魏玉淼，董永貴

（1. 清華大學(xué) 精密儀器系 精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2. 火箭軍工程大學(xué) 202教研室，西安 710025）

從共振衰減響應(yīng)中提取微機(jī)械陀螺的骨架曲線

魏玉淼1,2，董永貴1

（1. 清華大學(xué) 精密儀器系 精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；2. 火箭軍工程大學(xué) 202教研室，西安 710025）

為測量微機(jī)械陀螺的非線性特性，研究了一種從共振衰減響應(yīng)信號中提取骨架曲線的方法。采用Hilbert變換處理共振衰減信號，對所得到的瞬時幅值及瞬時頻率曲線進(jìn)行奇異譜分析，濾除信號中噪聲引起的非理想波動，從而得到清晰易辨的骨架曲線，解決了基于Hilbert變換的非線性辨識方法對噪聲敏感的問題。針對Duffing系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果表明，這種方法比FREEVIB方法具有更好的抗噪聲性能。對一種環(huán)型振動微陀螺進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試，所得到的骨架曲線、阻尼曲線以及頻率響應(yīng)曲線與傳統(tǒng)掃頻方式的測量結(jié)果有良好的一致性。作為一種通用測試手段，這種方法同樣適用于其他微機(jī)械諧振元件動力學(xué)特性的實(shí)驗(yàn)測試。

微機(jī)械陀螺；非線性特性；Hilbert變換；骨架曲線；奇異譜分析

微機(jī)械諧振器是基于諧振原理的 MEMS測量系統(tǒng)的重要組成部分，作為一類典型敏感元件，已廣泛應(yīng)用于微機(jī)械慣性傳感器、諧振式壓力傳感器等領(lǐng)域。采用微電子技術(shù)和硅微加工工藝制作的微陀螺具有尺寸小、重量輕、成本低廉等優(yōu)點(diǎn)，但其諧振器相對于宏觀尺寸的機(jī)械振動系統(tǒng)更容易呈現(xiàn)出非線性動力學(xué)特性[1-2]。為獲得更高的檢測靈敏度，通常要求驅(qū)動模態(tài)具有較大的振幅，這有利于提高輸出信號的信噪比。然而，諧振器的振動幅值接近甚至處于非線性區(qū)域時，非線性效應(yīng)的影響增加會導(dǎo)致諧振器工作頻率不穩(wěn)定，系統(tǒng)的整體性能反而會因此而降低[3-4]。因此，針對微諧振器非線性動力學(xué)特性的研究成為近年來這一領(lǐng)域的熱點(diǎn)[5-8]。

目前，非線性動力學(xué)特性的測試主要有正弦波掃頻和自由衰減振蕩兩種方法。正弦波掃頻法通過不同激勵幅值下的頻響曲線表征系統(tǒng)的非線性特性[9]。由于需要進(jìn)行多次掃頻，該方法操作過程復(fù)雜而繁瑣。自由衰減振蕩方法通過信號處理技術(shù)從共振衰減信號中提取出系統(tǒng)的非線性信息，是一種無參數(shù)模型的估計方法[10-11]。在這方面的研究中，以Feldman M提出的FREEVIB方法最為典型。采用Hilbert變換提取共振衰減響應(yīng)信號中的瞬時模態(tài)參數(shù)，可有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的骨架曲線、阻尼曲線等非線性特性的辨識[11-13]。針對 Hilbert變換計算結(jié)果的噪聲敏感問題，Peng Z K[14,15]、Wang C[16]分別利用多項式調(diào)頻小波變換和小波脊線法從共振衰減信號中提取非線性系統(tǒng)的響應(yīng)特性，數(shù)值仿真結(jié)果表現(xiàn)出較好的抗噪能力。

總體來看，由于Hilbert變換對噪聲非常敏感[12-13]，基于自由衰減振蕩與Hilbert變換的研究中，多以理論分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證為主，工程應(yīng)用實(shí)例較少。針對微陀螺、微加速度計等工作頻率較高，Q值較大的諧振器的實(shí)例研究，尚未見相關(guān)報道。

