王怡然,葉鳴,高凡,陳雄,賀永寧

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

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微波頻段粗糙金屬表面等效電導(dǎo)率的數(shù)值計算及驗證

王怡然,葉鳴,高凡,陳雄,賀永寧

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

為了評估表面粗糙度對微波頻段金屬表面等效電導(dǎo)率的影響,提出了一種基于梯度模型的粗糙金屬表面等效電導(dǎo)率數(shù)值計算方法并進(jìn)行實驗驗證。首先基于電導(dǎo)率梯度模型,將粗糙金屬表面等效為電導(dǎo)率漸變的若干光滑薄層的疊加;其次基于電磁波在薄層內(nèi)的損耗及薄層間界面的傳輸特性,對粗糙金屬表面的總損耗進(jìn)行數(shù)值計算并獲取等效表面電導(dǎo)率;最后運(yùn)用替換端板諧振腔法對不同粗糙度的黃銅樣片在8.98、10.78 GHz進(jìn)行表面電導(dǎo)率測試。實驗結(jié)果表明:在0.1～3 μm的均方根粗糙度范圍內(nèi),等效電導(dǎo)率隨粗糙度增加而減小,且基于梯度模型的等效電導(dǎo)率計算方法所得理論預(yù)測值相比于已有理論更符合實測結(jié)果。

微波頻段;均方根粗糙度;諧振腔

隨著無線通信的快速發(fā)展,不論是腔體微波器件,還是高頻電路板,金屬表面粗糙度引起的微波損耗均是設(shè)計階段應(yīng)該考慮的重要因素。微波頻段下,由于趨膚效應(yīng),電流在金屬表面幾微米的深度內(nèi)流動。因此,表面微觀粗糙度的增加勢必導(dǎo)致電流路徑變長,從而引起微波損耗增加。隨著通信系統(tǒng)不斷朝著高頻發(fā)展,粗糙表面引起的衰減顯著增加,粗糙表面電導(dǎo)率問題日益受到關(guān)注。

國內(nèi)外學(xué)者對粗糙表面在微波頻段的損耗問題的研究由來已久[1-5]。從理論研究角度來看,已有的分析方法可分為2類:第一類是基于實驗數(shù)據(jù)擬合的唯象模型[6-7];第二類是基于解析推導(dǎo)或數(shù)值計算的物理模型[8-12]。第一類方法的優(yōu)點(diǎn)是給出了形式簡潔的等效電導(dǎo)率表達(dá)式,可方便地應(yīng)用于全波仿真算法,其缺點(diǎn)是模型定量計算結(jié)果準(zhǔn)確度不高。第二類方法又可以分為2種:基于周期性規(guī)則微結(jié)構(gòu)表面的模型[8-9]以及基于隨機(jī)粗糙表面的模型[10-12]。這類方法的優(yōu)點(diǎn)是具有較為清楚的物理圖像,缺點(diǎn)是計算方法復(fù)雜、需要結(jié)合復(fù)雜的電磁理論進(jìn)行分析及計算。文獻(xiàn)[11-12]針對微波平面電路的損耗問題提出了粗糙表面電導(dǎo)率的梯度模型,并計算了毫米波頻段的微帶線損耗,得到了滿意的結(jié)果。

本文基于文獻(xiàn)[12]中提出的粗糙表面電導(dǎo)率梯度模型,考慮不同介質(zhì)層間平面波的透射系數(shù),建立了均方根粗糙度影響表面電導(dǎo)率的分層模型及其計算方法。利用替換端板諧振腔法對具有不同粗糙度的黃銅平板樣片表面電導(dǎo)率進(jìn)行了測試,并將測試結(jié)果分別與文獻(xiàn)中模型及本文模型得到的理論計算結(jié)果進(jìn)行了對比。

1 分層模型及其計算方法

為了描述粗糙表面對微波平面電路導(dǎo)體損耗特性的影響,Gold等人提出了粗糙表面電導(dǎo)率的梯度模型[12],其主要思想是:當(dāng)電磁波不斷滲入粗糙表面時,所“穿過的”導(dǎo)體越來越多,因而所呈現(xiàn)出的導(dǎo)電性也越來越接近材料的體電導(dǎo)率。這一電導(dǎo)率的漸變過程,與粗糙表面累積概率密度函數(shù)的變化趨勢一致,由此提出了如下的電導(dǎo)率梯度模型(假設(shè)粗糙表面服從高斯分布)

σ(x)=σbulkDCDF(x)

(1)

