廖春芳，劉金山*

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642）

基于貝葉斯方法的高維因子模型在中國股市的應(yīng)用

廖春芳，劉金山*

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，廣東 廣州 510642）

基于高維時(shí)間序列因子模型，分析了2008年金融危機(jī)前后中國股市的波動狀況。利用高維因子模型分析的一種新方法，發(fā)現(xiàn)金融危機(jī)前的因子個(gè)數(shù)為4個(gè)，危機(jī)后因子個(gè)數(shù)為2個(gè)。通過對內(nèi)在消極因子建立隨機(jī)波動率模型，發(fā)現(xiàn)相對于金融危機(jī)后，危機(jī)前因子的波動性大而且具有很強(qiáng)的依賴性。對上證綜合指數(shù)和主因子建立模型，發(fā)現(xiàn)兩者具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，說明中國股市具有顯著的因子效應(yīng)。

因子模型；金融危機(jī)；中國股市；隨機(jī)波動率；MCMC

2007年美國次貸危機(jī)對全球金融市場產(chǎn)生巨大沖擊，在這次金融危機(jī)中，中國股市受到了極大影響，如上證指數(shù)在2008年1月到2008年11月，股指從5000多點(diǎn)跌到1700多點(diǎn)［1］，對中國股票市場的發(fā)展產(chǎn)生了嚴(yán)重的負(fù)面影響。本文從計(jì)量經(jīng)濟(jì)的角度來研究這次金融危機(jī)對中國股市的影響，通過建立因子模型來找到金融危機(jī)前后中國股市的主要影響因子，從而做出相應(yīng)的比較分析。

中國股市的上市公司一共有2 635家，其中上海證券交易所有1029家，深圳交易所有1606家，因此要分析中國股市的行情趨勢，勢必要接觸大數(shù)據(jù)。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，人們對于大數(shù)據(jù)的收集越來越多，社會對于大數(shù)據(jù)的研究需求越來越大。然而對于這種高維度高樣本大數(shù)據(jù)的研究，若用以往傳統(tǒng)的高維方法來研究，比如多元ARIMA模型、多元GARCH模型等等，受到的挑戰(zhàn)是過參數(shù)化的問題，繼而引發(fā)“維數(shù)災(zāi)難”。為了有效地避免“維數(shù)災(zāi)難”問題，利用因子模型來進(jìn)行降維是一種簡單而又行之有效的方法，進(jìn)而達(dá)到利用少數(shù)維數(shù)的變量來解釋高維變量的目的。在經(jīng)典的因子分析中，都是通過對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，利用累計(jì)貢獻(xiàn)率來選擇因子的個(gè)數(shù)，或者是通過信息準(zhǔn)則AIC、BIC的方式來確定因子的個(gè)數(shù)，如Ruey S等［2-4］用MCMC中的信息準(zhǔn)則DIC來選擇因子的個(gè)數(shù)。這些方法要么太過主觀，要么計(jì)算量大。針對高維時(shí)間序列數(shù)據(jù)，本文將利用一種客觀且計(jì)算量小的確定因子個(gè)數(shù)的方法［5］——比值估計(jì)，該方法不僅具有良好的理論性質(zhì)，而且會表現(xiàn)出“維數(shù)微笑”的特點(diǎn)。分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)金融危機(jī)會導(dǎo)致股市出現(xiàn)明顯的波動因子，且各因子之間的依賴性明顯增強(qiáng)。具體地，危機(jī)前的股市呈現(xiàn)出強(qiáng)傳導(dǎo)及局部大波動的特性，而危機(jī)后則會出現(xiàn)弱傳導(dǎo)及全局弱波動的特性。

1 因子模型

對于一個(gè)p維的平穩(wěn)的時(shí)間序列向量yt=（y1t，y2t，…，ypt）′，t=1，2，…，T?？梢詫ζ淇紤]線性因子模型，將其分解為動態(tài)成分和靜止成分，即

其中xt=（x1t，x2t，…，xrt）′為r×1的因子向量，r為主因子個(gè)數(shù)，且r＜p，εt～WN（μt，Σt）為白噪聲過程。假設(shè)因子載荷矩陣A=（a1，a2，…，ar）為p×r的半正交矩陣。

考慮A的正交補(bǔ)矩陣B=（b1，b2，…，bp-r）為p×（p-r）矩陣，滿足B′A=0且B′B=Ip-r。因此有

式

（2）說明｛bjyt｜1≤j≤p-r｝為白噪聲過程。

進(jìn)一步，若假設(shè)序列｛xt｝是平穩(wěn)的，則Cov（xt，εt+k）=0，k≥0。該條件只是要求xt和未來的特殊因子不相關(guān)。定義

