王永真，余黃生，吳佃華

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004)

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(6×v，{3，4}，1，Q)光正交碼的構(gòu)造

王永真，余黃生，吳佃華

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541004)

光正交碼(OOC)是光碼分多址通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)，二維光正交碼比一維光正交碼具有更好的性能。二維變重量光正交碼目前研究結(jié)果少。本文利用斜Starter構(gòu)造了兩類二維變重量光正交碼(6×v，{3，4}，1，(4/5，1/5))-OOC 和 (6×v，{3，4}，1，(2/3,1/3))-OOC，其中第一類是最優(yōu)的，第二類碼字個(gè)數(shù)比理論上界少3個(gè)。

二維變重量光正交碼；嚴(yán)格循環(huán)填充；斜Starter；最優(yōu)

0 引言

光正交碼(OOC，又稱一維光正交碼) 由Salehi[1]于1989年引入，由于具有良好的光學(xué)相關(guān)特性，其在光纖信道上的碼分多址(OCDMA) 系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用。常重量光正交碼由于其碼重相同，只能提供單一質(zhì)量的通訊服務(wù)。Yang在文獻(xiàn)[2]中引入了變重量光正交碼，其具有多種重量的碼字，而不同重量的碼字具有不同的誤碼率，故能滿足多種服務(wù)質(zhì)量的需求。一維變重量光正交碼已有一些研究工作(見文獻(xiàn)[2-4]及其參考文獻(xiàn))。

隨著社會(huì)的高速發(fā)展，人們需要高速率、大容量、不同誤碼率的OCDMA系統(tǒng)，Yang 等在文獻(xiàn)[5]中提出了二維常重量光正交碼(2-D CWOOC)，它具有較大的碼字容量。但類似于一維常重量光正交碼，2-D CWOOC也只能滿足單一的服務(wù)質(zhì)量需求。為了能夠在擴(kuò)充碼字容量的同時(shí)提供多種質(zhì)量的通訊服務(wù)，二維變重量光正交碼(2-D VWOOC)被引入[6-7]。下面介紹二維變重量光正交碼的定義。

定義1[6]一個(gè)二維(u×v,W,Λa,λc,Q)變重量光正交碼C，或(u×v,W,Λa,λc,Q)-OOC是一族u×v的(0,1)矩陣(碼字)，并且滿足以下3個(gè)性質(zhì)：

②周期自相關(guān)性：對(duì)任意矩陣X∈C，其漢明重量wk∈W，整數(shù)τ,0<τ≤v-1,

③周期互相關(guān)性：對(duì)任意兩個(gè)不同的矩陣X,Y∈C，整數(shù)τ,0<τ≤v-1,

文獻(xiàn)[6-7]給出了(u×v,W,1,Q)-OOC的上界，但這個(gè)界是不緊的，文獻(xiàn)[8]給出了新的上界。令

Φ(u×v,W,Λa,λ,Q)=max{|C|:C是(u×v,W,Λa,λ,Q)-OOC}。

以下結(jié)果見文獻(xiàn)[8]。

給定u、v、W和Q，若C的碼字個(gè)數(shù)達(dá)到最大值，則稱C是最優(yōu)的。

1 預(yù)備知識(shí)

斜Starter經(jīng)常被用來構(gòu)造光正交碼，本文也利用斜Starter來構(gòu)造兩類二維變重量光正交碼。下面給出斜Starter的定義。

定義1[8]設(shè)G是一個(gè)v階Abel群，群G上的一個(gè)斜Starter是由一組無序?qū)M成的集合S={{xi,yi}:1≤i≤(v-1)/2}，它滿足如下3條性質(zhì)：

①{xi:1≤i≤(v-1)/2}∪{yi:1≤i≤(v-1)/2}=G{0};

②{±(xi-yi):1≤i≤(v-1)/2}=G{0};

③{±(xi+yi):1≤i≤(v-1)/2}=G{0}。

引理2[9]若gcd(v,6)=1，v不能被5整除或能被25整除，則在模v的剩余類環(huán)Zv上存在斜Starter。若v≡0(mod 3)，則在Zv上不存在斜Starter。

