吳建華,王新軍,張 穎

(1.濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250022; 2.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250100)

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內(nèi)生性回收率與信用風(fēng)險(xiǎn)度量研究

吳建華1,王新軍2,張 穎1

(1.濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250022; 2.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250100)

在信用風(fēng)險(xiǎn)模型中，外生性回收率的設(shè)定會(huì)忽略回收率對(duì)損失分布尾部的影響，而且會(huì)導(dǎo)致潛在的模型風(fēng)險(xiǎn)。本文將因子擴(kuò)散過(guò)程引入結(jié)構(gòu)信用風(fēng)險(xiǎn)模型，獲得了回收率和違約概率之間的內(nèi)在關(guān)系，利用Monte Carlo模擬方法數(shù)值分析了預(yù)期回收率對(duì)違約概率和資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)率的依賴性，結(jié)果表明預(yù)期回收率與違約率之間具有很強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系，而且這種相關(guān)關(guān)系會(huì)受到債務(wù)人資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)率的正向影響。在內(nèi)生性回收率下，推導(dǎo)了信用損失的概率分布，計(jì)算了信用風(fēng)險(xiǎn)的Credit-VaR和ETF指標(biāo)。最后利用市場(chǎng)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了內(nèi)生回收率信用風(fēng)險(xiǎn)模型的有效性，結(jié)果表明該模型可以很好的描述歷史違約率和回收率的變化過(guò)程。

內(nèi)生性回收率；因子擴(kuò)散過(guò)程；信用風(fēng)險(xiǎn)度量；數(shù)值模擬；實(shí)證檢驗(yàn)

1 引言

對(duì)金融機(jī)構(gòu)、金融監(jiān)管和債權(quán)人來(lái)說(shuō)，信用風(fēng)險(xiǎn)度量一直是最為核心的內(nèi)容。尤其是對(duì)于結(jié)構(gòu)化信用衍生產(chǎn)品的定價(jià)和信用評(píng)級(jí)，信用風(fēng)險(xiǎn)的度量更是一個(gè)基本的前提條件。然而，目前大多數(shù)現(xiàn)代信用風(fēng)險(xiǎn)度量模型主要是圍繞違約概率展開(kāi)，對(duì)于違約回收率的研究相對(duì)較少，從技術(shù)層面來(lái)看，違約概率的建模比較容易處理，而回收率的建模需要考慮更多的影響因素，比如借款人的信用質(zhì)量、債項(xiàng)的特征(債務(wù)工具優(yōu)先級(jí))、抵押品質(zhì)量、行業(yè)分類、宏觀經(jīng)濟(jì)因素等的影響。在信用風(fēng)險(xiǎn)管理中，違約回收率用來(lái)描述違約發(fā)生時(shí)債權(quán)人資產(chǎn)回收的程度。在商業(yè)銀行內(nèi)部評(píng)級(jí)高級(jí)法中，預(yù)期損失與非預(yù)期損失的計(jì)算以及對(duì)信貸業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整度量都需要估計(jì)回收率風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在信用衍生產(chǎn)品和結(jié)構(gòu)化信用產(chǎn)品的定價(jià)計(jì)算中，也必須對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)回收率進(jìn)行估計(jì)。

縱觀信用風(fēng)險(xiǎn)度量模型的研究，主要以回收率的外生假設(shè)為主。從結(jié)構(gòu)化模型來(lái)看，雖然Merton[1]在第一次提出結(jié)構(gòu)化信用風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí)，就指出違約概率和回收率均由到期時(shí)企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值決定，但是Merton對(duì)于市場(chǎng)價(jià)值如何影響回收率的機(jī)制并沒(méi)有做進(jìn)一步的說(shuō)明。而且，在Black和Cox[2]將Merton模型推廣到首達(dá)時(shí)模型時(shí)，回收率不再設(shè)定為由企業(yè)市場(chǎng)價(jià)值決定，而是被獨(dú)立的模型化的，它被定義為未償付債務(wù)價(jià)值的固定比率，而且與違約概率相互獨(dú)立。之后的研究基本上是以外生性回收率作為前提，只是具體假設(shè)有所差異，比如Jokivuolle和Peura[3]的研究中假設(shè)外生的抵押品的價(jià)值是決定回收率的唯一隨機(jī)因素。Giesecke[4]的研究中回收率則直接被假設(shè)為常數(shù)，Asvanunt 和Staal[5-6]的研究中回收率是由一個(gè)簡(jiǎn)約化的方法決定的?？傊?，絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)化模型中，無(wú)論回收率被直接假設(shè)為常數(shù)，還是決定于某些因素，都是以回收率的外生性為特征的。

