周長志,孫佳龍,郭淑艷

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟(jì)南 250102； 2. 淮海工學(xué)院測繪與海洋信息學(xué)院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發(fā)研究院, 江蘇 連云港 222001)

基于移動(dòng)-多面函數(shù)的高程異常擬合方法

周長志1,孫佳龍2,3,4,郭淑艷2

(1. 山東省國土測繪院,山東 濟(jì)南 250102； 2. 淮海工學(xué)院測繪與海洋信息學(xué)院, 江蘇 連云港 222001； 3. 海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 青島 266590； 4. 江蘇省海洋資源開發(fā)研究院, 江蘇 連云港 222001)

將多面函數(shù)擬合法獲得局部區(qū)域的最優(yōu)結(jié)果作為移動(dòng)二次曲面擬合時(shí)選擇搜索半徑的依據(jù)。然后，將獲得的搜索半徑作為最優(yōu)擬合距離，運(yùn)用移動(dòng)二次曲面法實(shí)現(xiàn)了高程異常擬合，即移動(dòng)-多面函數(shù)擬合方法。以某區(qū)域獲取的高程異常作為實(shí)例，比較了3種方法的擬合精度。結(jié)果顯示，移動(dòng)二次曲面法、多面函數(shù)和移動(dòng)多面函數(shù)的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動(dòng)-多面函數(shù)法比另外兩種方法的擬合精度都高。

高程異常；移動(dòng)曲面擬合法；多面函數(shù)擬合法

確定高程異常的傳統(tǒng)方法有很多種，主要包括平面擬合法、曲面擬合法、加權(quán)均值法、多面函數(shù)法、移動(dòng)曲面法等。這些方法將所有待估參數(shù)作為非隨機(jī)的變量，然后根據(jù)經(jīng)典的最小二乘原理來解算最佳估值[1-3]。然而，擬合函數(shù)僅僅可看作高程異常數(shù)值的一個(gè)趨勢面，其與實(shí)際的高程異常之間不可避免地會(huì)存在差別。其中，在有復(fù)雜地質(zhì)條件的高山地區(qū)，這個(gè)差異會(huì)增大。目前，國內(nèi)大量的實(shí)際運(yùn)用和國外學(xué)者的研究成果顯示，在地形出現(xiàn)起伏較陡或測區(qū)范圍很大時(shí)，似大地水準(zhǔn)面可能會(huì)出現(xiàn)較為復(fù)雜的形狀[4-6]。在不同的GPS測區(qū)中，這些擬合GPS高程的模型法根據(jù)自身的特點(diǎn)分別適用于不同的測區(qū)中。本文根據(jù)移動(dòng)曲面擬合法和多面函數(shù)曲面擬合法的特點(diǎn)，將移動(dòng)曲面擬合法和多面函數(shù)曲面擬合法結(jié)合起來，提出了移動(dòng)-多面函數(shù)法，并應(yīng)用該方法進(jìn)行了GPS高程擬合。

一、移動(dòng)-多面函數(shù)擬合方法

移動(dòng)曲面擬合法利用每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為內(nèi)插點(diǎn)，依據(jù)移動(dòng)法利用該點(diǎn)四周的數(shù)據(jù)點(diǎn)解算其內(nèi)插值，因?yàn)楦鱾€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)沒有參加內(nèi)插，因此它可以給出可靠的精度估計(jì)信息[7-8]。用多面函數(shù)擬合法進(jìn)行內(nèi)插求值，核函數(shù)的選取、圓滑因子的選取與函數(shù)結(jié)點(diǎn)的選取都是待解決的關(guān)鍵[10]。利用移動(dòng)曲面擬合法高精度的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行多面函數(shù)擬合法中函數(shù)結(jié)點(diǎn)的選擇，將兩個(gè)方法結(jié)合形成移動(dòng)-多面函數(shù)的高程異常擬合方法。

基于移動(dòng)-多面函數(shù)的高程異常擬合方法根據(jù)多面函數(shù)擬合法獲得局部區(qū)域的最優(yōu)結(jié)果，將該結(jié)果作為移動(dòng)二次曲面擬合時(shí)選擇搜索半徑的依據(jù)。然后，根據(jù)選出的搜索半徑作為最優(yōu)擬合距離，運(yùn)用移動(dòng)二次曲面法得到高程異常。

根據(jù)該方法的理論，假設(shè)已知的高程異常點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，待定的點(diǎn)個(gè)數(shù)為s。具體計(jì)算步驟如下：

1) 采用移動(dòng)二次曲面擬合方法前，計(jì)算某一個(gè)待定點(diǎn)A到所有已知高程異常點(diǎn)的距離。

2) 選取距離高程異常待定點(diǎn)A最近的n個(gè)已知點(diǎn)為多面函數(shù)核函數(shù)的結(jié)點(diǎn)(n為計(jì)算多面函數(shù)的最少已知點(diǎn)個(gè)數(shù))，利用多面函數(shù)計(jì)算所有待定點(diǎn)的高程異常值。