式中:σ(x)為距離表面深度為x處的電導(dǎo)率;σbulk為體電導(dǎo)率;DCDF(x)為粗糙表面的累積概率密度函數(shù)。以高斯分布粗糙表面為例,當(dāng)均方根粗糙度為Rq時,相應(yīng)的累積概率密度函數(shù)為

(2)

式中:e(x)為誤差函數(shù)。由此可見,如果將粗糙表面等效為光滑表面,其電導(dǎo)率將由外向內(nèi)不斷增加。當(dāng)滲入表面深度達(dá)到一定值時,其電導(dǎo)率即為材料的體電導(dǎo)率。

為了計算微波頻段粗糙表面的等效電導(dǎo)率,可依據(jù)梯度模型將具有粗糙表面的導(dǎo)體材料等效為由若干光滑薄層疊加而構(gòu)成。在電導(dǎo)率分層模型中,每個薄層的厚度是相等的,從物理意義來講,當(dāng)薄層厚度設(shè)置得較薄時,能夠較好地反映電導(dǎo)率的漸變特性,電導(dǎo)率分層模型可以得出較為準(zhǔn)確且穩(wěn)定的結(jié)果;然而,從數(shù)學(xué)意義來講,當(dāng)薄層厚度較薄時,計算量會顯著增加。基于這兩方面的考慮,本文中的薄層厚度設(shè)定為趨膚深度的1/100。

在每一薄層內(nèi),假設(shè)電導(dǎo)率為恒定值(依據(jù)該層深度及梯度模型確定具體值),通過計算每個薄層內(nèi)的導(dǎo)體損耗并求和可以得到總損耗。以第k層為例進(jìn)行說明,該層的厚度范圍是(xk-1,xk),第k層的電導(dǎo)率取值為該層中間位置的電導(dǎo)率值,即

(3)

依據(jù)電磁理論,電磁波在不同介質(zhì)間傳播時,將在分界面上發(fā)生反射和透射[6]。對于分層模型,電磁波在朝向?qū)w內(nèi)部滲入的過程中,一方面在每個分界面處存在一定的透射系數(shù),另一方面電磁波在每層介質(zhì)內(nèi)會經(jīng)歷一定的衰減。綜合考慮這些因素后,得到第k層導(dǎo)體中單位面積的焦耳損耗為

[-2αk(k-1)Δx]·

(4)

式中:E0為電場幅度;αk=(πfμσk)1/2;Δx為薄層厚度;Tm為第m層的透射系數(shù)

(5)

本征阻抗為

(6)

2 實驗及結(jié)果分析

2.1 實驗方法

替換端板諧振腔法測量表面電導(dǎo)率的基本原理[13-14]是:使用同一材料制作一個上端板可拆卸的圓柱諧振腔(工作于TE011模式),測量其Q值為Q0,然后用待測平板替換上端板,測得此時的Q值為Q1,根據(jù)這2個測試值即可算出待測平板與原蓋板材料的表面電阻之比,如果原蓋板材料的表面電阻為已知,則可求解出待測平板的表面電阻絕對值。

依據(jù)電磁場相關(guān)理論[13-14]可知

(7)

式中:f為諧振頻率;Est為諧振腔存儲的能量;Lsw0為圓柱腔體內(nèi)部側(cè)壁上的導(dǎo)體損耗;Lew0是腔體上下端板上的導(dǎo)體損耗。當(dāng)上端板被其他材料的表面電阻待測蓋板所替換時,式(7)變?yōu)?/p>

(8)

定義腔體形狀決定的幾何因子K為

(9)

由于任一壁上的損耗對于表面電阻來說是成比例分配的,因此令原始諧振腔的無載Q值與上端板被替換了的待測諧振腔的無載Q值相比并化簡得到待測樣表面電阻為

(10)

圖1 上蓋板可拆卸的圓柱諧振腔實物圖

采用機(jī)械加工的方法制備了不同粗糙度的黃銅樣片(樣片面積為50 mm×50 mm,厚度為5 mm)。采用激光掃描顯微鏡(VK-9700)對樣片表面5個位置(十字排布)進(jìn)行采樣,測量其表面粗糙度,采樣面積為3.5×105μm2,X、Y方向上2個像素點(diǎn)的間距為689 nm,其中X方向上像素點(diǎn)為1 024個,Y方向上像素點(diǎn)為768個,Z方向上2個像素點(diǎn)的間距為1 nm。由激光掃描微鏡觀測到的樣片表面二維形貌圖如圖2所示,可以看到其表面有交錯不一的溝壑與凸起。腔體Q值測量采用Agilent E8363B型號網(wǎng)絡(luò)分析儀,每個樣片連續(xù)測量4次、每次順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,以4次測量的均值作為該樣片測試值。