從信用風(fēng)險(xiǎn)度量的另一個(gè)路徑——簡(jiǎn)約化模型來(lái)看，回收率則徹底被外生化。Jarrow和Turnbull[7]首次建立了一個(gè)離散形式的簡(jiǎn)約化模型，隨后在Jarrow等[8]、Duffie和Singleton[9]的研究基礎(chǔ)上發(fā)展形成了簡(jiǎn)約化信用風(fēng)險(xiǎn)模型，在所有的簡(jiǎn)約化模型中，只有在為了計(jì)算信用損失分布和進(jìn)行資產(chǎn)定價(jià)的時(shí)候，才考慮回收率的問(wèn)題。簡(jiǎn)約化模型對(duì)回收率的處理方式可以概括為三種：等價(jià)回收率、市值比例回收率和面值比例回收率。Jarrow和Turnbull[1]假設(shè)當(dāng)違約發(fā)生時(shí)，債權(quán)人可以獲得固定比例的等價(jià)面值無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)的零息債券。Duffie和Singleton[9]假設(shè)回收部分的價(jià)值與債券違約前的市場(chǎng)價(jià)值保持一個(gè)恒定的比率。Houweling和Vorst[10]將回收率看做違約債券面值的一部分。違約發(fā)生時(shí)，債權(quán)人可獲得基于面值的恒定比率的現(xiàn)金償還。這三種方法各具特點(diǎn)：等價(jià)回收率的形式更適合適用于公司債券；市值比例回收率的假定符合互換合約的結(jié)構(gòu)且易于拓展。面值比例回收率可以簡(jiǎn)化模型在計(jì)算方面的復(fù)雜性。

另外，從信用風(fēng)險(xiǎn)的應(yīng)用模型來(lái)看，四大現(xiàn)代信用風(fēng)險(xiǎn)度量應(yīng)用模型Credit Metrics、KMV、Credit Portfolio View和Credit Risk Plus中的違約回收率通常被看作是外生的常數(shù)或隨機(jī)變量，而且回收率和違約概率被看作兩個(gè)獨(dú)立變量。關(guān)于外生性回收率分布的假設(shè)，F(xiàn)rye[11]建立了回收率的正態(tài)分布模型，Pykhtin[12]提出對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，Andersen和Sidenius[13]討論了正態(tài)模型、log正態(tài)模型、probit正態(tài)模型和logit-正態(tài)模型進(jìn)行了對(duì)比研究。黃大海[14]對(duì)四種經(jīng)典的應(yīng)用模型的回收率情況進(jìn)行了總結(jié)，說(shuō)明了Credit Metrics、KMV和Credit Portfolio View中的回收率通常假定服從單峰Beta分布，與違約概率互不相關(guān)，Credit Risk+模型中的回收率則被假設(shè)為常數(shù)。王國(guó)棟和詹原瑞[15]，汪飛星和姚磊[16]則進(jìn)一步建立了回收率的雙峰Beta分布密度模型。陳暮紫等[17]利用廣義Beta回歸對(duì)影響不良貸款回收率的因素進(jìn)行了實(shí)證分析，給回收率的實(shí)證研究提供了一個(gè)很好的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)分析框架。