奇異譜分析（Singular Spectrum Analysis, SSA）是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)分析方法，不僅適用于分析常見的平穩(wěn)信號，而且對非線性、非平穩(wěn)信號也有較為理想的處理效果。SSA可以從含噪時間序列中準(zhǔn)確地提取出各種特征信息，分離出趨勢項、周期項、噪聲等成分。與傳統(tǒng)的基于頻率特性的濾波方法相比，SSA在保留原始信號時域特征方面具有很好的優(yōu)勢。近年來，在健康醫(yī)療[17]、大地測量[18-19]、故障診斷[20]、非線性動力學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

本文以 MEMS環(huán)陀螺為研究對象，采用 Hilbert變換從共振衰減響應(yīng)信號中提取出瞬時幅值（Instantaneous Amplitude, IA）和瞬時頻率（Instantaneous Frequency, IF）。然后使用SSA算法消除IA和IF中的非理想波動，得到清晰易辨的骨架曲線、阻尼曲線及幅頻曲線等非線性特征信息，解決了基于Hilbert變換的辨識方法的噪聲敏感問題。測試結(jié)果與掃頻法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明了這種方法的有效性。

1 原理及仿真分析

單自由度二階動力學(xué)系統(tǒng)受到正弦脈沖激勵時，其動力學(xué)方程可表達(dá)為

式中：m為模態(tài)質(zhì)量；c( x˙)和k( x)分別為阻尼和剛度系數(shù)；F(t)為激勵信號；B和fd分別表示激勵幅值和頻率；t1為正弦脈沖信號的寬度。t＞t1時，正弦脈沖激勵停止，系統(tǒng)進(jìn)入自由衰減振蕩狀態(tài)。

假定研究對象為高頻低阻尼的 Duffing系統(tǒng)，模態(tài)質(zhì)量為m=10-7kg。阻尼系數(shù)與振動幅值無關(guān)（線性阻尼），取為；剛度系數(shù)則與振動幅值有關(guān)，取為N/m（“軟彈簧”特性的非線性剛度）。激勵脈沖幅值和頻率分別選為B=0.20N和fd=20kHz。t1取0.8s，采樣頻率 fs=1MHz，仿真總時間為 1.6s。利用 Matlab中的ode45求解器計算出系統(tǒng)共振衰減信號的時域波形如圖1所示。

圖1 仿真系統(tǒng)的共振衰減響應(yīng)Fig.1 Resonance decay response of the simulated system

對于圖1所示共振衰減響應(yīng)信號x(t)，采用FREEVIB方法[11-13]獲取系統(tǒng)非線性特性的處理過程如下：

步驟 2 通過式(2)計算得到的瞬時幅值 A(t)、瞬時角頻率ω(t)及其導(dǎo)數(shù)，估計出系統(tǒng)瞬時頻率 f0(t)和阻尼系數(shù)h0(t)：

步驟3 采用低通濾波器對f0(t)、A(t)和h0(t)等進(jìn)行平滑處理，得到f0(t)LPF、A(t)LPF以及h0(t)LPF，便可獲得分別以f0(t)LPF、h0(t)LPF為橫坐標(biāo)，A(t)LPF作為縱坐標(biāo)的骨架曲線和阻尼曲線，同時估計出頻率響應(yīng)曲線（Frequency Response Function, FRF）。

為模擬實(shí)測情況，向圖1中的信號添加噪聲，得到一組不同信噪比（SNR）下的共振衰減信號。使用FREEVIB方法分別進(jìn)行處理，結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯?，F(xiàn)REEVIB方法能從理想信號中準(zhǔn)確地提取出系統(tǒng)的骨架曲線以及阻尼曲線，估算出的FRF曲線清晰而規(guī)則。當(dāng)SNR為70dB時，計算得到的骨架曲線上半部分與理論值能較好吻合，底部則出現(xiàn)了一定的偏離，阻尼曲線以及FRF曲線估計值均出現(xiàn)了明顯波動。SNR降至50dB后，處理結(jié)果整體出現(xiàn)明顯偏移，難以真實(shí)反映系統(tǒng)的非線性特性。

分析圖2可知，骨架曲線以及FRF曲線的偏移主要是由于瞬時頻率f0(t)LPF的估計結(jié)果（圖2b）偏離理論值所導(dǎo)致。FREEVIB方法采用的是基于頻率特性的低通濾波器，應(yīng)該是導(dǎo)致瞬時頻率出現(xiàn)較大波動的主要原因。與此相比，奇異譜分析（SSA）[17-20]能夠在時域上準(zhǔn)確提取出時間序列的變化趨勢，可彌補(bǔ)頻域?yàn)V波方法的這一缺陷。

