(shù)思想，妙解數(shù)學(xué)問題

江蘇省鹽城中學(xué) 何 瑩

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的思想方法，它涉及知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，綜合應(yīng)用強(qiáng)，解法靈活多樣，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性、靈活性和創(chuàng)造性，提升學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意有效滲透函數(shù)思想，巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義、性質(zhì)、圖象、值域等函數(shù)思想載體去分析、轉(zhuǎn)化和解決問題，從而使問題得以快速、巧妙、準(zhǔn)確、有效地解決。對(duì)此，筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，就如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生巧用函數(shù)思想妙解數(shù)學(xué)問題略談了如下看法，以供參考。

一、利用函數(shù)定義，有效解決數(shù)學(xué)問題

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的基本定義是：設(shè)A、B是非空數(shù)集，若根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），x∈A。其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

函數(shù)定義是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。靈活運(yùn)用函數(shù)定義解決數(shù)學(xué)問題，既可以深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，又可以提高學(xué)生應(yīng)用函數(shù)定義解題的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。許多學(xué)生在解函數(shù)問題時(shí)感覺束手無策，無從下手，究其主要原因是學(xué)生對(duì)函數(shù)定義理解不透徹，把握不當(dāng)，因此在平時(shí)教學(xué)中，教師要注意強(qiáng)化函數(shù)概念，增強(qiáng)學(xué)生解題能力。

例1 若f（x）與g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且方程x-f[g（x）]=0有實(shí)數(shù)解，則g[f（x）]不可能為（）

解析：此題乍看之下學(xué)生可能無從下手，但若能結(jié)合函數(shù)定義，則可使問題豁然開朗。方程x-f[g（x）]=0有實(shí)數(shù)解，設(shè)解為a，將其代入得a-f[g（a）]=0，把方程看成函數(shù)，這樣a-f[g（a）]=0可理解成在g（x）定義域中存在元素a經(jīng)過映射g，設(shè)對(duì)應(yīng)的象為b，b經(jīng)過映射f后，在f（x）的值域中存在a與之相對(duì)應(yīng)。這樣對(duì)于g[f（x）]而言，函數(shù)定義可知存在b，使得g[f（b）]=b成立，即方程g[f（x）]=x有解，將上述選項(xiàng)中的答案逐一代入進(jìn)行驗(yàn)證，可知g[f（x）]不可能為x2+x+，故應(yīng)選D。

例2 已知集合M=｛a，b，c｝，N={-2，0，2}，求建立從M到N且滿足f（a）+f（b）+f（c）=0的函數(shù)f的個(gè)數(shù)。

解析：許多學(xué)生在解答本題時(shí)往往束手無策，不知如何下手。事實(shí)上，本題的解題突破口是正確理解f（a）+f（b）+f（c）=0這一函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的基本定義不難發(fā)現(xiàn)，f（a），f（b），f（c）三個(gè)函數(shù)均是屬于集合N中的元素，因而此題可以轉(zhuǎn)化為從N中可任意取3個(gè)元素（可重復(fù)）滿足f（a）+f（b）+f（c）=0這一已知條件。由于每個(gè)式子對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)關(guān)系，又由于f（a）+f（b）+f（c）=0的表達(dá)式僅有0+0+0=0或-2+0+2=0，因此，滿足題意要求的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為：。

點(diǎn)評(píng)：在解某些數(shù)學(xué)問題的過程中，靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義解題，往往可以收到事半功倍的效果。

二、把握函數(shù)性質(zhì)，靈活解決數(shù)學(xué)問題

函數(shù)的基本性質(zhì)主要包括了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等方面，函數(shù)性質(zhì)是歷年高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容。在解某些問題時(shí)，若能善于挖掘問題的隱含條件，有效構(gòu)造函數(shù)，靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，往往可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的，從而使問題迎刃而解。因此，在平時(shí)函數(shù)教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)性質(zhì)，把握好函數(shù)內(nèi)涵的外延和本質(zhì)特征，為數(shù)學(xué)解題奠定良好的基礎(chǔ)。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及等差數(shù)列性質(zhì)的掌握情況和學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

三、結(jié)合函數(shù)圖象，輕松解決數(shù)學(xué)問題

函數(shù)圖象是函數(shù)的基本表達(dá)形式之一，是研究和表述函數(shù)的重要工具，它將函數(shù)的變化趨勢(shì)直觀化，以圖形的形式直觀地展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)特征，借助函數(shù)圖象的直觀性解題，可以簡(jiǎn)化解題過程，使問題得以輕松獲解。

例4 若不等式x2+ax+1≥0對(duì)于一切x∈（0，]成立，則a的最小值是（）

點(diǎn)評(píng)：巧妙地結(jié)合函數(shù)圖象分析和解決數(shù)學(xué)問題，往往可以使一些看似復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單化，從而迅速找到問題的突破口，巧妙求解。

總之，函數(shù)思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有廣泛性、多樣性、靈活性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)。在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視函數(shù)思想的有效滲透和靈活運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)問題中隱含的函數(shù)思想，學(xué)會(huì)巧用函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象來分析、轉(zhuǎn)化和解決問題，從而幫助學(xué)生掌握函數(shù)思想，提升學(xué)生思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。