根據(jù)定義，斜Starter存在的必要條件是v為奇數(shù)。由引理2知，當(dāng)gcd(v，30)=1時(shí)在Zv上存在斜Starter。由文獻(xiàn)[10]，令X={xi:1≤i≤(v-1)/2}，Y={yi:1≤i≤(v-1)/2，可使得X=-Y，則X∪(-X)=Y∪(-Y)=X∪Y=G{0}。

為構(gòu)造(u×v,W,1,Q)-OOC，2-SCP(W,1,Q;u×v)在文獻(xiàn)[6]中被引入，下面的定義取自文獻(xiàn)[8]。

設(shè)X為一個(gè)v元集合，B為X的元素個(gè)數(shù)屬于W的子集(稱為區(qū)組) 所組成的子集族。若X的任意不同元素對(duì)至多出現(xiàn)在B中的λ個(gè)區(qū)組中，則稱(X，B)是一個(gè)2-(v,W,λ)填充，記為2-P(W,λ;v)。

設(shè)Qu是一個(gè)u元集合，X=Qu×Zv,(X,B)是填充設(shè)計(jì)2-P(W,λ;uv)，若該設(shè)計(jì)的自同構(gòu)π含u個(gè)v長(zhǎng)的置換，則稱此填充設(shè)計(jì)是v-循環(huán)的。不失一般性，設(shè)自同構(gòu)π:(i,x)→(i,x+1)mod(-,v),i∈Qu,x∈Zv。若π作用下區(qū)組軌道長(zhǎng)度為v，則稱之為長(zhǎng)軌道，否則稱為短軌道。若v-循環(huán)的2-P(W,λ;uv)在自同構(gòu)π下無短軌道，從每個(gè)軌道各取一個(gè)區(qū)組構(gòu)成集合F(稱為基區(qū)組)，稱F為2-SCP(W,λ;u×v)。對(duì)1≤i≤r，若F中大小為wi的區(qū)組所占的比例為qi，則稱此設(shè)計(jì)為2-SCP(W,λ,Q;u×v)。若2-SCP(W,1,Q;u×v)中區(qū)組個(gè)數(shù)達(dá)到最大值，則稱其為最優(yōu)的。

引理3[8](最優(yōu))2-SCP(W,1,Q;u×v)等價(jià)于(最優(yōu))(u×v,W,1,Q)-OOC，且(u×v,W,1,Q)-OOC的碼字個(gè)數(shù)等于2-SCP(W,1,Q;u×v)的基區(qū)組個(gè)數(shù)。

引理4[8]若g-正則2-SCP(W,1,Q;u×v)和最優(yōu)2-SCP(W,1,Q;u×g)同時(shí)存在，則存在最優(yōu)2-SCP(W,1,Q;u×v)。

由引理3知，可以通過構(gòu)造最優(yōu)2-SCP(W,1,Q;u×v)來構(gòu)造與其等價(jià)的最優(yōu)(u×v,W,1,Q)-OOC。

利用斜Starter和上述結(jié)果，本文得到以下結(jié)果。

定理1 如果在Zv上存在斜Starter，則存在最優(yōu)(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC。

定理2 如果在Zv上存在斜Starter，則存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。

2 2-SCP(6×v,{3,4},1,Q)的構(gòu)造

本節(jié)我們將證明定理1、2。為此先給出一些記號(hào)：

設(shè)M是整數(shù)組成的集合，a是整數(shù)，定義aM={ax:x∈M}。

由斜Starter的定義知，A=B=C=Zv{0}。

引理5 如果存在Zv上的斜Starter，則存在1-正則2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)。

證明 令:

表1 Δαβ(F1)

由上可知，對(duì)(α,β)∈Z6×Z6,Δαβ(F1)=Zv{0}。因此，F(xiàn)1為Z6×Zv上的1-正則2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)。證畢。

例1 S={{1,5},{2,3},{4,6}}是Z7上的一個(gè)斜Starter。令：

下面證明定理1。

定理1的證明 由引理5知，存在1-正則2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)，由引理3知，存在(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC，碼字個(gè)數(shù)為5(v-1)。由引理1知,

所以，此OOC是最優(yōu)的。證畢。

推論1 當(dāng)gcd(v,30)=1時(shí)存在最優(yōu)(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC。

接下來證明定理2。

引理6 如果在Zv上存在斜Starter，則存在1-正則2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)。

證明 令:

表2 Δαβ(F2)

