張憲民 胡凱 王念峰 郭浩

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院∥廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點實驗室, 廣東 廣州 510640)

基于并行策略的熱固耦合多材料柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計*

張憲民 胡凱 王念峰?郭浩

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院∥廣東省精密裝備與制造技術(shù)重點實驗室, 廣東 廣州 510640)

熱效應(yīng)在結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域受到廣泛的重視，文中利用拓?fù)鋬?yōu)化的方法，對熱驅(qū)動柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計進(jìn)行了研究，提出了相應(yīng)的基于并行策略的求解模型.該模型的核心是將一個復(fù)雜的多材料熱固耦合問題離散成為單材料熱固耦合子問題，然后對這些子問題并行求解，并根據(jù)整體目標(biāo)的需要，對所有子問題的解進(jìn)行調(diào)整以得到原始問題的解.對所有的單材料子問題，基于SIMP(固體各向同性材料懲罰模型)材料插值模型，建立了熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化求解模型，然后利用順序耦合方法進(jìn)行熱-結(jié)構(gòu)多物理場耦合分析，獨立并行求解.該模型在理論和實踐上都比較簡單，可以處理任意多種材料，并且可以避免零碎的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而有利于制造.文中還通過數(shù)值算例說明了此方法的有效性.

拓?fù)鋬?yōu)化；柔順機(jī)構(gòu)；熱固耦合；敏度分析

拓?fù)鋬?yōu)化一直是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的熱點問題，采用拓?fù)鋬?yōu)化的方法設(shè)計柔順機(jī)構(gòu)具有較大的設(shè)計自由度，因而受到人們的重視[1- 5].常用的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法主要有變密度法[6- 8]、基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)法[9- 10]、水平集法[11- 12]等.

多場耦合是指在一個系統(tǒng)中，熱、電、磁和結(jié)構(gòu)場等相互作用和影響的現(xiàn)象，多場耦合下的結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系比較復(fù)雜，與直觀感覺和經(jīng)驗相差較大，需要一種能夠綜合考慮多場關(guān)系來設(shè)計結(jié)構(gòu)布局形式的方法，因而涉及耦合場結(jié)構(gòu)分析的拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用研究成為一個重要的發(fā)展方向[13].Sigmund[14- 15]研究了電熱場耦合下的雙材料插值模型問題和驅(qū)動器的拓?fù)鋬?yōu)化建模、設(shè)計和制造問題；李冬梅等[16]將可靠性分析用于熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化中，提出了一種基于概率約束的可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法；Takezawa等[17- 18]研究了拓?fù)鋬?yōu)化中結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和熱傳導(dǎo)約束問題，在優(yōu)化的后續(xù)階段采用PFM法更新密度函數(shù)，從而避免中間密度單元，得到清晰的結(jié)構(gòu)邊界；Koga等[19]采用拓?fù)鋬?yōu)化的方法，在穩(wěn)態(tài)熱模型中綜合考慮傳導(dǎo)和強(qiáng)制熱對流的影響，設(shè)計了完整的循環(huán)對流性能最佳的散熱器.然而迄今為止，基于多材料的多場耦合問題的研究相對較少，尚有待深入研究.

在給定約束條件和負(fù)載下，以一定的設(shè)計目標(biāo)，尋求多種材料在設(shè)計域內(nèi)的最優(yōu)分布，即為多材料的拓?fù)鋬?yōu)化.相比于單材料機(jī)構(gòu)，多材料機(jī)構(gòu)能夠充分發(fā)揮各種材料的優(yōu)良屬性，擁有更大的設(shè)計自由度，受到了許多的關(guān)注與研究.Guo等[20]提出基于水平集的變分一致策略，研究了應(yīng)力約束下多材料拓?fù)鋬?yōu)化問題；Wang等[21]提出了基于水平集的多材料拓?fù)鋬?yōu)化模型，每一相材料由不同的水平集函數(shù)組合而成，優(yōu)化得到光滑的邊界和清晰的表面結(jié)構(gòu)；Tavakoli[22]基于多相體積約束的金茲堡-朗道能量泛函，提出一種解決多材料拓?fù)鋬?yōu)化問題的模型，采用分步投影的最速下降法對設(shè)計變量進(jìn)行更新.上述情形中沒有涉及多材料與多場耦合組合拓?fù)鋬?yōu)化的問題，同時對機(jī)構(gòu)及耦合驅(qū)動也尚未有深入的研究.

