譚志中，陸建隆

(1. 南通大學 物理系，江蘇 南通 226019;2. 南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097)

?

一類n階三腳架電阻網絡的等效電阻研究

譚志中1，陸建隆2

(1. 南通大學 物理系，江蘇 南通 226019;2. 南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097)

研究了一類n階三腳架網絡的等效電阻模型, 該模型含有7個不同的電阻元素，因而包含了多個網絡模型. 文章采用構建等效模型的方法導出了一個非線性差分方程模型，采用變量代換的方法間接地給出了非線性差分方程的通解. 本文進一步創(chuàng)造了一個負電阻的概念，獲得了電阻網絡任意節(jié)點間的等效電阻公式. 利用特殊條件下的數個特殊例子與相關結果進行了比較. 本文的結論也適用于復阻抗網絡的等效復阻抗研究.

三腳架網絡；等效模型；非線性差分方程；等效變換；負電阻

電阻網絡模型的建立與研究已經歷了170多年的歷史. 自從1845年德國物理學家基爾霍夫(1824—1888)創(chuàng)立了節(jié)點電流定律和回路電壓定律以來，人類就開始通過建立電阻網絡模型解決許多抽象和復雜的科學問題[1-26].在自然科學領域與工程技術領域研究電阻網絡模型具有重要的理論與實踐意義, 其研究方法的創(chuàng)造性對于大學物理開展教學與科研協(xié)同相長教學具有很好的方法論意義，對培養(yǎng)大學生的創(chuàng)新思維能力具有較好的教學實踐意義. 文獻[1]系統(tǒng)地研究了各種類型的電阻網絡模型，構建了研究電阻網絡等效電阻的一系列新的理論與方法，有力地推動了人類對電阻網絡模型的深入研究與應用.

文獻[1-7]分別從不同側面及用不同的方法研究了一類n階梯形網絡的等效電阻. 文獻[8]研究了一類n階矩形復阻抗網絡問題, 文獻[9]研究了一類n階三角形網絡的等效電阻問題. 這些研究工作推動了電阻網絡等效電阻的研究與發(fā)展. 然而科學的發(fā)展不斷提出新的電阻網絡問題，有些新問題正在等待著研究者去解決. 本文擬研究一種新類型的含有復雜三腳架結構的n階梯形電阻網絡的等效電阻，如圖1所示. 這一網絡模型中含有7個獨立的任意電阻元素，因而該電阻網絡具有多價值功能. 本文的研究目標是獲得n階網絡左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻公式, 以及任意Ak和Bk兩節(jié)點間的等效電阻公式.

1 遞推方程模型建構

圖1為一般形式的n級三腳架電阻網絡模型. 該網絡有7個不同的任意電阻元素，即r、r0、r1、r2、r3、r4、R0.其中網絡最右端的一個電阻R0可視為網絡的負載. 當n→∞時，一般稱該網絡為無窮三腳架電阻網絡.根據圖1的結構特征，假設n階網絡的左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻為Rn，那么n-1階網絡的左端兩節(jié)點間(從左端向右看)的等效電阻為Rn-1. 因此我們可以將圖1簡化成為圖2所示的一個簡單模型.

圖1 一個n階三腳架電阻網絡模型，其中右端為任意負載R0

圖2 二端網絡等效電路模型

電路圖2可以繼續(xù)等效為圖3(a)和圖3(b)結構. 在圖3(a)中計算得到

圖3 二端網絡中等效電阻的分級計算圖

(1)

在圖3(b)中計算得到

(2)

將式(1)代入式(2)中化簡得到

(3)

利用圖3(b)計算得到

(4)

將式(3)代入式(6)中化簡得到

(5)

其中a、b、c分別為

(6)

方程式(5)是我們尋找的遞推公式，此屬于非線性差分方程[1-4，8，9]. 這一數學模型的物理意義是非常明確的，即對于網格數為n的梯形電阻網絡，其等效電阻為Rn，當網格數為n-1個時，其等效電阻為Rn-1，當網格數為0時，其等效電阻為R0.

