安佰玲，張德燕

(淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

二次曲面是空間結構中最常見的函數(shù)曲面，在計算機輔助幾何設計(CAGD)和機械制圖中有重要應用.不少學者將二次曲面應用于研究參數(shù)曲面的擬合、復雜三維幾何體的建模及曲面拼接問題[1-5]，研究這些問題的過程中，都離不開二次曲面與平面的截線形狀及參數(shù)方程的討論.此外，討論二次曲面上的具有某種幾何特征的平面截線存在性問題，對于研究二次曲面的幾何性質與形狀具有重要的理論價值.目前，關于二次曲面平面截線的存在性及其應用研究大多集中在圓或橢圓截線上[6-9]，因為這類二次曲線的代數(shù)方程比較容易構造.而關于拋物線截面的存在性及其代數(shù)方程求解問題的研究成果不多，因此，筆者擬利用2種方法給出二次曲面拋物線截面存在的條件及其代數(shù)形式.

1 預備知識

為了敘述方便，作以下約定：

定義1設二次曲面S:F(x,y,z)=0，若平面π:lx+my+nz+p=0與S的交線為拋物線，則稱平面π為二次曲面S的拋物截面.

引理1[10]對于二次曲面S：F(x,y,z)=0，設λ1,λ2,λ3為實對稱矩陣A*的特征值，則存正交變換X=QY，使得S的方程變?yōu)?/p>

f(x′,y′,z′)=λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+ax′+b′y+cz′+d=0，

其中X=(x,y,z)T,Y=(x′,y′,z′)T，(a,b,c)T=2QTξ，d=a44.

二次曲面Σ:f(x′,y′,z′)=0與S:F(x,y,z)=0僅相差一個正交變換X=QY，因此二次曲面S拋物截面的求解可轉化二次曲面Σ拋物截面的求解，所求的拋物截面也相差一個正交變換X=QY.

引理2[11]在xoy平面上，二次曲線φ(x,y)=0為拋物線?I2=0,I3≠0.

2 主要結果及其證明

定理1對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，若二次曲面Σ存在拋物截面，設α，β為拋物截面上的正交單位向量，β沿拋物線的對稱軸方向，則λ1,λ2,λ3不能同時為正或者同時為負，且：

(1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號(不妨設λ1λ2>0，其他情形同理可得).

①當λ1=λ2時，

其中θ∈[0,2π).

②當λ1≠λ2時，

(2)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個同號(不妨設λ3=0，其他情形同理可得).此時，

α=(cosθ,sinθ,0)，β=(0,0,1)，

其中θ∈[0,2π).

(3)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個異號(不妨設λ3=0，其他情形同理可得).此時，

①β2=0，α=(cosθ,sinθ,0)，其中θ∈[0,2π).

(4)λ1,λ2,λ3中有2個為0(不妨設λ1=λ2=0，其他情形同理可得).此時，

其中|m|≤1,θ∈[0,2π).

證明設二次曲面

Σ：f(x,y,z)=λ1x2+λ2y2+λ3z2+ax+by+cz+d=0，

(1)

平面π與曲面Σ交于拋物線Γ，P0(x0,y0,z0)為拋物線的頂點，α=(α1,α2,α3)，β=(β1,β2,β3)，由題意可得拋物線的參數(shù)方程為

(2)

其中t∈R，λ為不等于0的常數(shù).將方程組(2)代入(1)式，可得

若二次曲面Σ存在拋物截面，則存在P0(x0,y0,z0)∈Σ，α，β，使得方程F(t)=0有無窮多解，結合α，β的幾何特征，可得

(3)

及

(4)

若Σ存在拋物截面π，則必然存在α，β滿足方程組(3)，顯然λ1,λ2,λ3均不為0且同號時，方程組(3)中的第1個方程無解，因此二次曲面Σ無拋物截面.

(1)λ1,λ2,λ3均不為0且非同號時，不妨設λ1λ2>0.由方程組

可得α1β1∶α2β2∶α3β3=(λ2-λ3)∶(λ3-λ1)∶(λ1-λ2).

①若λ1=λ2,由于β3≠0，否則β1=β2=0，于是α3=0，可得

其中θ∈[0,2π).

②若λ1≠λ2,由βi≠0,i=1,2,3，可得

(2)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個同號時，不妨設λ3=0.由方程組

可得β1=β2=0，β3=±1.再由方程組

(3)λ1,λ2,λ3中有1個為0且其余2個異號時，不妨設λ3=0.由方程組

可得

①若β2=0，則β1=0，β3=±1，α=(cosθ,sinθ,0)，θ∈[0,2π).