文中重點研究了多材料柔順機(jī)構(gòu)的熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化問題.首先，將原始的多材料多場耦合優(yōu)化問題按照材料的種類離散成單材料多場耦合優(yōu)化子問題；其次，對所有的單材料子問題，基于SIMP(固體各向同性材料懲罰模型)建立了熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化模型，利用順序耦合方法進(jìn)行熱-結(jié)構(gòu)多物理場耦合分析，獨立并行求解；接著調(diào)整所有子問題的解以得到符合原始的多場耦合問題的解；最后通過算例對所提方法的有效性進(jìn)行了驗證.

1 材料插值模型及并行優(yōu)化策略

1.1 基于SIMP模型的變密度法

各向同性材料的SIMP法又稱變密度法，其基本思想為：設(shè)計域被離散成為微結(jié)構(gòu)單元，設(shè)計變量定義為離散單元的相對密度，可取0到1之間任意值.單元的材料屬性，比如楊氏模量與單元相對密度呈指數(shù)變化關(guān)系.設(shè)E0為材料原始的彈性模量，E是單元相對密度值等于xe時的彈性模量值，則存在關(guān)系式：

E=(xe)pE0

(1)

其中，p為懲罰因子，其目的在于對中間密度單元項進(jìn)行懲罰，以盡量減少結(jié)構(gòu)中間密度單元的數(shù)目，使結(jié)構(gòu)單元密度盡可能靠近1或0兩極.通常p取值大于3[14].

1.2 并行優(yōu)化策略

由于原始的問題為多材料多場耦合拓?fù)鋬?yōu)化問題，當(dāng)按照材料的種類離散為單材料子問題后，所有的子問題都成為單材料多場耦合問題.對于單材料多場耦合拓?fù)鋬?yōu)化問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了許多研究[23- 24].文中提出一種并行優(yōu)化策略，作為一種用于同時解決多材料的多場耦合問題的新方法.

所謂并行優(yōu)化，就是對所有的單材料子問題獨立并行求解.不難看出，這種優(yōu)化策略的核心與難點在于后續(xù)如何統(tǒng)籌所有子問題的解，以得到原始優(yōu)化問題的解.

(2)

2 熱固耦合理論分析與建模

2.1 耦合場有限元分析

耦合場分析是指在有限元分析的過程中綜合考慮了多種物理場的交叉作用和相互影響.常見的耦合分析方法有直接耦合與間接耦合方法[13].文中采用間接耦合中的順序耦合分析方法，首先進(jìn)行熱場有限元分析，計算得到熱場作用下的溫度分布矩陣，然后將熱分析得到的節(jié)點溫度用于計算熱載荷，作為體力施加給彈性場，最后求解熱載荷驅(qū)動下的結(jié)構(gòu)響應(yīng).

根據(jù)SIMP模型，單元材料的屬性值依賴單元相對密度值，熱和結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)可以用下面兩個有限元方程描述：

(3)

其中：x=(x1,x2,...,xM),表示多種材料相對密度向量；K1表示熱剛度矩陣；K2表示結(jié)構(gòu)剛度矩陣；U1為溫度向量；U2為位移矢量；P1、P2分別為熱載荷向量和結(jié)構(gòu)外載荷矢量.

2.2 耦合場的敏度分析

基于SIMP法的優(yōu)化問題采用基于梯度算法更新設(shè)計變量，因而需要求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)對設(shè)計變量的敏度信息.敏度分析一般有3種方法：直接法、半解析法和伴隨矩陣法.此處采用伴隨矩陣法求解目標(biāo)函數(shù)對各種材料設(shè)計變量的敏度.