2 推導等效電阻公式

根據文獻[1]中建立的計算非線性差分方程的方法，設存在待定數列{xn}，并且xn滿足如下關系：

(7)

可以規(guī)定其初始項x0=1，進而根據式(7)得到

x0=1,x1=R0+c

(8)

將式(7)及其遞推式Rn-1代入式(5)化簡得到

xn+1=(c+b)xn+(a-bc)xn-1

(9)

設方程式(9)的特征方程的兩個根分別為α和β，則解得：

(10)

則差分方程式(9)可以重新寫成為

xn+1=(α+β)xn-αβxn-1

(11)

根據文獻[1]中建立的計算差分方程的方法得到

(12)

將初始條件式(8)代入式(12)化簡得到

(13)

如果應用α+β=c+b(由式(10)導出)， 則可以將式(13)重新寫成

xn=Fn+1+(R0-b)Fn

(14)

其中

(15)

式(14)就是我們得到的差分方程式(9)的通項公式. 將式(14)及其遞推式xn+1代入式(7)化簡得到

(16)

將式(16)化簡得到

(17)

其中αβ=bc-a由式(9)得到，并且利用了α+β=c+b. 另外，應用式(6)計算得到

(18)

式(16)和式(17)是等價的，都是一個對于r、r0、r1、r2、r3、r4、R0這7個任意電阻均成立的等效電阻公式，具有普遍意義. 這一簡潔公式的發(fā)現是一次有意義的創(chuàng)新.

3 任意節(jié)點間的等效電阻公式

式(17)僅僅給出了計算左端An和Bn兩節(jié)點間的等效電阻，我們能否計算任意節(jié)點間的等效電阻呢？本文創(chuàng)造性地建立了負電阻的概念，巧妙地解決了這樣的問題. 設Ak、Bk分別是距離右端兩節(jié)點A0、B0間隔為k個網格的兩個任意節(jié)點，則有等效電阻公式

(19)

或者寫成

(20)

其中

(21)

(22)

下面給出式(19)的推導過程.

我們首先建立負電阻的假設，將電阻r0等效為3個電阻的并聯，如圖4所示，即r0=r0//(-r0)//r0. 這是一個非同一般的等效假設，因為人類科學史上從來沒有出現負電阻的概念，這一等效方法巧妙地解決了一個復雜的問題.

圖4 一個電阻等效為3個并聯電阻

為了計算任意Ak、Bk兩節(jié)點間的等效電阻，在圖4的等效假設之下將圖1等效為圖5的等效模型. 因為Ak、Bk分別是距離右端兩節(jié)點A0、B0間隔為k個網格的兩個任意節(jié)點，所以圖5中Ak、Bk的右端有k個網格，而Ak、Bk的左端有n-k個網格. 從Ak和Bk之間的負電阻分別向左右兩邊考慮，記向右和向左的等效電阻分別為Rright(k)和Rleft(n-k)，則根據上文得到的等效電阻公式(17)即可以得到式(21)和式(22).

圖5 圖1網絡模型的一種等效變換模型

圖5實際上是一個簡單的3個電阻并聯結構(其中有一個負電阻-r0)，依據圖5容易得到等效電阻

(23)

由此化簡即得式(19)，而由式(19)化簡即得式(20).至此式(19)和(20)獲證.

4 應用于復阻抗網絡

設圖1網絡中的所有元素為復阻抗, 則稱圖1為一類n階三腳架結構的復阻抗網絡. 記圖1中的復阻抗為rk(k=0,1,2,3，…). 復阻抗子網絡結構如圖6所示. 如果輸入電壓的圓頻率為ω，則根據混聯電路的計算規(guī)則得到等效復阻抗單元為

(24)

其中i為虛數單位，i2=-1.將式(17)中的電阻元素用式(24)取代即可以得到復阻抗網絡的等效復阻抗公式.由于復阻抗的表達結構比較復雜并且需要討論特征方程根的復數情形，此處不再給出具體公式與討論.

圖6 元素rk表達的等效復阻抗

5 數個特殊結論及應用

情形1 當r3=0及r1→∞時，圖1中的網絡單元退化為圖7所示的雙三角形結構，顯然圖7結構即為文獻[9]中研究過的三角形電阻網絡模型.

圖7 內含2個三角形的子網絡模型

當r3=0及r1→∞時，由式(6)中的3個等式取極限得到

(25)

則由結論式(17)得到

(26)

其中Fn=(αn-βn)/(α-β)，b由式(25)給出, 并且由式(10)得到

(27)

其中d=(r0+r)(r2+r4)+r2r4.通過對比發(fā)現結論式(26)與文獻[9]中的結論完全一致，這就間接地驗證了結論式(17)的正確性.

情形2 當r3=0，r1=r2=∞時，圖1中的網絡單元退化為圖8所示的矩形結構，這是一類常見的n階矩形電阻網絡模型.

圖8 一個n階矩形網絡的子網絡模型

由于r1、r2→∞相當于斷路(等效于去掉r1、r2)，所以r1、r2→∞時的物理意義是，原三腳架電阻網絡退化成為一般的n階矩形網絡. 由式(6)取極限得到

a=r0(r+r4),b=r0,c=r0+r+r4

(28)

則由結論式(17)得到

(29)

圖8的網絡模型已經被不少文獻研究過，如文獻[1]的研究, 比較式(29)與文獻[1]中的結果可以發(fā)現2種結論完全相同. 這就再次間接地驗證了結論式(17)的正確性.

