郁靜

“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，而學(xué)生思維能力的培養(yǎng)主要是在解決數(shù)學(xué)問題的過(guò)程中進(jìn)行的。問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，問題的設(shè)計(jì)要有趣味性，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)去思考、交流、討論。

在初中數(shù)學(xué)中，幾何知識(shí)是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)幾何內(nèi)容敬而遠(yuǎn)之。筆者分享兩個(gè)幾何問題設(shè)計(jì)的案例。

案例1：已知如圖1，線段AB、CD相交于O，連接AD、CB，請(qǐng)寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

解答：解：在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，

在△BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，

∵∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），

∴180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

如果把形如圖1的圖形稱之為“對(duì)頂三角形”。那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，筆者循序漸進(jìn)的設(shè)計(jì)了九個(gè)問題，現(xiàn)分享如下：

（1）仔細(xì)觀察，在圖2中“對(duì)頂三角形”有幾個(gè)？

（2）在圖2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用原題中的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)。

（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（4）如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？

（5）如圖4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度數(shù)。

（6）如圖5，設(shè)∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代數(shù)式表示∠M的度數(shù)。

（7）如圖6，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點(diǎn)N，求∠ANC度數(shù)。

（8）如圖7，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠APC 的度數(shù)。

案例2：如圖1，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB。

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數(shù)。

（2）若∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)。

（3）若∠A=α，用含α的代數(shù)式表示∠BOC。

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的值；

（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)；

（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出

。

為拓寬、拓深學(xué)生的思維，鞏固所學(xué)知識(shí)，此題可以有如下幾種變式：

變式1：如圖2，若BO，CO分別平分△ABC的兩個(gè)外角，試探索∠BOC與∠ABC的數(shù)量關(guān)系。

分析：分別作∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)G，這樣就可以應(yīng)用原題中第三問的結(jié)論了。證明如下：

∵BG、CG分別平分∠ABC、∠DBC

∠ABC+∠DBC=180°

∴∠GBO=90°

同理可得∠GCO=90°

∵∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°

∴∠G+∠O=180°

由第三問結(jié)論可知：∠G=90°+（∠A/2）

∴∠O=180°-（90°+（∠A/2））

=90°-（∠A/2）

變式2：如圖3，若BO，CO分別平分△ABC一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角，交于點(diǎn)O，你能探索出∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系嗎？試試看。

分析：和變式1一樣，可以作∠ACB的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)H，也可以利用原題中的結(jié)論了。

將圖1、2、3糅合到一個(gè)圖上，此類題型就得到一個(gè)升華，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之間的相互關(guān)系等題型。

有趣的問題能激發(fā)學(xué)生積極思維，培養(yǎng)思維能力，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，提高課堂教學(xué)效率。

（作者單位：江蘇省鹽城市新洋實(shí)驗(yàn)學(xué)校）