湖南省岳陽市第十五中學(xué)326班 李博亞

巧用奇函數(shù)的性質(zhì)解數(shù)學(xué)題

湖南省岳陽市第十五中學(xué)326班 李博亞

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是難點(diǎn)之一。主要體現(xiàn)在函數(shù)思想的運(yùn)用，而掌握函數(shù)的一個(gè)重要手段就是分析函數(shù)的性質(zhì)。從函數(shù)的性質(zhì)入手來求解數(shù)學(xué)問題，也是解決函數(shù)問題的非常適用的工具。而我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問題時(shí)往往容易忽視的地方主要體現(xiàn)在：一是忽視從函數(shù)的本質(zhì)特性入手，如定義域、對(duì)應(yīng)法則、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等。二是容易忽視分析題設(shè)所給式子的結(jié)構(gòu)特征。因此，我們可以從奇函數(shù)的定義出發(fā)，證明出奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的靈魂。在解答一些類似很抽象的問題時(shí)，我們先從函數(shù)的性質(zhì)入手，認(rèn)識(shí)這個(gè)函數(shù)的本質(zhì)特征，巧用其性質(zhì)來解答，可以達(dá)到事半功倍的作用。

一、奇函數(shù)的定義及性質(zhì)

在我們的教材中奇函數(shù)是這樣定義的：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有x∈D,且-f(x)=f(-x),則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)。其中的關(guān)鍵詞有“D內(nèi)的任意一個(gè)x”、“都有”“-f(x)=f(-x)”。用數(shù)形結(jié)合的思想來理解奇函數(shù)的定義就是：奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形。從這個(gè)定義出發(fā)，我們很容易證明奇函數(shù)具有如下四個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)1 對(duì)定義在區(qū)間D上是單調(diào)遞增奇函數(shù)f（x），如果a,b∈D，

性質(zhì)2 已知定義在區(qū)間D上的單調(diào)遞減奇函數(shù)f（x），如果a,b∈D，

性質(zhì)3 已知在區(qū)間D上的單調(diào)奇函數(shù)f（x），如果a,b∈D，

性質(zhì)4 如果奇函數(shù)f（x）是定義在D上的奇函數(shù)，且有最大值M，那么f（x）的最小值為-M，反之亦然。即如果定義在D上的奇函數(shù)f（x）有最大值M和最小值N，那么M+N=0。

二、奇函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用舉例

奇函數(shù)的定義及性質(zhì)看似簡單容易，但要巧妙地運(yùn)用它來解題，還是有一定難度的。首先我們要掌握題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，就是函數(shù)值和自變量之間的關(guān)系，分析函數(shù)的性質(zhì)，判斷其奇偶性，巧用這些性質(zhì)解答題目可以達(dá)到事半功倍的作用，下面舉例說明。

分析：初看此題，首先就想到它是一個(gè)分式不等式，腦海中就浮現(xiàn)出分式不等式的解題基本思路：轉(zhuǎn)化成整式不等式求解。但冷靜一看不等式前面兩個(gè)式子和后面的似乎有某種神似。運(yùn)用函數(shù)中整體代換的思想就不難想到可以用構(gòu)造法構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)f（x）=x3+5x，從而使問題簡化。

解后隨筆： 這道題如果運(yùn)用分式不等式的常規(guī)解法思想去把其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，則不僅要解一個(gè)6次高次不等式，而且難度很大，很難解出。這里構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，并根據(jù)這個(gè)函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)求解，使問題得到簡化，降低了運(yùn)算難度。

解后隨筆：這個(gè)題目，我們?nèi)绻チ蟹匠探M求x和y的值，就會(huì)陷入解題的絕境。而根據(jù)題設(shè)中給出的兩個(gè)式子在結(jié)構(gòu)上的相似性，運(yùn)用到函數(shù)中整體的思想，代換的思想，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決就容易多了。

總而言之，我們還可以從定義出發(fā)，推導(dǎo)出奇函數(shù)的很多性質(zhì)，在解題的過程中，如果能夠熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運(yùn)用，就可以達(dá)到開闊思路，簡化過程的效果。