情形3 當r0=r1=r2=r3=r4=r時，由式(6)化簡得到

(30)

代入式(10)得到

(31)

則由式(17)得到

(32)

情形4 當r=0，r2=∞時，圖1中的網絡單元退化為圖9結構.

圖9 一類二端梯形網絡的子網絡模型

當r=0，r2=∞時，由式(6)取極限得到

(33)

代入式(18)得到

(34)

因此由結論式(17)得到

(35)

情形5 當r0=∞，r4=0時，圖1中的網絡單元退化為圖10結構.

圖10 一個n階三角形網絡的子網絡模型

由于r0→∞相當于斷路(等效于去掉r0)，所以r0→∞時的物理意義是，原三腳架電阻網絡退化成為一類n階三角形電阻網絡.

當r0=∞，r4=0時，由式(6)取極限得到

(36)

代入式(18)得到

(37)

則由結論式(17)得到

(38)

其中Fn=(αn-βn)/(α-β)，并且b由式(36)給出.

情形6 當n→∞時，由式(10)得到0<β/α<1，故對式(17)取極限得到

(39)

其中a、b、c由式(6)給出. 結論式(39)說明式(17)是有界的.

情形7 當R0=b時(b由式(6)給出)，由式(17)得到

(40)

其中α、β由式(10)給出，公式(40)是一個比較有趣的簡單結果.

情形8 當R0=b-β時，由式(17)化簡得到

(41)

另外，當R0=b-α時，由式(17)化簡得到

(42)

其中b由式(6)給出.式(41)、式(42)都是有限常數，表明b-α及b-β是該網絡的特征電阻值，與網絡的階數n無關.

6 小結與簡評

本文研究了一類三腳架結構的電阻網絡模型，如圖1所示. 這一網絡模型中含有7個獨立的電阻元素，因而該電阻網絡具有多價值功能. 本文采用構建等效模型的方法通過簡單的計算而建立了一個非線性差分方程模型，為了研究非線性差分方程的通解，我們采用變量代換的方法間接地給出了非線性差分方程的通解，進而導出了左端節(jié)點的等效電阻公式. 為了獲得電阻網絡中任意節(jié)點間的一個等效電阻公式，本文創(chuàng)造了一個負電阻的概念，將一個電阻等效為3個并聯電阻，利用前文得到的結論應用于計算任意節(jié)點間等效電阻，獲得了理想的等效電阻公式. 需要強調的是目前的現實世界中還沒有真正的“負電阻”，“負電阻”概念是創(chuàng)造的一種輔助技巧相當于幾何證明中引進的輔助線，另外“負電阻”還可能相似于“數學中的虛數”，看上去沒有用其實能夠幫助人們解決許多復雜的問題. 當然不排除未來發(fā)現的暗物質中存在“負電阻”. 根據任意電阻可能存在的不同條件而給出了數個特殊例子，通過比較而間接地驗證了本文結論的正確性. 當然，由于本文的理論推導是嚴密和精確的并且是自洽的，因而得到的結論必然是正確的. 本文的結論也適用于復阻抗網絡的等效復阻抗研究，根據電路元件在計算中的對應關系自然地得到純電容網絡的等效電容公式. 本文的研究工作對大學物理開展教學與科研協(xié)同相長教學具有很好的指導意義，對培養(yǎng)大學生的創(chuàng)新思維能力具有較好的教學實踐意義.

[1] 譚志中. 電阻網絡模型[M]. 西安電子科技大學出版社, 2011：3-160.

[2] 李建新, 劉栓江.N級梯形電阻網絡的研究[J]. 大學物理, 2003, 22 (7)：20-21.

[3] 陸建隆, 譚志中. 關于梯形網絡等效電阻的普適研究[J]. 大學物理, 2001,20 (10): 26-28.

[4] 譚志中, 陸建隆. 二端梯形網絡等效復阻抗的普適研究[J]. 大學物理，2009,28 (7): 29-33.

[5] 李永安. 梯形網絡等效電阻網絡分析的再研究[J]. 大學物理, 2003,22(10):12-14.

[6] 譚志中, 趙素英.N階電阻網絡等效電阻的普適研究[J]. 河北師范大學學報(自然科學版), 2004,28(2)：149-154.

[7] 湯華，譚志中.n階網絡任意節(jié)點的等效電阻的研究[J]. 大學物理, 2012,31 (11): 18-22.

