張曉彥

(山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044004)

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淺析“月上柳梢頭”的數(shù)學(xué)模型

張曉彥

(山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044004)

首先給出定義，說明出現(xiàn)“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一情景的自然條件，由公式T=0.8R+6，粗略計(jì)算農(nóng)歷十五月出時(shí)間，通過簡(jiǎn)單的幾何論證，建立數(shù)學(xué)模型得函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算得日落時(shí)間(地方太陽時(shí)).根據(jù)給出的黃昏的定義，推算日落時(shí)間，進(jìn)而驗(yàn)證模型的合理性.

赤緯角；晨昏線；晝?。蝗呛瘮?shù)

1 模型假設(shè)

1)太陽照射地球的光線為一組平行線；

2)地球上人的身高，柳樹的高度不計(jì)，看作一點(diǎn)；

3)地球?yàn)橐磺蝮w，地球公轉(zhuǎn)軌道形狀為正圓，公轉(zhuǎn)速度勻速；

4)地球自轉(zhuǎn)速度：360°÷24=15°/h；

5)大氣折光作用和太陽視半徑忽略不計(jì).

2 相關(guān)定義

晨昏線：指地球上晝半球和夜半球之間的分界線，是地球的大圓圈.

赤緯角：赤緯角又稱太陽赤緯，是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角.赤緯角是由于地球繞太陽運(yùn)行造成的現(xiàn)象，它隨時(shí)間而變，因?yàn)榈剌S方向不變，所以赤緯角隨地球在運(yùn)行軌道上的不同點(diǎn)具有不同的數(shù)值.赤緯角以年為周期，在+23°27′與-23°27′的范圍內(nèi)移動(dòng)，成為季節(jié)的標(biāo)志.

時(shí)差:指的是地方時(shí)的差異，是兩地的經(jīng)度的地方時(shí)的差，太陽直射的經(jīng)線地方時(shí)為正午12點(diǎn).

地方太陽時(shí):符合當(dāng)?shù)亟?jīng)度的時(shí)間.不同經(jīng)度的地方，太陽升起落下有先有后.

北京時(shí)間作為我國的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，是東經(jīng)120度的地方太陽時(shí).120經(jīng)線貫穿了我國東部沿海的省市.

3 符號(hào)說明

1)A，B，C，D是位于同一緯度的四個(gè)點(diǎn)，緯度角為γ；

2)由A，B，C，D所成平面與地軸交于點(diǎn)G；

3)NS為地軸線，O為地心；

4)弧BCD為晝弧，弧DAB為夜??；

5)BDF為晨昏線，晨昏線所在平面與ABCD面相交，BD為交線，E為BD中點(diǎn)；

6)赤緯角為β；

7)晨昏線所在平面與地軸夾角為，且θ=β；

8)∠BOC為晝弧的一半所對(duì)的圓心角，記為γ；

9)T:月出時(shí)間(地方太陽時(shí))；

10)Y:陰歷日期；

11)地球半徑為R.

4 模型建立

4.1 月出時(shí)間確定

“月上柳梢頭”是指月亮從東方地平線升起，上升至與地面成15°夾角的東南方天空為月上柳梢頭；“黃昏”是指太陽落山到天黑之前的一段時(shí)間，我們認(rèn)為日落后大約50 min;月亮本身不發(fā)光，也不透明，我們見到的月光其實(shí)是太陽的反射光.由于月球繞地球運(yùn)動(dòng)，使太陽、地球、月球三者相對(duì)位置在一個(gè)月中有規(guī)律的變動(dòng).

當(dāng)陰歷十五，滿月時(shí)，由T=0.8Y+6，

得T=18：00時(shí),即月出時(shí)間為18:00時(shí),地球自轉(zhuǎn)(自西向東)一周是24小時(shí)，則每小時(shí)自轉(zhuǎn)

360°÷24=15°

而我們定義“月上柳梢頭”是指月出后上升到與地面15°夾角的位置，即自18:00時(shí)月出后延遲1小時(shí)，我們認(rèn)為“月上柳梢頭”的時(shí)間為19:00時(shí)(地方太陽時(shí)).

