羅宏超，鞠麗平

(沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

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微分幾何法求解單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

羅宏超，鞠麗平

(沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

利用微分幾何與矢量極限的方法及坐標(biāo)系間的關(guān)聯(lián)推導(dǎo)了常見曲線坐標(biāo)系中單位矢量的空間導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)過程簡潔直觀，便于理解，方便在物理教學(xué)及實踐中運(yùn)用.

單位矢量； 微分幾何； 曲線坐標(biāo)； 空間導(dǎo)數(shù)

在理論物理及其工程應(yīng)用中經(jīng)常需要計算矢量的導(dǎo)數(shù)，曲線坐標(biāo)系中由于單位矢量的方向變化，需附加單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)或時間導(dǎo)數(shù)[1,2]，一般采用正交曲線坐標(biāo)系進(jìn)行求解[3-6]，過程嚴(yán)謹(jǐn)，通用性好，但需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，求解方法比較抽象.

利用微分幾何的方法[7,8]，考慮極坐標(biāo)與柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)，可以直觀形象地求解常用曲線坐標(biāo)系下單位矢量的導(dǎo)數(shù)問題，對于正確理解矢量的偏導(dǎo)數(shù)及偏微分方程有重要意義.

1 極坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

圖1 極坐標(biāo)系下單位矢量的變化

|Δer|≈|er|Δθ= Δθ

(2a)

|Δeθ|≈|eθ|Δθ= Δθ

(2b)

圖2 Δθ→0時Δer和Δeθ方向的判斷

將(2a)、(2b)分別代入(1b)、(1d)，取極限Δθ→0得到：

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

將上述方程整理后得到極坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)為：

(5a)

(5b)

2 柱坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

柱坐標(biāo)系是在xy面的極坐標(biāo)系(ρ，φ)基礎(chǔ)上增加了與之垂直的z軸坐標(biāo)，如圖3所示.根據(jù)第1節(jié)關(guān)于極坐標(biāo)單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)的計算，可以首先確定由坐標(biāo)(ρ，φ)構(gòu)成的極坐標(biāo)系下的單位矢量偏導(dǎo)數(shù)：

圖3 柱坐標(biāo)系及其單位矢量

(6)

因為z坐標(biāo)方向固定，其單位矢量ez為常矢量，所以與其相關(guān)的坐標(biāo)偏導(dǎo)數(shù)為零：

(7)

當(dāng)z增加Δz時，根據(jù)矢量平移原則，eρ、eφ大小及方向不變，所以eρ、eφ與z坐標(biāo)相關(guān)的導(dǎo)數(shù)為零：

(8)

將上述方程整理后，得到柱坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)為：

(9a)

(9b)

(9c)

3 球坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

球坐標(biāo)系如圖4所示，任意點(diǎn)坐標(biāo)用(r，θ，φ)表示，相應(yīng)的單位矢量為er、eθ、eφ.由圖可見，er、eθ均在ρ、z所構(gòu)成的平面內(nèi)，r、θ構(gòu)成平面極坐標(biāo)系，根據(jù)第1節(jié)討論，可以得到：

圖4 球坐標(biāo)系及其單位矢量

(10)

eφ的方向垂直于ρz平面，沿著φ增加的方向，所以，eφ的大小及方向不隨r或θ的變化而變化，則

(11)

在r、θ不變的情況下，當(dāng)φ增大Δφ時，er、eθ、eφ均隨之旋轉(zhuǎn)，相關(guān)單位矢量也會隨之變化.er、eθ可分解為ρ和z兩個方向的分量，其中與z軸平行的分量不發(fā)生變化，但在xy平面內(nèi)沿ρ軸方向的投影會有方向變化，eφ方向平行于xy平面.可以確定，Δer、Δeθ、Δeφ均在經(jīng)過M點(diǎn)與z軸垂直的緯線平面內(nèi)，如圖4所示. 根據(jù)矢量的平移不變性，該面可以看作由ρ和φ構(gòu)成的極坐標(biāo)平面.令|er|ρ和|eθ|ρ分別為er、eθ在ρ軸上投影的大小，根據(jù)矢量的單位圓關(guān)系(如圖5所示)，可以得到：

|er|ρ=|er|sinθ， |eθ|ρ=|eθ|cosθ

(12)

圖5 單位矢量的單位圓

|er|ρ和|eθ|ρ亦可看作位于ρ、φ構(gòu)成的與z軸垂直的緯線平面內(nèi)的極坐標(biāo)系中.根據(jù)第1節(jié)推導(dǎo)可知，當(dāng)Δφ很小時有

|Δer|ρ≈|er|ρΔφ= sinθΔφ，

|Δeθ|ρ≈|eθ|ρΔφ= cosθΔφ

(13)

由于er、eθ在z軸的分量不發(fā)生變化，所以|Δer|=|Δer|ρ，|Δeθ|=|Δeθ|ρ，方向沿eφ方向，Δφ→0取極限得：

(14)

同理，在r、θ不變的情況下，當(dāng)φ增大Δφ時，則

(15)

根據(jù)圖5單位圓表述的矢量關(guān)系：eρ=ersinθ+eθcosθ，可得

(16)

將上述方程整理后，得到球坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)為：

(17a)

(17b)

(17c)

4 結(jié)論

利用微分幾何和矢量極限的方法求解了單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)，過程基于微分幾何原理及曲線坐標(biāo)系間的空間關(guān)聯(lián)，簡潔明晰. 根據(jù)全微分的定義，再配合單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)，很方便地得到常見曲線坐標(biāo)系下單位矢量對時間的導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)動學(xué)變量位矢、速度、加速度，便于加深對概念的理解，也適合在課堂教學(xué)中使用.

[1] 顧樵. 數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社， 2012:15-19.

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[3] 徐重光， 朱菊香. 廣義矩陣法在求任意曲線坐標(biāo)系的導(dǎo)熱方程的應(yīng)用[J]. 松遼學(xué)刊(自然科學(xué)版)， 1991，3: 1-7.

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[8] 邵毅全， 田莉蘭， 黃永超,等. 極坐標(biāo)下矢量的微分幾何研究[J]. 激光雜志， 2015， 36(1): 85-86.

The solution of spatial derivatives of unit vectors using differential geometry method

LUO Hong-chao, JU Li-ping

(School of Science, Shenyang Aerospace University, Shenyang, Liaoning 110136, China)

By using the differential geometry, the vector limit and the relationship of various coordinate systems, we deduce the spatial derivatives of unit vectors in common curvilinear coordinates. This derivation method is simple and intuitive, which is easy to understand and apply in physics teaching and practice.

unit vectors; differential geometry; curvilinear coordinate; spatial derivative

2016-03-10；

2016-06-04

遼寧省普通高等教育本科教學(xué)改革研究項目(UPRP20140282)、沈陽航空航天大學(xué)本科教學(xué)改革研究項目(2014年)資助

羅宏超(1978—)， 男， 遼寧阜新人，沈陽航空航天大學(xué)理學(xué)院講師，碩士，主要從事基礎(chǔ)物理教學(xué)及原子分子物理研究工作.

O 411

A

1000- 0712(2016)12- 0023- 03