3)n依次遞增，直至n=m。

4) 比較以多面函數(shù)的核函數(shù)作為距離指標(biāo)，計(jì)算n個(gè)已知點(diǎn)在核函數(shù)距離范圍內(nèi)的待定點(diǎn)的高程異常變化值Δξ及其變化值的平均值。

5) 以平均值最小時(shí)所對應(yīng)的n作為A點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)二次曲面擬合時(shí)選取的已知點(diǎn)的范圍，再根據(jù)步驟1)計(jì)算的A點(diǎn)到各已知點(diǎn)的距離，確定移動(dòng)二次曲面擬合時(shí)的搜索距離。

6) 依此類推，將移動(dòng)二次曲面擬合和多面函數(shù)擬合結(jié)合確定所有待定點(diǎn)的高程異常值。

二、算例分析

本文數(shù)據(jù)為某區(qū)域D級控制網(wǎng)布設(shè)的17個(gè)控制點(diǎn)，以兩個(gè)控制點(diǎn)間的距離作為搜索半徑，經(jīng)過計(jì)算，將6000—8000作為搜索半徑的取值范圍。在取值范圍內(nèi)選取不同的搜索半徑，運(yùn)用移動(dòng)二次曲面法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合試驗(yàn)，擬合的結(jié)果如圖1所示。

圖1 移動(dòng)曲面法搜索半徑不同時(shí)高程異常曲線

從圖1可以看出，運(yùn)用移動(dòng)二次曲面法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合時(shí)，不同的搜索半徑下擬合所得結(jié)果與實(shí)際值相差較大，且不存在規(guī)律性。然而，搜索半徑在移動(dòng)二次曲面法中是關(guān)鍵參量，因此，選取一個(gè)合適的搜索半徑是至關(guān)重要的。圖1中顯示，當(dāng)搜索半徑取7000時(shí)，試驗(yàn)擬合出的高程異常值很接近實(shí)際值。因此，當(dāng)選取一個(gè)合適的搜索半徑時(shí)，運(yùn)用移動(dòng)二次曲面法可以得到精度較高的擬合結(jié)果。

在17個(gè)控制點(diǎn)中，按點(diǎn)號順序分別選取不同數(shù)量的點(diǎn)作為已知點(diǎn)。當(dāng)已知點(diǎn)數(shù)量分別為3、4、5、6、7時(shí)，運(yùn)用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合試驗(yàn)，擬合的結(jié)果見表1。

表1 多面函數(shù)法不同已知點(diǎn)數(shù)下高程異常數(shù)據(jù)表

在選取不同數(shù)量的已知點(diǎn)時(shí)，試驗(yàn)擬合結(jié)果的變化如圖2所示。

圖2 多面函數(shù)法不同已知點(diǎn)數(shù)下高程異常曲線

從表2可知，運(yùn)用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合時(shí)，不同數(shù)量的已知點(diǎn)下擬合所得結(jié)果與實(shí)際值之間均存在差值，但擬合結(jié)果存在一定的規(guī)律性。當(dāng)已知點(diǎn)數(shù)量逐漸增多時(shí)，擬合結(jié)果逐漸向?qū)嶋H值逼近。圖2中，更加清晰地反映了該規(guī)律，當(dāng)已知點(diǎn)數(shù)量為7時(shí)，試驗(yàn)擬合出的高程異常值最接近實(shí)際值。因此，在控制點(diǎn)數(shù)量范圍內(nèi)，選取的已知點(diǎn)數(shù)量越多，運(yùn)用多面函數(shù)法擬合高程異常的精度將越高。在圖2中，13號點(diǎn)的高程異常值在不同已知點(diǎn)數(shù)下均與已知值有較大差異。結(jié)合表1可分析得出，由于13號點(diǎn)Y坐標(biāo)最小，與已知點(diǎn)距離相差較遠(yuǎn)，所處地點(diǎn)較偏導(dǎo)致上述差異。因此，可以猜測已知點(diǎn)分布情況不同，即已知點(diǎn)選取方式不同可能影響多面函數(shù)法擬合高程異常的精度。

在所有控制點(diǎn)中，按不同方式選取n個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)。將所有數(shù)據(jù)分別按X坐標(biāo)、Y坐標(biāo)遞增和遞減進(jìn)行排列，選取前n個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，本文中根據(jù)上一試驗(yàn)選取7個(gè)點(diǎn)。另外，將X坐標(biāo)、Y坐標(biāo)排序，選取其最大值最小值和中間值，即分布在測區(qū)4個(gè)邊和中心的點(diǎn)，并且選取高程異常相差最大的兩個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)，這些點(diǎn)均勻分布在測區(qū)中。在本文中，選取1、3、4、13、2、7、12這7個(gè)點(diǎn)作為均勻分布的已知點(diǎn)。在已知點(diǎn)選取方式不同的情況下，運(yùn)用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合試驗(yàn)，對擬合結(jié)果求中誤差，最終結(jié)果見表2。在已知點(diǎn)選取方式不同時(shí)，試驗(yàn)最終結(jié)果的變化如圖3所示。