關(guān)于回收率和違約概率之間的相關(guān)性關(guān)系實(shí)證研究方面存在一定的爭(zhēng)議。對(duì)于債券來(lái)說(shuō)，Carty等[18]、Frye[19]，Bakshi等[20]，Hu和Perraudin[21]，Cantor等[22]，Carey和Gordy[23]以及Altman等[24]的研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于企業(yè)債券來(lái)說(shuō)，回收率與違約概率之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系。對(duì)于貸款來(lái)說(shuō)，由于抵押品的存在，只要抵押品的價(jià)值相對(duì)穩(wěn)定，即使由于外在經(jīng)濟(jì)環(huán)境的影響導(dǎo)致違約概率上升，貸款的回收率也可能不會(huì)下降。但是Hamilton[25]，Hu Yen-ting 等[26]通過(guò)實(shí)際的數(shù)據(jù)研究顯示，當(dāng)總的貸款違約概率較高時(shí)，回收率與違約概率之間還是存在一定的負(fù)相關(guān)性。 對(duì)于信用衍生產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，Hull和White[27]研究表明，衍生品CDO和CDS的隱含回收率與PD之間都存在顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系。Das和Hanouna[28]利用 CDS價(jià)差數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)隱含回收率和PD呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，尤其在PD很高時(shí)，這種負(fù)相關(guān)性更加明顯。

綜上所述，在信用風(fēng)險(xiǎn)度量模型中，有關(guān)回收率的研究主要集中于回收率的影響因素、回收率的分布模型、回收率與違約率的相關(guān)性等方面。目前的研究主要包括兩個(gè)方面的不足，一是回收率的外生性假設(shè)。絕大多數(shù)信用風(fēng)險(xiǎn)模型普遍假設(shè)回收率與違約概率相互獨(dú)立，實(shí)證研究表明這會(huì)嚴(yán)重低估實(shí)際的巨額損失。而且這種主觀的假設(shè)會(huì)導(dǎo)致潛在的模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)；二是回收率分布的假設(shè)，多數(shù)模型假設(shè)回收率服從貝塔分布。但是實(shí)證研究顯示，基于貝塔分布的信用VaR估計(jì)的誤差有增大的趨勢(shì)。

然而，無(wú)論是從經(jīng)濟(jì)學(xué)直覺(jué)還是從金融實(shí)踐來(lái)看，違約資產(chǎn)的回收率都不應(yīng)該是外生的，事實(shí)上，如果某項(xiàng)資產(chǎn)在違約之后具有較低的回收率，那么這就意味著該項(xiàng)資產(chǎn)必然具有較高的違約率，反之，較高的回收率必然意味著債務(wù)人的以及債項(xiàng)的信用質(zhì)量較高，在正常的經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，不會(huì)輕易的發(fā)生違約。實(shí)際上，從大量關(guān)于回收率的實(shí)證研究來(lái)看，違約概率和回收率之間不是相互獨(dú)立的。

從上面這些文獻(xiàn)可知，無(wú)論是債券、貸款還是信用衍生品，回收率和違約概率之間都存在明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。但是以上這些文獻(xiàn)只是說(shuō)明了回收率和違約概率之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系，并沒(méi)有具體說(shuō)明這種負(fù)相關(guān)關(guān)系之間的內(nèi)在機(jī)理。為此，需要考慮如何將回收率進(jìn)行內(nèi)生化分析。目前關(guān)于這方面的研究還較少，僅有的文獻(xiàn)有，Guo Xin等[29]提出在傳統(tǒng)簡(jiǎn)約模型的框架中加入一個(gè)反映回收率的隨機(jī)過(guò)程。模型中公司違約過(guò)程、回收率過(guò)程和風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)定價(jià)的定量化都是基于公司的資產(chǎn)價(jià)值。Chava等[30]提出，在簡(jiǎn)約模型中假設(shè)違約概率和回收率同時(shí)依賴于單一的公共因子，從而保留了違約和回收率之間的負(fù)相關(guān)，但是該模型的缺點(diǎn)是待估參數(shù)過(guò)多，而且有些參數(shù)從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度難以解釋。不過(guò)，以上這兩篇文章對(duì)于回收率內(nèi)生化的研究，主要是在簡(jiǎn)約模型框架內(nèi)進(jìn)行的，對(duì)于結(jié)構(gòu)模型框架內(nèi)的回收率內(nèi)生化機(jī)理的研究還是個(gè)空白。