根據(jù)以上條件，則有

給定k0≥1，定義

式（4）說明M是非負(fù)定矩陣，且由式（3），則MB=0，即B矩陣是由矩陣M的零特征根所對應(yīng)的正交特征向量所組成。由于B是A的正交補(bǔ)，因此矩陣A是由矩陣M的非零特征根所對應(yīng)的特征向量組成，而M的非零特征根的個(gè)數(shù)即為因子的個(gè)數(shù)r。因?yàn)橥ǔ］^低的延遲階數(shù)有較大的自相關(guān)性，因此式（4）中傾向于取較小的k0。由式（4）中的樣本估計(jì)式

即可求得因子載荷矩陣A及因子個(gè)數(shù)r。但是由于有限樣本的隨機(jī)性，M?的零特征根的值不一定為0，而是在0附近波動，因此用以往的畫特征根散點(diǎn)圖的方法不易判斷r的取值。故提出r的比率估計(jì)［5］，即

其中λ1≥λ2≥…≥λp是矩陣M的特征值，R為常數(shù)，且1≤R≤p，一般取R=p/2。當(dāng)p一定而n趨向于無窮時(shí)，M?的特征值趨向于0，比率估計(jì)具有相合性。而當(dāng)p和n均趨于無窮時(shí)，盡管比率估計(jì)不具有相合性，但在一定情形下r估計(jì)結(jié)果具有“維數(shù)微笑”特點(diǎn)。

兩步估計(jì)法：因子xj的強(qiáng)度為δj：‖aj‖2?p1-δj，其中符號?定義為若a=O（b）且b=（O）a，則a?b。故當(dāng)δj=0時(shí)，xj的強(qiáng)度最大，為強(qiáng)因子；而當(dāng)δj＞0時(shí)，xj為弱因子。當(dāng)因子模型中的因子有強(qiáng)弱之分時(shí)，可采用兩步估計(jì)法來確定因子的個(gè)數(shù)。即將因子模型寫成

其中x1t是由r1個(gè)強(qiáng)因子組成，x2是由r2個(gè)弱因子組成，且r1+r2=r。

兩步估計(jì)法步驟如下：

第1步：通過比率估計(jì)來選擇r1的值的前r1個(gè)小的所對應(yīng)的特征向量來構(gòu)成

2 實(shí)證分析

為分析2008年全球金融危機(jī)前后對中國股市的影響，選擇中國上證180指數(shù)成分股中115支股票作為研究對象，比較分析其在金融危機(jī)前后的波動情況。分別將2004年1月1日至2008年9月30日作為金融危機(jī)前時(shí)間段，將2008年10月1日至2012年10月1日作為金融危機(jī)后的時(shí)間段［6-7］。樣本量分別為1151和975。將股票的日收盤價(jià)格Pt取對數(shù)差分，得到日對數(shù)收益率yt，即

2.1 金融危機(jī)前的股市因子分析

2.1.1 因子個(gè)數(shù)r的選擇——兩步法

由圖1，選擇最小的比率值所對應(yīng)的橫軸值即為因子的個(gè)數(shù)，即強(qiáng)因子個(gè)數(shù)r1為2。由圖2，選擇弱因子個(gè)數(shù)r2為2。故總的因子個(gè)數(shù)r為4。

2.1.2 因子載荷矩陣和因子得分序列

圖3為第1、第2主因子載荷序列，可以看出第1主因子的載荷都為負(fù)值，因此可解釋為消極因子，該因子對股票的對數(shù)收益率有負(fù)向的影響作用；第2主因子載荷大多數(shù)值都在0附近，而少數(shù)載荷值的絕對值都很大，共有15個(gè)載荷值比較大，即具有很大的收益波動性，因此可解釋為局部強(qiáng)波動因子；而第3、4主因子的載荷沒有顯著的特點(diǎn)，且這兩個(gè)因子強(qiáng)度較弱，因此視其為兩個(gè)不確定因子。

