李雪峰
【摘要】高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要工具.但很多學(xué)生卻對(duì)高數(shù)的學(xué)習(xí)不重視.本文通過幾個(gè)實(shí)例來說明高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用,以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)的積極性.
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);經(jīng)濟(jì)學(xué);應(yīng)用
高等數(shù)學(xué)是經(jīng)管類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課,但很多學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)高數(shù)“沒有什么用”,因而對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)失去興趣,覺得它枯燥乏味.即便是學(xué)習(xí)也只是為了應(yīng)付考試,并沒有真正掌握.本文就通過一些例子說明高數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,以提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣,從而使學(xué)生們重視高數(shù)的學(xué)習(xí).
特別說明,本文中涉及的經(jīng)濟(jì)函數(shù)的定義出自書[1]和[2].
一、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)常用函數(shù)
(一)需求函數(shù)與供給函數(shù)
需求函數(shù)是指消費(fèi)者在一定的價(jià)格水平上對(duì)某種商品有支付能力的需要:人們對(duì)某一商品的需求受許多因素的影響,如價(jià)格、收入、替代品、偏好等.一般研究中,需求量Qd是價(jià)格p的函數(shù),此函數(shù)稱為需求函數(shù),記為Qd=f(p).
供給函數(shù)是生產(chǎn)者或銷售者在一定價(jià)格水平上提供市場(chǎng)的商品量.一般而言,供給量Qs是價(jià)格p的函數(shù),記為Qs=g(p).
(二)總成本函數(shù)
成本是指生產(chǎn)制造產(chǎn)品所投入的原材料、人的勞動(dòng)力與技術(shù)等生產(chǎn)資料的貨幣表現(xiàn).它是產(chǎn)量的函數(shù),記為C(x),其中x為產(chǎn)量.
總成本函數(shù)由固定成本和可變成本兩部分組成.固定成本與產(chǎn)品的產(chǎn)量(或銷售量)x無關(guān).可變函數(shù)是x的函數(shù),因此總成本是x的函數(shù),記為
C(x)=C0+V(x)
其中C0是固定成本,x是產(chǎn)量(或銷售量),V(x)是可變成本.
(三)總收益函數(shù)和總利潤函數(shù)
總收益函數(shù)是指一定量的產(chǎn)品出售后所得到的全部收入,若產(chǎn)品的銷售單價(jià)為p,銷售量為x,則總收益函數(shù)為R(x)=P(x).
平均收益函數(shù)為R(x)=R(x)x=xP(x)x=P(x).
若產(chǎn)品的銷售量即是生產(chǎn)量,則生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的總利潤函數(shù)等于總收益函數(shù)與成本函數(shù)之差,即L(x)=R(x)-C(x).
(四)邊際函數(shù)與彈性函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),則導(dǎo)函數(shù)f′(x)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中又稱為邊際函數(shù).
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量Δyy0=f(x0+Δx)-f(x0)f(x0)與自變量的相對(duì)該變量Δxx0之比,當(dāng)Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在,則稱此極限為f(x)在x=x0處彈性,記為EyEx|x=x0.
若f(x)在任意x處可導(dǎo),則稱EyEx=xy·f′(x)為f(x)在x處的彈性函數(shù).
二、極限在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用
極限概念是微積分中最基本的概念.微積分中很多概念都是用極限概念來表達(dá)的.如導(dǎo)數(shù)和定積分在定義時(shí)都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上.而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中同樣有很多概念也是通過極限概念來定義的.所以掌握極限的概念及其思想方法對(duì)于掌握經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要概念有很大的幫助.下面就通過一個(gè)例子——復(fù)利與連續(xù)復(fù)利問題,來說明極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用.
例1有本金10000元,存款一年,年利率為12%,求到期本利之和為:
(1)如果一年計(jì)息1期;(2)按連續(xù)復(fù)利計(jì)息.
三、經(jīng)濟(jì)中的最值問題
在生產(chǎn)銷售中,到處可見“最大、最小”這類問題.生產(chǎn)者追求最低成本,銷售者要得到最大利潤等等.這些實(shí)際問題的解決辦法就要借助高等數(shù)學(xué)中的求解最大值與最小值的方法.
例2某專門賣寵物用品連鎖店的市場(chǎng)推銷部門研究他們銷售的金魚缸泵價(jià)格需求曲線近似為
p=120-20lnx(0 其中x為每周銷售這種泵的數(shù)量,p是每個(gè)泵的價(jià)格(以元為單位).若每個(gè)泵的成本為30元,試求每周取得利潤的最大值以及相應(yīng)的每周泵的銷售量. 解由已知可求得收益函數(shù)R(x)為 R(x)=px=(120-20lnx)x=120x-20xlnx. 其成本函數(shù)為C(x)=30x, 因此利潤函數(shù)為 L(x)=R(x)-C(x)=120x-20xlnx-30x =90x-20xlnx, 則L′(x)=90-20lnx-20=70-20lnx. 令L′(x)=0,求得L(x)的駐點(diǎn)為x=e72≈32. 又因?yàn)長″(x)=-20x<0, 所以L(x)在x=32處取得極大值.而在0 L(32)=90×32-20×32ln32=640(元). 此時(shí)相應(yīng)每個(gè)泵的價(jià)格為p=120-20ln32≈50(元). 四、定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 學(xué)了一元函數(shù)積分學(xué)后就知道在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本函數(shù),總收入函數(shù),利潤函數(shù)分別是邊際成本函數(shù),邊際收入函數(shù),邊際利潤函數(shù)的原函數(shù).那么再根據(jù)定積分定義及其計(jì)算方法,便可求得相應(yīng)的函數(shù). 例3已知某商品的邊際收益為R′(x)=200-12x(元/單位),其中x表示該商品的產(chǎn)量.求該商品的總收益函數(shù),并求當(dāng)商品的產(chǎn)量達(dá)到100單位時(shí)總收益. 解函數(shù)為 R(x)=∫x0(200-12t)dt=[200t-t24]x0=200x-x24, 則平均收益函數(shù)為R(x)=R(x)x=200-x4. 當(dāng)生產(chǎn)100單位時(shí),總收益為 R(100)=200×100-10024=17500(元), 平均收益為R(100)=200-1004=175(元). 高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用的例子還有很多,由于篇幅有限,在此不再列舉.通過這些例子,足以說明學(xué)習(xí)高數(shù)對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的重要性.沒有高數(shù)課程的鋪墊,專業(yè)課就很難順利進(jìn)行.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅為專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),而且還可以在學(xué)習(xí)的過程中不斷培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力.這種能力可以更好地幫助我們解決很多實(shí)際問題. 【參考文獻(xiàn)】 [1]莊興元,董建華.高等數(shù)學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2009:2-5. [2]竇連江.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006:13-14. [3]張慶堯.實(shí)用數(shù)學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008:111-114.