Merton曾提出違約概率和回收率均由到期時(shí)企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值決定。但是Merton對(duì)于市場(chǎng)價(jià)值如何影響回收率的機(jī)制并沒(méi)有做進(jìn)一步的說(shuō)明。本文在結(jié)構(gòu)模型框架內(nèi)，研究了多資產(chǎn)內(nèi)生性回收率的機(jī)理，在假設(shè)信用資產(chǎn)服從因子擴(kuò)散過(guò)程的假設(shè)下，推導(dǎo)了回收率和違約概率之間的內(nèi)在函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)關(guān)系僅僅依賴于一個(gè)參數(shù)，我們稱之為內(nèi)生回收率。內(nèi)生回收率在保持違約率同回收率之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系的前提下，避免了外生性回收率假設(shè)所存在的潛在的模型風(fēng)險(xiǎn)。在內(nèi)生回收率框架內(nèi)，推出了信用損失的概率分布，計(jì)算了兩個(gè)重要的信用風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)C-VaR和ETF。利用Monte Carlo模擬數(shù)值分析，檢驗(yàn)了內(nèi)生回收率的有效性。最后，利用Moody公司的部分?jǐn)?shù)據(jù)，檢驗(yàn)了本文模型的有效性。

2 回收率的內(nèi)生性分析

考慮具有K個(gè)企業(yè)的債務(wù)組合，企業(yè)k(k=1,…,K)的市場(chǎng)價(jià)值為Vk。出于分析的簡(jiǎn)化，假設(shè)企業(yè)資產(chǎn)結(jié)構(gòu)由所有權(quán)益和負(fù)債組成，企業(yè)k發(fā)行一種特定的零息債券，該債券的面值為Fk=F，持有期為T。假設(shè)企業(yè)資產(chǎn)市值的初始值為Vk(0)=V(0)。當(dāng)企業(yè)資產(chǎn)價(jià)值在T時(shí)刻低于面值，即Vk

(1)

令fVk(v)表示在到期日T，企業(yè)k的市場(chǎng)價(jià)值Vk的概率密度函數(shù)。那么違約概率為：

(2)

預(yù)期回收率為：

(3)

由(2)(3)式可知，違約率和回收率都是由T時(shí)刻企業(yè)的資產(chǎn)價(jià)值Vk決定的。從(3)可以看出，預(yù)期回收率E(Rk)受到違約率PD,k的直接影響，同現(xiàn)有的大多數(shù)信用風(fēng)險(xiǎn)模型中兩者是獨(dú)立的假設(shè)相比，違約率和回收率之間的這種函數(shù)關(guān)系更貼近實(shí)際情況，我們稱之為內(nèi)生性回收率。值得一提的是，本文突出了回收率的“內(nèi)生”特征，這一點(diǎn)從式子(1)和(3)中可以清楚的看到，無(wú)論是回收率Rk還是預(yù)期回收率E(Rk)都是資產(chǎn)價(jià)值Vk的函數(shù)，這是同已有的外生性回收率的設(shè)定本質(zhì)不同的地方，而三種常見(jiàn)的外生性回收率：等價(jià)回收率、市值比例回收率和面值比例回收率的設(shè)定都是在債權(quán)債務(wù)契約簽訂之前就外生設(shè)定的，而與債務(wù)契約簽訂之后的資產(chǎn)的價(jià)值是沒(méi)有任何關(guān)系的。

3 基于因子擴(kuò)散模型的內(nèi)生回收率

3.1 企業(yè)價(jià)值的因子擴(kuò)散模型

在經(jīng)典的結(jié)構(gòu)模型中，通常假設(shè)企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值V(t)服從下面的擴(kuò)散過(guò)程：

dV(t)=V(t)μdt+V(t)σdZ

(4)

其中μ為漂移項(xiàng)，σ為波動(dòng)項(xiàng)，dZk服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。但是，這種經(jīng)典設(shè)定沒(méi)有說(shuō)明造成市場(chǎng)價(jià)值波動(dòng)的原因。從經(jīng)濟(jì)學(xué)常識(shí)我們可知，影響市場(chǎng)價(jià)值波動(dòng)的原因無(wú)非來(lái)源于兩個(gè)方面，一是系統(tǒng)性的宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的改變；二是非系統(tǒng)性的個(gè)別企業(yè)內(nèi)部經(jīng)營(yíng)管理的微觀層面的變動(dòng)。因此，在擴(kuò)散過(guò)程中引入公共的宏觀經(jīng)濟(jì)因子和企業(yè)自身的特殊因子，可以更好的刻畫企業(yè)價(jià)值的變化。另外，在信用資產(chǎn)組合中，不同企業(yè)之間的相關(guān)性也會(huì)影響到整個(gè)資產(chǎn)組合價(jià)值的變動(dòng)，表現(xiàn)為企業(yè)之間的違約相關(guān)性，通過(guò)因子模型可以方便的描述不同企業(yè)之間的交互作用，這種相關(guān)性的描述在經(jīng)典的Merton模型中沒(méi)有給出。