圖1 危機(jī)前第1步特征值比率

圖2 危機(jī)前第2步特征值比率

圖3 危機(jī)前第1、第2因子載荷序列

2.2 金融危機(jī)后的股市因子分析

2.2.1 因子個(gè)數(shù)r的選擇——兩步法

由圖4，可選擇強(qiáng)因子個(gè)數(shù)r1為1。由圖5，可選擇弱因子個(gè)數(shù)r2為1。故總的因子個(gè)數(shù)r為2。

2.2.2 因子載荷矩陣和因子得分序列

圖6為第1、第2主因子載荷序列，由于第1主成分的因子載荷值都為負(fù)值，因此可解釋為消極因子，且該因子為強(qiáng)因子；第2因子成分股票都出現(xiàn)較弱的波動情況，可解釋為全局弱波動因子，為弱強(qiáng)度因子。

2.3 危機(jī)前后因子比較分析

金融危機(jī)前的主因子個(gè)數(shù)為4，分別為消極因子、局部強(qiáng)波動因子和2個(gè)不確定因子，而金融危機(jī)后的主因子個(gè)數(shù)為2，分別為消極因子、全局弱波動因子。

危機(jī)前后都有一個(gè)固定因子，即消極因子，可解釋為股票市場的抗震蕩因子或穩(wěn)定因子，為股票市場內(nèi)在因素。危機(jī)前后還有若干外在因素，如危機(jī)前出現(xiàn)的局部強(qiáng)波動因子和2個(gè)不定弱因子以及危機(jī)后出現(xiàn)的全局弱波動因子。

由上面的因子分析發(fā)現(xiàn)，金融危機(jī)對股市的影響具有傳導(dǎo)效應(yīng)，即由危機(jī)前的局部大波動與不定因素的作用，波動會逐步蔓延至整個(gè)股市，即危機(jī)后的全局波動。其次，中國股市存在一個(gè)固定因子，即消極因子，該因子可以在一定條件下保證股票市場的穩(wěn)定。但在金融危機(jī)時(shí)，由于波動因子的強(qiáng)影響，會打破穩(wěn)定狀態(tài)，導(dǎo)致股市發(fā)生大震蕩。

圖4 危機(jī)后第1步特征值比率

圖5 危機(jī)后第2步特征值比率

圖6 危機(jī)后第1、第2因子載荷序列

2.4 消極因子的聯(lián)動性分析

消極因子為金融危機(jī)前后115支股票強(qiáng)度最強(qiáng)的因子，它解釋了115支股票的內(nèi)在特點(diǎn)，雖然消極因子是股票市場的固定因子，但是其在不同的金融環(huán)境下會發(fā)生一定的變化，因此有必要進(jìn)一步分析該因子的波動率情況。為研究因子模型中消極因子在金融危機(jī)前后的波動情況，分別對這兩個(gè)消極因子建立隨機(jī)波動率模型，并通過MCMC中Gibbs抽樣和格子抽樣法對模型進(jìn)行估計(jì)。建立的隨機(jī)波動率模型［8］為

其中｛εt｝是均值為0、方差為1的高斯白噪聲，｛vt｝是均值為0、方差為σv2的高斯白噪聲，且｛εt｝和｛vt｝是獨(dú)立的，（h1，h2，…，hn）為波動率序列。利用Gibbs抽樣抽取參數(shù)μ，α0，α1，σv2的樣本。其先驗(yàn)分別為

使用GARCH（1，1）模型對｛ht｝進(jìn)行初始賦值，令為｛h0t｝，α、σv2的初始值為ln（h0t）的最小二乘估計(jì)，μ的初始值為對數(shù)收益率的均值。

利用格子抽樣來對波動率｛ht｝進(jìn)行抽樣，ht的可行范圍為［η1t，η2t］，其中η1t=0.6×max（hj-1，h0t），η2t= 0.6×min（hj-1，t，h0t），這里hj-1，t和h0t分別表示ht的第（j-1）次迭代的估計(jì)值和初始值。該方法比直接使用Gibbs抽樣效率要高得多。利用MCMC抽取2 500個(gè)樣本，將前500個(gè)樣本燃燒掉。表1為隨機(jī)波動率模型參數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

結(jié)果顯示金融危機(jī)前的消極因子均值為-0.0013，危機(jī)后消極因子均值為-0.0040，說明相對于金融危機(jī)前，消極因子在金融危機(jī)后的消極作用更明顯。消極因子解釋的是股票市場穩(wěn)定性能，故可以看出在金融危機(jī)后，由于國家政策的實(shí)施，使得股票市場的抗波動性增大，股市趨于穩(wěn)定。