表2 多面函數(shù)法已知點(diǎn)選取不同時(shí)高程異常中誤差數(shù)據(jù)

圖3 多面函數(shù)法已知點(diǎn)選取不同時(shí)高程異常中誤差曲線

由表2可知，已知點(diǎn)分布情況不同時(shí)，運(yùn)用多面函數(shù)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行高程異常擬合所得到的結(jié)果精度不同，擬合結(jié)果也不存在規(guī)律性。當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布時(shí)，擬合結(jié)果的精度最高。圖3清晰地反映了當(dāng)已知點(diǎn)均勻分布時(shí)，試驗(yàn)擬合出的高程異常中誤差最小，精度最高。因此，運(yùn)用多面函數(shù)法進(jìn)行高程異常擬合時(shí)，選取均勻分布的控制點(diǎn)作為高程異常擬合的已知點(diǎn)，擬合得出的結(jié)果精度最高。

綜上，移動(dòng)-多面函數(shù)法需要選取合適的搜索半徑和已知點(diǎn)個(gè)數(shù)，并且選取的點(diǎn)應(yīng)該均勻分布在測區(qū)中。首先根據(jù)算法流程，利用多面函數(shù)法擬合可得到局部區(qū)域的最優(yōu)結(jié)果，該結(jié)果可作為移動(dòng)-多面函數(shù)法的搜索半徑。本文中，運(yùn)用Matlab對該算法進(jìn)行了運(yùn)算，最終計(jì)算得出合適的搜索半徑為7120。其次，通過比較和分析，可以得出在該算例中，多面函數(shù)法已知點(diǎn)為7個(gè)時(shí)精度達(dá)到最高。因此，本文中移動(dòng)-多面函數(shù)法選取7個(gè)點(diǎn)作為已知點(diǎn)。最后，關(guān)于選取測區(qū)中分布均勻的點(diǎn)作為已知點(diǎn)這一方法，由于無法用算法的形式進(jìn)行表達(dá)，暫時(shí)只能人為進(jìn)行選取，這一點(diǎn)仍需改進(jìn)。本文中，通過人工選取的7個(gè)均勻分布的點(diǎn)作為移動(dòng)-多面函數(shù)法擬合高程異常時(shí)的已知點(diǎn)。

在上述分析的基礎(chǔ)上，將17個(gè)控制點(diǎn)中的8—17號點(diǎn)作為高程異常檢核點(diǎn)，運(yùn)用移動(dòng)-多面函數(shù)法進(jìn)行高程異常擬合試驗(yàn)。將移動(dòng)-多面函數(shù)法擬合得到的結(jié)果與上述兩種方法進(jìn)行對比分析，3種方法所得高程異常數(shù)據(jù)見表3。3種不同方法下，高程異常擬合的結(jié)果變化如圖4所示。

從表3可知，3種方法擬合出的高程異常值各不相同。通過分析高程異常中誤差發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)二次曲面法、多面函數(shù)和移動(dòng)多面函數(shù)的中誤差分別為1.499、0.870和0.304 m，可見，移動(dòng)-多面函數(shù)法比另外兩種方法的擬合精度都高。圖4展示了3種方法之間的對比，可以看出，多面函數(shù)法存在較大的異常值，移動(dòng)二次曲面法雖然變化趨勢與高程異常真值比較接近，但與真值之間存在較大的平均誤差，只有移動(dòng)-多面函數(shù)法與真值變化趨勢基本一致。

表3 3種方法下高程異常數(shù)據(jù)

圖4 3種方法下高程異常值曲線圖

三、結(jié) 論

通過對移動(dòng)二次曲面法和多面函數(shù)法不同情況下的多次試驗(yàn)，充分了解兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，將兩種方法結(jié)合為移動(dòng)-多面函數(shù)的高程異常擬合方法。該方法不盲目地選擇搜索半徑，不僅顧及了局部擬合效果與整體擬合效果的統(tǒng)一性，也顧及了多面函數(shù)的核函數(shù)與歐氏距離之間的差異性。然而，利用該方法進(jìn)行擬合時(shí)，對于多面函數(shù)的核函數(shù)和平滑因子的選取并未顧及，這些問題需要進(jìn)一步研究。

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Height Anomaly Fitting Method Based on Mobile-Polyhedral Function

ZHOU Changzhi,SUN Jialong,GUO Shuyan

2016-04-11

國家自然科學(xué)基金(40974016)；江蘇省海洋資源開發(fā)研究院科技開放基金(JSIMR201416)；海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(2014B09)

周長志(1971—)，男，工程師，主要從事GPS數(shù)據(jù)分析和管理工作。E-mail: sdcors@163.com

周長志,孫佳龍,郭淑艷.基于移動(dòng)-多面函數(shù)的高程異常擬合方法[J].測繪通報(bào)，2016(12)：25-27.

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0394.

P224

B

0494-0911(2016)12-0025-03