[8] 譚志中, 陸建隆. 建構非線性數列模型研究二端梯形網絡等效值[J]. 河北師范大學學報(自然科學版), 2001,25(3):339-344.

[9] 譚志中，楊建華. 一類含有復雜電阻的n階三角形網絡的等效電阻公式[J]. 大學物理, 2015,34 (6): 24-26.

[10] 譚志中，羅禮進. 2×n階電阻網絡等效電阻的再研究[J]. 南通大學學報(自然科學版)，2010,9(1):86-89.

[11] 譚志中，方靖淮. 3×n階電阻網絡等效電阻的研究[J]. 大學物理，2008，27(9)：7-10.

[12] 譚志中，羅達峰，楊建華. 3×n階電阻網絡等效電阻的再研究[J]. 南通大學學報(自然科學版)，2011,10(2):67-72.

[13] 譚志中，羅達峰. 4×n階網絡的2個等效電阻公式[J]. 南通大學學報(自然科學版)，2011，10(3):87-94.

[14] 譚志中. 半無窮矩形網絡邊界上的等效電阻和電流分布[J]. 南通大學學報(自然科學版)，2015，14(4):70-74.

[15] 譚志中,陸建隆. 多邊形電阻網絡等效電阻的統(tǒng)一建構[J]. 河北師范大學學報(自然科學版), 2011,35(2):140-144.

[16] 譚志中. 加強型多邊形電阻或電容網絡的等效值研究[J]. 大學物理，2011,30(12)：29-32.

[17] 譚志中. 二階方陣N次冪的普適公式與應用 [J]. 南通大學學報(自然科學版)，2012, 11(2):60-68.

[18] Wu F Y. Theory of resistor networks: the two-point resistance [J]. J Phys A: Math Gen, 2004, 37: 6653.

[19] Tan Zhi-Zhong, Essam J W, Wu F Y . Two-point resistance of a resistor network embedded on a globe [J]. Physical Review E, 2014, 90:012130.

[20] Essam J W, Tan Zhi-Zhong, Wu F Y. Resistance between two nodes in general position on anm×nfan network [J]. Physical Review E,2014, 90:032130.

[21] Tan Zhi-Zhong. Recursion-transform approach to compute the resistance of a resistor network with an arbitrary boundary [J]. Chin Phys B, 2015, 24 (2):020503.

[22] Tan Zhi-Zhong. Recursion-Transform method to a non-regularm×ncobweb with an arbitrary longitude[J]. Scientific Reports,2015(5):11266.

[23] Tan Zhi-Zhong. Recursion-transform method for computing resistance of the complex resistor network with three arbitrary boundaries [J]. Physical Review E, 2015, 91:052122.

[24] Tan Zhi-Zhong，Fang J. -H. Two-point resistance of a cobweb network with a 2r boundary [J]. Commun. Theor Phys, 2015, 63:36-44.

[25] Tan Zhi-Zhong，Zhang Q H. Formulae of resistance between two corner nodes on a common edge of them×nrectangular network [J]. Int J Circ Theor Appl, 2015, 43:944-958.

[26] Tan Zhi-Zhong, Ling Zhou, Da-feng Luo. Resistance and capacitance of 4×ncobweb network and two conjectures [J]. Int J Circ Theor Appl, 2015, 43:329-341.

A study of the equivalent resistance of ann-step network with tripod structure

TAN Zhi-zhong1, LU Jian-long2

(1. Department of Physics, Nantong University, Nantong, Jiangsu 226019, China; 2. College of Teacher Education，Nanjing Normal University, Nanjing，Jiangsu 210097，China)

We study the equivalent resistance of ann-step network with tripod structure,which is a profound problem, has not been resolved before. The network model contains seven arbitrary parameters which make the network contain a number of different types. First of all, we establish a nonlinear difference equation by means of simplifying a complex graphics into a simple equivalent model; next, we construct the method of equivalent transformation to obtain the general solution of the nonlinear difference equation. Finally, we create a new concept of negative resistance for the needs of the equivalent conversion, and obtain two general resistance formulae of ann-step network with tripod structure. We compare several results by making use of a number of specific examples in the special conditions. Our method and the results are suitable for the research of complex impedance network as well.

tripod structure network; equivalent model; nonlinear difference equation; equivalent transformation; negative resistance

2015-12-03；

2016-03-16

南通大學自然科學類科研基金前期預研項目(15ZY16)；南通大學教學改革研究項目“大學物理教學與科研相長模式研究”(2015B01)資助

譚志中(1965—)，男，江蘇興化人，南通大學教授，碩導，主要從事理論物理研究和物理教育研究工作.

教學討論

O 441.1， TN 711.3

A

1000- 0712(2016)12- 0013- 06