金融危機(jī)前的長期波動率為exp（α0/α1）=0.772 6，金融危機(jī)后的長期波動率為0.5031，說明金融危機(jī)前的波動率要大于金融危機(jī)后的波動率。從危機(jī)前后的對數(shù)波動率的相依性來看，危機(jī)前波動率的聯(lián)動相依性（0.932 8）要大于危機(jī)后的波動聯(lián)動相依性（0.8438），也即在金融危機(jī)前時(shí)間段，前一天的市場波動率對后一天的影響很大。

波動率的時(shí)間序列如圖7所示，可以看出在金融危機(jī)前時(shí)間段，波動率呈總體上升趨勢，特別是從2008年開始，波動率一直處于0.1的高波動處，而自2009年初波動率開始變得平緩，一直處于0.06以下，到了2011年股市的波動率幾乎在0附近，說明股市已基本擺脫金融危機(jī)的影響。

表1 隨機(jī)波動率模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖7 金融危機(jī)前后的消極因子波動率序列

2.5 主因子和上證綜合指數(shù)的關(guān)系

為了研究各主因子對上證市場的解釋力度，分別將金融危機(jī)前、后的主因子與上證綜合指數(shù)建立線性回歸模型，即

其中｛yt｝為上證綜合指數(shù)時(shí)間序列，｛β0，β1，…，βr｝為系數(shù)參數(shù)，｛factor1，factor2，…factorr｝為主因子，r為主因子的個(gè)數(shù)，｛εt｝為隨機(jī)誤差序列。由最小二乘法可得到模型的估計(jì)結(jié)果，如表2所示。該結(jié)果中金融前后回歸模型的擬合優(yōu)度都達(dá)到了0.973，而且各因子的估計(jì)系數(shù)顯著，因此主因子的線性組合對上證市場有很好的解釋力度，即較少的幾個(gè)主因子便可以解釋上證股票市場的動態(tài)情況。同時(shí)也說明可以通過因子降維的方法來分析上證綜合指數(shù)成分股是一個(gè)不錯的選擇。

表2 上證綜合指數(shù)和各主因子的回歸模型估計(jì)結(jié)果

3 結(jié)語

本文采用高維因子模型對上證115支股票在金融危機(jī)前后的波動情況進(jìn)行分析，由于傳統(tǒng)因子模型方法的低維限制，因而利用了一種新方法對高維因子模型進(jìn)行估計(jì)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)金融危機(jī)前期股票的因子個(gè)數(shù)是4，而金融危機(jī)后期股票的因子個(gè)數(shù)是2，其中危機(jī)前期股市由一個(gè)內(nèi)在因子和3個(gè)外在波動因子組成，危機(jī)后由一個(gè)內(nèi)在消極因子和一個(gè)外在波動因子組成，說明金融危機(jī)前期股市受外在影響的因素要多于危機(jī)后期股市的受影響因素。

再次，利用波動率模型對危機(jī)前后內(nèi)在因子，即消極因子進(jìn)行聯(lián)動性分析，發(fā)現(xiàn)危機(jī)后消極因子作用力度大于危機(jī)后，說明由于國家政策的作用，股市的抗震蕩能力增強(qiáng)。其次，金融危機(jī)前期的消極因子波動率不僅高于后期的波動率，其依賴程度也大于后期的依賴程度，說明危機(jī)時(shí)期股市的波動聯(lián)動性明顯增強(qiáng)。

最后，對指數(shù)和因子建立回歸模型，發(fā)現(xiàn)上證綜合指數(shù)和模型的因子有著很強(qiáng)的線性相關(guān)性，說明上證股票類具有很顯著的因子效應(yīng)，這也為上證股票綜合指數(shù)分析提供了一種簡便易算的新方法。

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【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

The analysis of impact of financial crisis on stocks based on high-dimensional factor time series

LIAO Chun-fang,LIU Jin-shan
（College of Mathematics and Information,South China Agricultural University,Guangzhou 510642,China）

In order to analyze the impact of Financial Crisis on Stocks market,this paper applies the factor model with a new method.The result shows that there exits less factors than the factors after crisis.Moreover,the pre-crisis volatility finds more fluctuated and correlated by applying the stochastic volatility model.Last,the well-fit regress model between SH composite index and factors gives a new approach to analyze the stock market.

factor model;financial crisis;stock market;stochastic volatility;MCMC

F832.51

A

1008-0171（2016）06-0031-06

2016-01-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171117）

廖春芳（1990-），女，湖南邵陽人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)碩士研究生。*

劉金山（1958-），男，河南方城人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教授。