由上可知，對(duì)(α,β)∈Z6×Z6,Δαβ(F2)=Zv{0}。因此，F(xiàn)2為Z6×Zv上的1-正則2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)。證畢。

例2 S={{1,5},{2,3},{4,6}}是Z7上的一個(gè)斜Starter。令：

定理2的證明 由引理6知，存在1-正則2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)，由引理4知，存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。證畢。

推論2 當(dāng)gcd(v,30)=1時(shí)存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。

注記 由引理6的證明和引理3知，定理2中的(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC的碼字個(gè)數(shù)為9(v-1)/2。由引理1知：

由引理4，若存在最優(yōu)(6×1,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC，則存在最優(yōu)(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。但不存在最優(yōu)(6×1,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。所以有以下問題。

[1] SALEHI J A. Code division multiple-access techniques in optical fiber networks：part I： fundamental principles[J].IEEE Transactions on Communications，1989，37(8):824-833. DOI:10.1109/26.31181.

[2] YANG G.Variable-weight optical orthogonal codes for CDMA networks with multiple performance requirements[J]. IEEE Transactions on Communications，1996，44(1): 47-55. DOI:10.1109/26.476096.

[3] 余黃生，吳佃華. 一類新的最優(yōu)變重量光正交碼[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，29(4): 79-83. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2011.04.014.

[4] 張玉芳，余黃生. 重量集為{3,4,7}的最優(yōu)變重量光正交碼[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，34(1): 78-83. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.012.

[5] YANG G,KWONG W C.Performance comparison of multiwavelength CDMA and WDMA+CDMA for fiber-optic networks[J]. IEEE Transactions on Communications， 1997，45(11): 1426-1434. DOI:10.1109/26.649764.

[6] KWONG W C,YANG G. Double-weight signature pattern codes for multicore-fiber code-division multiple-access networks[J]. IEEE Communications Letters，2001，5(5): 203-205. DOI:10.1109/4234.922760.

[7] LIANG Wei，YIN Hongxi，QIN Liqiao,et al. A new family of 2D variable-weight optical orthogonal codes for OCDMA systems supporting multiple QoS and analysis of its performance[J]. Photonic Network Communications，2008，16(1): 53-60. DOI:10.1007/s11107-008-0117-2.

[8] CHENG Minquan, JIANG Jing, WU Dianhua. Bounds and constructions for two-dimensional variable-weight optical orthogonal codes[J]. J Combinatorial Designs，2014，22(9): 391-408. DOI:10.1002/jcd.21356.

[9] CHEN K，GE G，ZHU L. Starters and related codes[J]. J Statistical Planning and Inference，2000，86(2): 379-395. DOI:10.1016/S0378-3758(99)00119-6.

[10] GE G,YIN J. Constructions for optimal (v,4,1) optical orthogonal codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2001，47(7): 2998-3004. DOI:10.1109/18.959278.

(責(zé)任編輯 黃 勇)

Construction of (6×v，{3，4}，1，Q)-OOCs

WANG Yongzhen，YU Huangsheng，WU Dianhua

(College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin Guangxi 541004，China)

Optical orthogonal code (1-D OOC) is the basis of optical code-division multiple access system. Two-dimensional OOC (2-D OOC) has better performance than that of the 1-D OOC. Existing constructions of 2-D variable-weight OOC are rarely seen. In this paper，by using skew starters，two new classes of two-dimensional variable-weight OOC ((6×v)，{3,4}，1，(4/5，1/5))-OOCs and (6×v，{3,4}，1，(2/3，1/3))-OOCs are constructed. The (6×v，{3,4},1,(4/5,1/5)-OOCs are optimal. (6×v，{3，4}，1，(2/3,1/3))-OOCs fails to be optimal by missing three codewords (two of weight 3 and one of weight 4) compared to the theoretical upper bound.Keywords: 2-D variable-weight optical orthogonal code；strictly cycle packing (SCP)；skew starter; optimal

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.009

2016-04-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271089)；廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014GXNSFDA118001)；廣西高等學(xué)校高水平創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)及卓越學(xué)者計(jì)劃項(xiàng)目

吳佃華(1966—)，男，山東濰坊人，廣西師范大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:dhwu@gxnu.edn.cn

O157.2

A

1001-6600(2016)03-0062-06