圖2 不同粗糙度樣片的二維形貌圖

2.2 實驗結(jié)果及分析

激光掃描顯微鏡(VK-9700)的測試結(jié)果顯示,黃銅樣片的面粗糙度范圍為0.30～1.64 μm。圖3是經(jīng)表面形貌測試后得到的各采樣點(diǎn)高度分布數(shù)據(jù),從中可以看出粗糙表面高度近似服從高斯分布。

圖3 樣片表面高度分布直方圖

圖4和圖5分別給出了8.98、10.78 GHz頻點(diǎn)處測得的不同粗糙度表面電導(dǎo)率結(jié)果(為方便與理論計算對比,結(jié)果表示為相對于粗糙度為0.3 μm樣片的歸一化電導(dǎo)率,所測樣片的最小粗糙度為0.3 μm)。作為對比,圖中還給出了有關(guān)模型及本文模型的計算結(jié)果。其中,H模型為文獻(xiàn)[6]中給出的Hammerstad模型

(11)

式中:σeff為等效電導(dǎo)率;σ0為理想電導(dǎo)率;δs為趨膚深度;h為均方根粗糙度。T模型為文獻(xiàn)[11]中給出的模型

σeff=

(12)

(13)

H模型、T模型、G模型得到的是樣品表面的線粗糙度與等效電導(dǎo)率的直接關(guān)系,本文實驗測量的是面粗糙度與等效電導(dǎo)率之間的關(guān)系,面粗糙度在實際應(yīng)用中比線粗糙度的可控性更高,且更為實用。作為解決實際工程問題的經(jīng)驗?zāi)Ｐ?這3個模型適用的粗糙度等參數(shù)范圍是有限的,而本文特殊設(shè)計的粗糙度在一定程度上超過了經(jīng)典模型的適用范圍。

圖4 銅樣片表面電阻測試結(jié)果及4種模型的 計算結(jié)果(8.98 GHz)

圖5 銅樣片表面電阻測試結(jié)果及4種模型的 計算結(jié)果(10.78 GHz)

由圖4和圖5給出的測試結(jié)果可以看到,當(dāng)均方根粗糙度從0.3 μm增加至1.6 μm時,等效電導(dǎo)率呈下降趨勢,在8.98和10.78 GHz處的理論預(yù)測等效電導(dǎo)率與實際測量值的最大誤差分別為4.79%和2.4%。與文獻(xiàn)中給出的粗糙表面等效電導(dǎo)率模型相比,分層模型得到的理論計算結(jié)果與實際測量更為貼近,從而證實了其合理性。

3 結(jié) 論

依據(jù)粗糙表面梯度模型,考慮分層介質(zhì)的透射系數(shù),建立了粗糙表面等效電導(dǎo)率的分層模型及其計算方法。采用替換端板諧振腔法測量了具有不同粗糙度的黃銅樣片,結(jié)果表明:粗糙度增加導(dǎo)致等效電導(dǎo)率減小;在一定粗糙度范圍內(nèi),利用分層模型得到的理論計算結(jié)果與實際測量值最大誤差為4.79%。與文獻(xiàn)中已有的模型相比,分層模型得到的理論結(jié)果與實際測量值更為貼近。

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(編輯 劉楊)

A Numerical Method of Equivalent Electrical Conductivity of Rough Metal Surface at Microwave Frequency Band and Its Verification

WANG Yiran,YE Ming,GAO Fan,CHEN Xiong,HE Yongning

(School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A numerical method of equivalent conductivity based on a gradient model is proposed to evaluate the effect of surface roughness on the equivalent electrical conductivity of metal surface at microwave band and experimental verification of the method is performed. Firstly, it is based on the gradient model of conductivity that the surface of a rough metal is equivalent to the superposition of several smooth thin layers. Secondly, the loss and transmission characteristics of the electromagnetic wave in each thin layer is based to calculate the total loss of the rough metal surface and to obtain the equivalent surface conductivity. Finally, the resonant cavity with replaceable end plate is used to measure the surface conductivities of machined brass samples with various roughness at 8.98 GHz and 10.78 GHz, respectively. Results indicate that, the equivalent conductivity decreases as the roughness increases for samples with RMS roughness in the range of 0.1-3 μm and that the theoretical predicted value of the equivalent conductivity from the proposed numerical method has a better agreement with measurement results than that from existing theories.

microwave frequency band; root mean square roughness; resonant cavity

2016-03-29。 作者簡介:王怡然(1990—),男,碩士生;賀永寧(通信作者),女,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(615013564)。

時間:2016-07-22

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160722.1953.002.html DOI:10.7652/xjtuxb201610003

TM931

A

0253-987X(2016)10-0015-04