4.2 日落時(shí)間確定

日落是指太陽徐徐降下至西方的地平線下的過程，即夕陽時(shí)分，而確實(shí)的定義為日面完全沒入地平線下的時(shí)間.日落的時(shí)間會(huì)隨著季節(jié)及各地方緯度的不同而改變.下面我們來討論不同緯度和赤緯角對(duì)日落時(shí)間的影響.

圖1 緯度與日落時(shí)間的關(guān)系

設(shè)A,B,C,D是位于同一緯度的四個(gè)點(diǎn)，緯度角為α.由A,B,C,D所成平面與地軸交于點(diǎn)G，太陽赤緯角為β.NS為地軸線，O為地心.弧BCD為晝弧，弧DAB為夜弧，弧BHDF為晨昏線，晨昏線所在平面過地心O，與ABCD平面交于BD,E為BD的中點(diǎn).平面BHDF與地軸夾角為θ，且∠θ=∠β，∠BGC為晝弧的一半所對(duì)的圓心角，記為γ.見圖1.

在直角三角形BEG中，∠BEG=90°，設(shè)∠BGE為δ

設(shè)地球半徑為R，BG=AG=Rcosα

在直角三角形AOG中，OG=Rsinα

在直角三角形EOG中，EG=OGtanθ=OGtanβ=Rsinαtanβ

cos(180°-γ)=cosδ=tanxtanβ.

5 模型檢驗(yàn)

前面提到“月上柳梢頭，人約黃昏后”我們認(rèn)為是“滿月”時(shí)間，即指太陽、地球、月亮在同一直線，且太陽和月亮分別在地球兩邊.歐陽修《生查子》詞作是其在峽州夷陵(今湖北宜昌)所作，故我們以宜昌為例計(jì)算2015年正月十五(2015年3月5日)的日落時(shí)間.

湖北宜昌：經(jīng)度(111.28),緯度(30.70);

因赤緯值日變化很小，一年內(nèi)任何一天的赤緯角可用下式計(jì)算：

β=23.45°×sin[(n-80.25)×(1-n/9 500)]

式中為日數(shù)，自1月1日開始計(jì)算.

當(dāng)α=30.70°,n=64時(shí)，日落時(shí)間t=18.4 h，即18時(shí)24分(地方太陽時(shí)).

北京經(jīng)度：116.38，經(jīng)度差：116.38-111.28=5.1

因?yàn)闀r(shí)間差與經(jīng)度有關(guān)，經(jīng)計(jì)算得宜昌當(dāng)?shù)貢r(shí)間與北京時(shí)間相差20分，所以宜昌日落用北京時(shí)間表示為18時(shí)44分，而通過查詢資料宜昌在2015年正月十五(2015年3月5日)實(shí)際日落時(shí)間為18時(shí)36分，在我們?cè)试S的誤差范圍內(nèi)，該模型具有可行性.

通過以上模型，日落時(shí)間(地方太陽時(shí))為18時(shí)24分，向后延遲50分鐘至19時(shí)14分，就是我們定義的黃昏，前面我們已經(jīng)討論“月上柳梢頭”的時(shí)間為19時(shí)，所以符合“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一情景.

該模型充分考慮了月亮、地球、太陽之間的關(guān)系，利用天文學(xué)知識(shí)近似求出月出日落時(shí)間，將抽象的詩句通過天文學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)化，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，通過圖形、表格給人以直觀的感覺，不足的是對(duì)某些情形作了很多假設(shè)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)有些誤差.

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[6] 陳曉勇,鄭科科.對(duì)建筑日照計(jì)算中太陽赤緯角公式的探討.浙江建筑，2011(9):12-14

On "Liu Shao on the Head," the Mathematical Model

ZHANG Xiaoyan

(Shanxi Conservancy Technical University, Yuncheng 044004, China)

Firstly, the definition, description appears "month on the willow, after Renyuehuanghun" This scenario natural conditions by the equationT=0.8R+6, a rough calculation Lunar New Year 15 Moonrise, by simple geometric argument, a mathematical model was functional relationship, calculated sunset time(local solar time). According to the definition given in the evening, the projected sunset times, and then verify that the model is reasonable.

declination angle; twilight line; day arc; trigonometric

2016-03-25

張曉彥(1980-)，女，河北宣化人，碩士，山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要從事微分幾何方向研究.

1672-2027(2016)02-0034-03

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