對于一個熱固耦合柔順機(jī)構(gòu)的優(yōu)化問題可描述為

(4)

其中Ve和V0分別為單元體積和最大許用體積,xmin是最小允許相對密度值向量.結(jié)構(gòu)響應(yīng)規(guī)定為給定點的輸出位移uout，可寫為

uout=LTU2

(5)

LT是一個矢量，除了輸出自由度方向的值為1，其他分量全部為0.假定有限元方程(3)已經(jīng)求得，則式(5)可重寫為

(6)

(7)

(8)

這可以通過設(shè)置如下伴隨向量的值實現(xiàn)：

(9)

(10)

目前適用于拓?fù)鋬?yōu)化的算法主要有優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃算法兩大類[25]，文中采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法對設(shè)計變量進(jìn)行求解更新.它是一種簡單方便、收斂迅速的算法，非常適合于文中并行求解單材料子問題.采用SIMP模型求解的過程中，不可避免地會出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，文中采用Sigmund[26]提出的敏度過濾技術(shù)抑制棋盤格式問題.

3 設(shè)計變量并行更新

當(dāng)單材料子問題全部求解之后，得到包含M種單材料的解向量xi.按照前述的SIMP模型，在一個單元中，密度值是一個0到1之間的連續(xù)值.則對于一個多材料問題，任意種材料均可在任意單元存在，則單元密度之和可能超過1，這種單元稱為過飽和單元.顯然，這種單元的存在違背了SIMP模型的原理.出于對模型有效性的考慮，需要對過飽和單元進(jìn)行處理，從而保證所有的單元密度之和均不超過1.此處為每種材料預(yù)先設(shè)定一個優(yōu)先級，優(yōu)先級最低的材料最先從過飽和單元中去除，假設(shè)材料的優(yōu)先級順序為S1,S2,…,SM(從高到低)，調(diào)整后的過飽和單元密度值為

(11)

需要注意的是，這里處理過飽和單元的過程是一個人工選擇的過程.它根據(jù)人為設(shè)定的方法確定出優(yōu)先度順序?qū)^飽和單元的材料進(jìn)行取舍.這種更新方法的流程如圖1所示.

圖1 設(shè)計變量更新流程

該方案是基于單材料拓?fù)鋬?yōu)化的理論研究提出的，其本質(zhì)是通過特殊策略將多材料問題分解為多種材料對應(yīng)的單材料子問題進(jìn)行更新，并保證設(shè)計結(jié)果的可行性.因此，該方案下除了可以使用擅長處理復(fù)雜約束問題的移動漸近線法等進(jìn)行更新外，還可以使用對簡單約束問題具有較優(yōu)收斂結(jié)果以及速度的優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行更新，從而使得多材料拓?fù)鋬?yōu)化問題的解決效率得到提高.此外，這種方案的執(zhí)行過程具有很高的分立性與并行性，因此可以很容易地擴(kuò)展到更多種材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題.

文中的收斂準(zhǔn)則定義為任意種材料的設(shè)計變量最后相鄰兩步的改變量不大于某一極小值.假定迭代進(jìn)行了t步，修正后的設(shè)計變量的t-1與t步之間最大差值為

ε=max|(xi)t-(xi)t-1|

(12)

其中,ε是收斂算子，通常取ε≤0.01.

4 數(shù)值算例及討論

本節(jié)選取幾個基于多材料多場耦合拓?fù)鋬?yōu)化的的例子，說明前述理論模型的有效性.為不失一般性，在給出雙材料拓?fù)浣Y(jié)果之后，三材料的例子也已給出.設(shè)計域內(nèi)溫度向量為恒量，所有算例均不施加外在負(fù)載，只需要考慮純熱驅(qū)動下柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計問題.

4.1 雙材料熱驅(qū)動器

本例(算例1)采用一個比較常見的熱驅(qū)動器作為優(yōu)化對象，兩種材料的設(shè)計參數(shù)初始值如表 1所示.設(shè)計域與邊界條件如圖2所示，上、下、左3個壁均絕熱，在右邊中間區(qū)域獲得位移輸出.由于對稱性，只需要對上半部分進(jìn)行優(yōu)化就可得到整體機(jī)構(gòu)結(jié)果.圖3(a)-3(d)分別為兩種材料(紅：綠)體積比為5∶1的熱驅(qū)動器設(shè)計中間結(jié)果，圖3(e)、圖4分別為熱驅(qū)動器最終結(jié)果以及優(yōu)化迭代曲線.