②若β2≠0，則β1≠0，由λ1α1β1+λ2α2β2=0，可得

(4)λ1,λ2,λ3中有2個為0時，不妨設λ1=λ2=0.將λ1，λ2代入(3)式，可得β3=0.由方程組

根據(jù)定理1，可得二次曲面Σ:f(x,y,z)=0拋物截面存在的必要條件，以及拋物截面法向量n=α×β必須滿足的解析條件，但即使λ1,λ2,λ3,n滿足定理1中的條件，其對應的平面也未必是Σ的拋物截面，還取決于方程組(4)的解的存在情況.

由定理1可得以下結果：

推論1設二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，若λ1,λ2,λ3不同時為正或者同時為負，對于任意滿足定理1中條件的α，β，存在λ≠0使得方程組(4)有解，則二次曲面Σ存在法向量為n=α×β的拋物截面，其拋物線的參數(shù)方程如方程組(2)所示.

除了利用拋物線的參數(shù)方程探求二次曲面拋物截面存在的解析條件，還可以結合拋物線在坐標面上的投影方程及其不變量給出解析條件.利用這種方法容易判別二次曲面是否具有平行于坐標面或坐標軸的拋物截面.

定理2平面π：lx+my+nz+p=0(n≠0)與二次曲面Σ:f(x,y,z)=0交于拋物線

(5)

的充要條件是

證明令

(6)

將方程組(6)代入方程組(5)，可得

顯然，方程組(6)對應R3中一個仿射坐標變換.根據(jù)經(jīng)典二次曲線理論[10]，拋物線在仿射變換下仍然是拋物線.證畢.

定理3對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0,有：

(1)二次曲面Σ存在平行于坐標面的拋物截面的充要條件是λ1=0，a≠0或λ2=0，b≠0或λ3=0，c≠0.

(3)二次曲面Σ存在與z軸相交的拋物截面z=lx+my+p的充要條件是λ3(λ1m2+λ2l2)=-λ1λ2,并且

A11l2+A22m2+A33p2+2A12lm+2A13lp+2A23mp+2A14l+2A24m+2A34p+A44≠0，

(7)

其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3，A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2，均為常數(shù).

證明(1)二次曲面Σ存在平行于坐標面的拋物截面(不妨設其為平行于xoy面的拋物截面z=k)的充要條件為存在k，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當且僅當

同理，二次曲面Σ存在平行于xoz面的拋物截面的充要條件為

λ1=0,λ3≠0,a≠0或λ3=0,λ1≠0,c≠0；

二次曲面Σ存在平行于yoz面的拋截面的充要條件為

λ2=0,λ3≠0,b≠0或λ3=0,λ2≠0,c≠0.

綜上所述，二次曲面Σ存在平行于坐標面的拋物截面的充要條件為

λ1=0，a≠0或λ2=0，b≠0或λ3=0，c≠0.

(2)y=kx+m,k≠0是二次曲面Σ拋物截面的充要條件為存在k,m，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當且僅當

(3)z=lx+my+p是二次曲面Σ的拋物截面的充要條件為存在l,m,p，使得

是拋物線.由定理2，Γk是拋物線當且僅當

其中A11=λ1c2+λ3b2,A22=λ3a2+λ1c2,A33=-4λ1λ2λ3,A12=-λ3ab,A13=2aλ2λ3,A23=2bλ1λ3,A14=acλ2,A24=bcλ1,A34=-2cλ1λ2,A44=λ2a2+λ1b2，均為常數(shù).證畢.

由定理3可得以下結果：

推論2二次曲面Σ:f(x,y,z)=0存在平行于坐標面的拋物截面的充要條件是λ1，λ2，λ3中至少有1個為0，并且為0的二次項對應變量的一次項不為0.

推論3對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，有：

(1)若λ3=0，λ1λ2=0，c≠0或者λ3=0，c≠0，λ1λ2>0，則對于?k≠0,m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

(3)若λ3≠0,λ1=λ2=0，則對于?k(a+bk≠0),m∈R,y=kx+m均為二次曲面的拋物截面.

推論4對于二次曲面Σ:f(x,y,z)=0，有：

(1)若λ1=λ2=0，則對于?l,m,p滿足bl-am≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(2)若λ3=λ1=0，a≠0，則對于?l,m,p滿足2cl+a≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(3)若λ3=λ2=0，則對于?l,m,p滿足c2l2+(mc+b)2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(4)若λ1=0，λ2λ3≠0，a≠0，則對于?l,m,p滿足l=0,λ3m2+λ2≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

(5)若λ2=0，λ1λ3≠0，b≠0，則對于?l,m,p滿足m=0,λ3l2+λ1≠0,z=lx+my+p均為二次曲面的拋物截面.

3 5種典型二次曲面的拋物截面

5種典型二次曲面包括橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋物面和雙曲拋物面，根據(jù)其標準方程、定理1、定理3及推論2～4，容易得到這5種典型二次曲面的拋物截面有以下結論(結論僅針對標準方程)：

(1)橢球面不存在拋物截面.