奇異譜分析包含嵌套、SVD分解、分組、對角平均以及重構(gòu)等處理過程。對于一維時間序列{y(i),i=1,2, ...,N}，首先通過嵌套得到Hankel型軌跡矩陣Y：

其中，L為選取的窗口長度，M=N-L+1。對YM×L進(jìn)行奇異值分解（SVD），從而得到L個特征值及相應(yīng)的特征向量U和V。其中表示第r個主成分。根據(jù)貢獻(xiàn)率對各主成分進(jìn)行分類重組，分別對應(yīng)原時間序列中的各種特征分量。經(jīng)對角平均化處理，并重構(gòu)成一組時間序列，即

圖2 不同SNR條件下FREEVIB法得到的計算結(jié)果Fig.2 Results corresponding to different SNRs obtained by FREEVIB method

可實(shí)現(xiàn)信號中趨勢項、周期項、噪聲等成分之間的分離。

引入SSA算法后的FREEVIB處理過程調(diào)整為：

步驟1 通過Hilbert變換提取共振衰減信號x(t)的瞬時幅值A(chǔ)(t)、瞬時相位θ(t)：

步驟3 使用A(t)SSA、f(t)SSA及其導(dǎo)數(shù)對阻尼系數(shù)h(t)進(jìn)行估計，并根據(jù)A(t)SSA、f(t)SSA和h(t)計算出festd(t)[21]，進(jìn)一步獲得FRF曲線：

采用改進(jìn)后的方法對上述不同 SNR下的共振衰減信號進(jìn)行處理，SSA算法的窗長L均取為800。以SNR為50dB的共振衰減信號為例，對瞬時頻率進(jìn)行SSA處理。前5個主成分PC1～PC5的貢獻(xiàn)率分別為82.643%、0.071%、0.071%、0.069%、0.068%。圖 3給出了瞬時頻率f(t)（圖中的IF）的計算結(jié)果，以及IF經(jīng)SSA處理后，由前5個主成分PC1～PC5重構(gòu)得到的信號，從圖中可以看出，PC1反映了原始信號IF在諧振頻率（約20kHz）附近的變化規(guī)律，而PC2～PC5則主要反映 IF中高頻成分的變化情況。因此，通過PC1即可提取出所需瞬時頻率IF的變化趨勢。也就是說，采用PC1的重構(gòu)信號作為f(t)SSA，便可消除噪聲引起的非理想波動。瞬時幅值的處理過程與此類似，也通過PC1重構(gòu)得到A(t)SSA。按照相同的方法，對其余共振衰減信號進(jìn)行處理，得到的計算結(jié)果如圖4所示。

圖3 瞬時頻率IF及其PC1～PC5重構(gòu)信號（SNR=50）Fig.3 Instantaneous frequency IF and the reconstructed signals corresponding to PC1～PC5 (SNR=50)

對比圖2、圖4可以看出，對于理想信號，本文方法同樣可以準(zhǔn)確地獲得系統(tǒng)的骨架曲線和阻尼曲線，估計出的頻率響應(yīng)曲線清晰、無波動。不同之處在于，當(dāng)SNR較低時，瞬時頻率的估計值不再出現(xiàn)明顯的波動，因此計算得到的骨架曲線仍然清晰易辨且沒有出現(xiàn)明顯的偏離，與理論曲線保持了很好的一致性，因此可以用來表征系統(tǒng)的非線性特性。相比之下，隨著SNR的降低，阻尼曲線底部形狀受噪聲影響而變得更粗，但整個曲線保持了鉛垂形狀，與線性阻尼的假設(shè)相符。FRF曲線的情況與此類似，隨著SNR的降低，F(xiàn)RF曲線的清晰程度呈現(xiàn)逐漸變差的趨勢，但仍能清晰地反映出系統(tǒng)的頻響特性。

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果討論

實(shí)驗(yàn)選用的測試對象為本實(shí)驗(yàn)室研制的一種環(huán)型振動微機(jī)械陀螺[22]。如圖5所示，環(huán)型振動微機(jī)械陀螺包含兩個環(huán)向相差45°的 2節(jié)點(diǎn)彎曲振動模態(tài)，并通過兩個模態(tài)之間的科氏力耦合實(shí)現(xiàn)角速率的測量。該陀螺采用靜電激勵、電容檢測方案，敏感結(jié)構(gòu)采用金屬管殼進(jìn)行低氣壓封裝以保證足夠高的Q值。