表 1 設(shè)計參數(shù)初始值(算例1)

圖2 熱驅(qū)動器設(shè)計域及邊界條件(算例1)

Fig.2 Design domain and boundary conditions of heat actuator (Example 1)

圖3 熱驅(qū)動器設(shè)計結(jié)果(算例1)

圖4 對應(yīng)圖3中熱驅(qū)動器的優(yōu)化收斂曲線

Fig.4 Conversion history of heat actuator corresponding to Fig.3

觀察圖3最終的拓?fù)浣Y(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)使用文中提出的多材料設(shè)計方法得到的機(jī)構(gòu)分塊明顯而獨立，從制造的角度看非常適用，可以先分塊制造，再使用搭接等連接技術(shù)連接成一體以生產(chǎn).

4.2 有約束區(qū)域的雙材料熱驅(qū)動器

本例(算例2)設(shè)計一個材料分布區(qū)域受到限制的雙材料熱驅(qū)動器，設(shè)計域與邊界條件如圖5所示，設(shè)計域中間區(qū)域作為主動受熱驅(qū)動材料分布區(qū)，禁止被驅(qū)動材料存在，而周圍區(qū)域作為受動材料分布區(qū)，禁止主動材料存在，同時結(jié)構(gòu)上、下兩側(cè)允許水平方向移動.兩種材料的設(shè)計參數(shù)初始值與算例1相同，其中中間限制區(qū)域的大小為34 mm×34 mm.圖6(a)、圖7(a)分別為兩種材料的體積比均為5∶1的熱驅(qū)動器設(shè)計結(jié)果以及目標(biāo)函數(shù)收斂曲線；圖6(b)、圖7(b)分別為兩種材料(紅∶綠)體積比分別為2∶1的熱驅(qū)動器設(shè)計結(jié)果以及收斂曲線.

圖5 熱驅(qū)動器設(shè)計域及邊界條件(算例2)

Fig.5 Design domain and boundary conditions of heat actuator (Example 2)

同樣，從圖6中的設(shè)計結(jié)果可以看出，兩種材料邊界清晰，分塊獨立.通過迭代曲線不難發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化迭代過程收斂穩(wěn)定，說明對于復(fù)雜的多材料和多場耦合組合優(yōu)化問題，文中所提出的方法具有較好的魯棒性.

圖6 熱驅(qū)動器不同約束下的設(shè)計結(jié)果(算例2)

Fig.6 Design result of heat actuators under different constraints(Example 2)

Fig.7 Conversion history of heat actuators corresponding to Fig.6

4.3 三材料熱驅(qū)動器

為不失一般性，此處(算例3)用一個三材料的熱驅(qū)動器說明方法的有效性.其設(shè)計域和邊界條件與算例1相同，3種材料的設(shè)計參數(shù)初始值如表 2所示，其他參數(shù)與之前算例相同.圖8(a)、圖9(a)為3種材料體積比為4∶1∶1的熱驅(qū)動器設(shè)計結(jié)果及收斂曲線；圖8(b)、 圖9(b)為3種材料體積分別為10∶1∶1的熱驅(qū)動器設(shè)計結(jié)果及收斂曲線.

圖8 三材料熱驅(qū)動器不同約束下的設(shè)計結(jié)果

Fig.8 Design result of three-materials heat actuators under different constraints

表2 設(shè)計參數(shù)初始值(算例3)

圖9 三材料熱驅(qū)動器對應(yīng)圖8中設(shè)計結(jié)果的收斂曲線

Fig.9 Conversion history of three-materials heat actuators in Fig.8

從圖8的設(shè)計結(jié)果可以看到，優(yōu)化三材料熱驅(qū)動柔順機(jī)構(gòu)時，依然能夠得到比較理想的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各材料之間邊界清晰，分塊獨立.這說明基于并行優(yōu)化策略的模型能夠突破傳統(tǒng)的雙材料限制，進(jìn)行真正意義上的任意多種材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計.

