統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用類中考題方法透析

周詠梅

統(tǒng)計(jì)與概率是中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，通常以填空題、選擇題、解答題等形式呈現(xiàn)，主要考查同學(xué)們對(duì)數(shù)據(jù)的收集和處理能力，對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的繪制和閱讀能力.近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，統(tǒng)計(jì)與概率類問(wèn)題多作為重要的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，立意新穎，與生活實(shí)際聯(lián)系密切，需要引起大家高度的重視，下面結(jié)合近幾年的中考題對(duì)這一章的知識(shí)進(jìn)行分類評(píng)析.

一、統(tǒng)計(jì)的合理性

1.樣本的合理性

在進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析時(shí)，首先需要抽取一個(gè)合理的樣本，才能根據(jù)樣本的情況估計(jì)總體的情況，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要體會(huì)收集數(shù)據(jù)結(jié)果的不確定性，理解抽樣的必要性和樣本抽取的合理性，才能根據(jù)樣本合理推斷總體的情況.

例1（2015·山東淄博）下列調(diào)查，樣本具有代表性的是（）.

A.了解全校同學(xué)對(duì)課程的喜歡情況，對(duì)某班男同學(xué)進(jìn)行調(diào)查

B.了解某小區(qū)居民的防火意識(shí)，對(duì)你們班同學(xué)進(jìn)行調(diào)查

C.了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查

D.了解觀眾對(duì)所看電影的評(píng)價(jià)情況，對(duì)座位號(hào)是奇數(shù)號(hào)的觀眾進(jìn)行調(diào)查

【分析】A.選取某班男同學(xué)作為樣本進(jìn)行調(diào)查，太局限，不具代表性、廣泛性，故A錯(cuò)誤；

B.了解某小區(qū)居民的防火意識(shí)，對(duì)你們班同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查不具代表性、廣泛性，故B錯(cuò)誤；

C.了解商場(chǎng)的平均日營(yíng)業(yè)額，選在周末進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查不具有代表性、廣泛性，故C錯(cuò)誤；

D.了解觀眾對(duì)所看電影的評(píng)價(jià)情況，對(duì)座位號(hào)是奇數(shù)號(hào)的觀眾進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查具有代表性、廣泛性，故D正確.

【點(diǎn)評(píng)】從局部情況推斷整體的情況是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)基本思想，此題主要考查樣本抽取的合理性.判斷的依據(jù)是樣本抽取必須是隨機(jī)的，對(duì)各個(gè)層次的對(duì)象都要有所體現(xiàn)，要達(dá)到一定的容量，樣本才具有代表性.

2.預(yù)測(cè)的合理性

統(tǒng)計(jì)類中考題中常常綜合運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)直方圖等給出信息，我們要利用分析得出的數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行合理預(yù)測(cè)或建議.

例2（2016·湖南岳陽(yáng)）某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)對(duì)該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，從全年365天中隨機(jī)抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）數(shù)據(jù)，繪制出三幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問(wèn)題：

質(zhì)量等級(jí)A Q I指數(shù)0 -5 0 5 1 -1 0 0 1 0 1 -1 5 0 1 5 1 -2 0 0 2 0 1 -3 0 0 3 0 0以上優(yōu)良天數(shù)（天）m 4 4輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染n 4 2 2

城區(qū)空氣質(zhì)量等級(jí)天數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖

城區(qū)空氣質(zhì)量等級(jí)天數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）統(tǒng)計(jì)表中m=，n=.扇形統(tǒng)計(jì)圖中，空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)占%；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并通過(guò)計(jì)算估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共多少天；

（3）據(jù)調(diào)查，嚴(yán)重污染的2天發(fā)生在春節(jié)期間，燃放煙花爆竹成為空氣污染的一個(gè)重要原因，據(jù)此，請(qǐng)你提出一條合理化建議.

【分析】（1）由A占25%，即可求得m=80× 25%=20，繼而求得n=80-20-44-4-2-2=8，然后求得空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)占的百分比：.故答案為：20，8，55.

（2）首先由（1）補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，然后利用樣本估計(jì)總體的知識(shí)求解，估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共：365×（25%＋55%）=292（天）.

（3）提出合理建議，比如不燃放煙花爆竹或少燃放煙花爆竹等.

【點(diǎn)評(píng)】本題由頻數(shù)分布表、頻數(shù)直方圖得出每一項(xiàng)的具體數(shù)據(jù)，由扇形統(tǒng)計(jì)圖可以看出各項(xiàng)所占的比例，利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須仔細(xì)觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能做出正確的判斷，解決相關(guān)的問(wèn)題.

二、規(guī)則的公平性

概率與我們的生活息息相關(guān)，概率模型可以幫助我們作估計(jì)、做決定，解釋一些現(xiàn)象，澄清日常生活中的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是把一些生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型，運(yùn)用概率知識(shí)去解決問(wèn)題.

例3（2016·江蘇蘇州）在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字-1、0、2，它們除了數(shù)字不同外，其他都完全相同.

（1）隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球，則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的小球的概率為；

（2）小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo).再將此球放回、攪勻，然后由小華再?gòu)牟即须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或表格列出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)（包括邊界）的概率.

【分析】（1）隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球共有3種等可能結(jié)果，摸到標(biāo)有數(shù)字2的小球只有1種可能，所以摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的小球的概率為

（2）先畫(huà)樹(shù)狀圖列出共有9種等可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求解.

畫(huà)樹(shù)狀圖得：

共有9種等可能的結(jié)果，點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)（包括邊界）的結(jié)果數(shù)有6種，所以點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)（包括邊界）的概率=

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求事件的概率.列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能結(jié)果，當(dāng)完成兩步或兩步以上的事件時(shí)適宜選用畫(huà)樹(shù)狀圖法，當(dāng)完成不超過(guò)兩步且可能結(jié)果數(shù)較多的事件時(shí)，適宜選用列表法.本題用到的知識(shí)點(diǎn)有坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、列表法與樹(shù)狀圖法、概率公式.

例4（2016·江蘇泰州）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字0、1、2，這些球除了數(shù)字外其余都相同，甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則如下：先由甲隨機(jī)摸出一個(gè)球（不放回），再由乙隨機(jī)摸出一個(gè)球，兩人摸出的球所標(biāo)的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)則甲勝，和為奇數(shù)時(shí)則乙勝.

（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法列出所有可能的結(jié)果；

（2）這樣的游戲規(guī)則是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）第一次甲隨機(jī)摸球一次有3種等可能結(jié)果，因?yàn)榧酌蚝蟛环呕兀诙我颐?種等可能結(jié)果，

列舉所有可能結(jié)果：

（2）游戲不公平，由表格可以看出共有6種等可能結(jié)果，和為奇數(shù)有4種，和為偶數(shù)有2種，甲獲勝的概率=，乙獲勝的概率=

乙獲勝的可能性大，所以游戲規(guī)則不公平.

【點(diǎn)評(píng)】判斷游戲是否公平的關(guān)鍵是計(jì)算每個(gè)事件發(fā)生的概率是否相等，通過(guò)列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法得出每個(gè)事件的概率，相等就公平，不相等就不公平.

同學(xué)們，上面我們列舉了中考中一些典型的統(tǒng)計(jì)和概率問(wèn)題，只要各位同學(xué)熟悉教材中的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，合理抽取樣本，會(huì)建立合適的概率模型并進(jìn)行正確計(jì)算，一定能解釋生活中的一些概率問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán)（中校區(qū)）初中部）

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