圖5 實(shí)驗(yàn)選用的環(huán)形振動微機(jī)械陀螺Fig.5 Vibrating ring gyroscope under test

將Tektronix函數(shù)發(fā)生器AFG 3022B輸出端與陀螺的驅(qū)動電極連接，在驅(qū)動軸(Y)方向驅(qū)動陀螺結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動。檢測軸(X)方向的位移響應(yīng)信號通過連接于檢測電極的電荷放大器獲取。使用數(shù)據(jù)采集卡NI USB 6251，同步采集驅(qū)動軸激勵信號和電荷放大器的輸出響應(yīng)信號。采集到的信號通過USB接口傳輸?shù)接嬎銠C(jī)(PC)中，進(jìn)行后續(xù)的信號處理與計算。

實(shí)驗(yàn)選用的微陀螺驅(qū)動軸固有頻率約為24265Hz，激勵信號為脈寬調(diào)制的正弦電壓信號。為獲得足夠大的振幅，將激勵頻率fd設(shè)置為24265Hz，脈寬調(diào)制正弦信號的幅值選取為200mV。脈寬時間及自由衰減振蕩觀測時間分別確定為1.6 s、1.8s，以確保足以將陀螺激勵至穩(wěn)態(tài)振動，且可采集到足夠長時段的共振衰減信號。采樣頻率fs設(shè)為250kHz（約10倍信號頻率）。

實(shí)測的共振衰減信號以及由此計算得到的瞬時幅值、瞬時頻率如圖6所示?？梢钥闯?，由Hilbert變換計算得到的瞬時頻率（圖6(b)）呈現(xiàn)非常明顯的波動。對其進(jìn)行SSA處理，窗長L取為800。前5個主成分PC1～PC5的貢獻(xiàn)率分別為94.214%、0.422%、0.420%、0.052%、0.052%。與圖3結(jié)果類似，使用PC1重構(gòu)得到的瞬時頻率f(t)SSA如圖6(c)所示。對比可知，經(jīng)過SSA處理，噪聲引起的非理想波動得到了明顯的抑制。

對圖 6(a)的瞬時幅值也進(jìn)行類似處理，計算得到的骨架曲線、FRF曲線以及阻尼曲線如圖7所示。由圖可知，提取出的骨架曲線、FRF曲線清晰易辨，且隨著振幅增大而呈現(xiàn)左側(cè)彎曲的趨勢，表明系統(tǒng)具有“軟彈簧”的非線性特性。與之相比，阻尼系數(shù)則近似呈鉛垂線變化，表明陀螺結(jié)構(gòu)的阻尼基本呈現(xiàn)與振動幅值無關(guān)的線性特性。

圖6 實(shí)測信號及其瞬時幅值、瞬時頻率Fig.6 The sampled signal and the corresponding instantaneous amplitude and instantaneous frequency

圖7 實(shí)測信號的處理結(jié)果Fig.7 Processed curves of the sampled signal

為驗(yàn)證圖7實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信度，采用頻率掃描方式對該陀螺的幅頻響應(yīng)情況進(jìn)行了測試。實(shí)驗(yàn)采用動態(tài)信號分析儀 HP35670A，正弦激勵信號幅值選取80～175mV范圍內(nèi)的5個點(diǎn)，在24 257～24 269Hz范圍內(nèi)分別對陀螺進(jìn)行頻率掃描測量。頻率步進(jìn)量設(shè)為0.01Hz，時間間隔為1.5s。實(shí)測的頻率響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8 掃頻方法獲得的頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves obtained byfrequency sweeping