5 結(jié)論

(1)提出了一種新的基于多材料設(shè)計多場耦合柔順機(jī)構(gòu)的求解方法.將復(fù)雜的多材料問題離散為簡單的單材料子問題，然后并行獨立求解.

(2)基于剛度可加性理論，得到了全局剛度矩陣與各材料之間呈線性關(guān)系，并將之推廣至其他耦合物理場.

(3)該方法在理論和應(yīng)用上都比較簡單，并且能夠處理任意多種材料.數(shù)值算例表明，新方法設(shè)計的機(jī)構(gòu)合理，各材料之間分塊明顯，利于加工，因而方法是有效的.

(4)重點研究了多場耦合中的熱固耦合效應(yīng)，為后續(xù)的熱、電、結(jié)構(gòu)場耦合理論分析和研究提供了極為重要的參考價值.

(5)算例部分只給出了依靠純熱驅(qū)動作用下的柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計與分析，表明熱效應(yīng)對結(jié)構(gòu)變形的巨大影響.需要說明的是，對于已有較多的外力和熱場同時作用下的結(jié)構(gòu)分析，文中所提方法也是有效的，熱載荷與外力同時作用下的情形類似于多輸入柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計；其次，并行優(yōu)化策略尚未在數(shù)學(xué)上得到嚴(yán)格證明，也無法說明優(yōu)化的結(jié)果是全局最優(yōu)的，但是大量的算例證明了該方法的有效性.

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Design of Thermal-Mechanical Coupling Multiple-Material Compliant Mechanisms Based on Parallel Strategy

ZHANGXian-minHUKaiWANGNian-fengGUOHao

(School of Mechanical and Automotive Engineering∥Guangdong Provincial Key Laboratory of Precision Equipment and Manufacturing Technology,Guangzhou 510640, Guangdong, China)

In the field of structural design, thermal effects have been extensively discussed. In this paper, based on the topology optimization method, the design of the thermally-driven compliant mechanism is investigated, and a corresponding parallel penalization model is constructed. The core of this model is to decompose a complex multiple-material thermal-mechanical coupling problem into a series of single-material thermal-mechanical coupling sub-problems. Then, the sub-problems are solved concurrently, and according to the requirement of the overall system, the solutions to all the sub-problems are coordinated so as to achieve the solution to the original problem. For all the sub-problems, the thermal-mechanical coupling optimization models are constructed based on the solid isotropic material with penalization(SIMP) model, and then the sequential coupling method is adopted to conduct the thermal-structural coupling physics analysis, thus achieving concurrent and independent solutions. The constructed model is simple in concept and practice and can be used to handle an arbitrary number of candidate materials. In addition, it can avoid fragile topologies and is, therefore, helpful in manufacturing. Finally, the effectiveness of the constructed model is verified by several numerical examples.

topology optimization; compliant mechanism; thermal-mechanical coupling; sensitivity analysis

2015- 12- 07

國家自然科學(xué)基金資助項目(51205134,51575187,91223201)；廣州市產(chǎn)學(xué)研協(xié)同創(chuàng)新重大專項(2014Y2-00217)；廣東省自然科學(xué)基金資助項目(S2013030013355)；黃埔區(qū)重大專項(20150000661)；華南理工大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目(2015ZZ007) Foundation items: Supported by the National Natural Science Foundation of China(51205134,51575187,91223201) and the Natural Science Foundation of Guangdong Province(S2013030013355)

張憲民(1964-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機(jī)構(gòu)學(xué)及精密制造裝備研究.E-mail：zhangxm@scut.edu.cn

? 通信作者: 王念峰(1978-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化及機(jī)器人技術(shù)研究.E-mail：menfwang@scut.edu.cn

1000- 565X(2016)10- 0022- 07

TB 112；TB 114

10.3969/j.issn.1000-565X.2016.10.004