從圖 8(a)中的幅頻響應(yīng)曲線中計算出響應(yīng)信號的電壓值，得到陀螺輸出軸檢測信號的電壓-頻率曲線如圖9所示。可以看出，電壓-頻率曲線隨著激勵幅值增大，逐漸呈現(xiàn)“左偏”的趨勢，反映出陀螺結(jié)構(gòu)具有“軟彈簧”特性。作為對比，圖9中同時給出了圖7(a)中的骨架曲線和FRF曲線。可以看出，采用本文方法所得到的骨架曲線、FRF曲線與頻率掃描方式得到的結(jié)果在形狀和變化趨勢上均有較好的一致性。與頻率掃描方式相比，本文方法所得到的測量結(jié)果整體向右偏移了約0.2 Hz。這主要是由于兩種測量方式中陀螺的實(shí)際工作狀態(tài)略有差異：頻率掃描過程中陀螺工作于穩(wěn)定激勵-穩(wěn)定響應(yīng)狀態(tài)，激勵信號的驅(qū)動環(huán)節(jié)中除諧振器之外的其他因素也會反映到測量結(jié)果中。相比之下，共振衰減響應(yīng)信號則直接來自諧振器的自由衰減振蕩狀態(tài)，在理論上，測量得到的結(jié)果更加準(zhǔn)確地反映了諧振器自身的動力學(xué)特性。

圖9 骨架曲線、FRF曲線與掃頻測量結(jié)果對比Fig.9 Comparison between the obtained Backbone curve,FRF curve and frequency sweeping measurement results

使用-3dB帶寬法，對圖8(a)中的幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行處理，計算出Q值并換算得到微陀螺在不同振幅下的阻尼系數(shù)。圖10為圖7(b)阻尼系數(shù)曲線與掃頻測量結(jié)果的對比情況。顯然，兩種分析結(jié)果具有良好的一致性，陀螺系統(tǒng)的阻尼系數(shù)基本上不受振幅增大的影響。

圖10 圖7(b)阻尼系數(shù)曲線與掃頻測量結(jié)果對比Fig.10 Comparison between damping curve in Fig.7(b) and frequency-sweeping measurement results

3 結(jié) 論

研究了一種微機(jī)械陀螺非線性動力學(xué)特性的測量方法。采用Hilbert變換從共振衰減響應(yīng)信號中提取出瞬時幅頻參數(shù)，使用奇異譜分析處理得到瞬時幅值和瞬時頻率的變化趨勢，消除噪聲引起的非理想波動。得到的骨架曲線、阻尼曲線及幅頻曲線等特征信息清晰易辨，可用于系統(tǒng)非線性特性的分析和評估。不同信噪比下的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種方法的抗噪性能比FREEVIB法更好。針對MEMS環(huán)陀螺的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與掃頻法得到的測量結(jié)果具有良好的一致性，驗(yàn)證了這種方法在實(shí)際測試工作中的可用性。單次測量即可得到類似多次掃頻的結(jié)果，是這種方法的突出優(yōu)點(diǎn)。由于這種方法所測試的是微諧振器結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，因此對于其它種類微機(jī)械諧振器件的動力學(xué)特性測試而言，也具有很好的實(shí)用價值。

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Extraction of micromechanical gyroscope’s backbone curves from resonance decay responses

WEI Yu-miao1,2, DONG Yong-gui1
(1. State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments, Dept. of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2. Unit 202, Rocket Force University of Engineering, Xi’an 710025, China)

In order to measure the nonlinear characteristics of MEMS gyroscopes, a method for extracting Backbone curves from the resonance decay responses is investigated. By using Hilbert transform to process the resonance decay signals, the singular spectrum analysis on the calculated instantaneous amplitudes and instantaneous frequencies is carried out to remove the non-ideal fluctuations caused by the noises, and the concentrated and legible Backbone curves are obtained. In such a way, the noise sensitive problems in Hilbert transform-based identification methods are suppressed. Numerical simulation for a Duffing system show that the proposed method exhibits better anti-noise performance than FREEVIB. A vibrating ring micro gyroscope is experimentally tested. The obtained backbones curves, damping curves and frequency-response curves all coincide with those obtained by traditional frequency sweeping method.As a general measurement technique, the proposed method is also applicable to test the dynamic features of other kinds of micromechanical resonators.

MEMS gyroscopes; nonlinear features; Hilbert transform; backbone curve; singular spectrum analysis

V241.5；TN911.7

A

1005-6734(2016)05-0660-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.05.018

2016-07-30；

2016-09-28

國家自然科學(xué)基金資助項目（61271129）

魏玉淼（1988—），男，博士研究生，從事微機(jī)電傳感器系統(tǒng)測試研究。E-mail: 824035931@qq.com

聯(lián) 系 人：董永貴（1965—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: dongyg@mail.tsinghua.edu.cn