假設(shè)企業(yè)k(k=1,…,K)的市場(chǎng)價(jià)值Vk是由公共的宏觀經(jīng)濟(jì)因子M和個(gè)別企業(yè)的特殊因子Zk所決定的，即：

(5)

其中M和Zk均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Zk，k=1,…,K之間相互獨(dú)立，每一個(gè)Zk與M也相互獨(dú)立。c∈[-1,1]為常數(shù)，這意味著，任何兩個(gè)企業(yè)之間的具有相同的相關(guān)結(jié)構(gòu)。這樣，我們就可以假設(shè)企業(yè)k的市場(chǎng)價(jià)值Vk(t)在t時(shí)刻的變動(dòng)過(guò)程服從下面的隨機(jī)微分方程：

(6)

上式描述了一個(gè)具有線性相關(guān)特征的因子擴(kuò)散過(guò)程，μ為漂移項(xiàng)，σ為波動(dòng)項(xiàng)和c為相關(guān)系數(shù)。dM和dZk分別表示市場(chǎng)的波動(dòng)性和企業(yè)k的波動(dòng)性，都服從標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。顯然，由(6)式可知，不同的宏觀經(jīng)濟(jì)變量M和企業(yè)的特殊狀況Zk的實(shí)際值，會(huì)形成不同的市場(chǎng)價(jià)值Vk的概率密度函數(shù)fVk(v)，從而根據(jù)(2)(3)我們可以計(jì)算得到不同的違約概率PD,k和預(yù)期回收率E(Rk)。

3.2 內(nèi)生回收率的理論分析

把債券的期限T等分為N段，Δt=T/N為離散時(shí)間的增量，這樣我們就可以得到(6)式的離散形式，對(duì)任意的t∈[0,T]：

(7)

其中η和εk均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，分別表示來(lái)自市場(chǎng)方面的隨機(jī)沖擊和企業(yè)自身經(jīng)營(yíng)的不確定性帶來(lái)的沖擊。對(duì)(7)利用迭代運(yùn)算可得在到期日T，企業(yè)k的市場(chǎng)價(jià)值服從如下的規(guī)律：

(8)

令Xk=(Vk(T)-V(0))/V(0)為企業(yè)k的市場(chǎng)收益率，所有K個(gè)企業(yè)在[0,T]內(nèi)的市場(chǎng)平均收益率記為Xm，則：

(9)

(10)

(11)

(12)

對(duì)于企業(yè)k，利用(8)(9)(11)我們有：

(13)

(14)

(15)

由此可以得到單個(gè)企業(yè)的違約概率如下：

(16)

(17)

企業(yè)的平均違約損失L=1-V/F的期望值可以如下計(jì)算：

(18)

從而有：

(19)

根據(jù)(17)我們可以將A(Xm)表達(dá)成PD的函數(shù)：

(20)

這樣，我們就可以得到預(yù)期回收率和違約概率的函數(shù)依賴關(guān)系：

(21)

這就是內(nèi)生性回收率如何受到違約概率影響的內(nèi)在機(jī)理。此外，從方程(21)還可以看到預(yù)期回收率與違約率的函數(shù)關(guān)系受外生變量B的結(jié)構(gòu)性影響。為了更加直觀的理解這一關(guān)系，在圖1中給出不同的波動(dòng)率下B，違約概率對(duì)預(yù)期回收率影響的變化情況。

圖1 不同波動(dòng)率下，違約概率對(duì)預(yù)期回收率的影響，B=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5

由圖1可知，隨著違約概率PD的增加，預(yù)期回收率對(duì)違約概率變得更加敏感，當(dāng)違約概率足夠大，趨向于1時(shí)，預(yù)期回收率會(huì)迅速趨向于0，表明預(yù)期回收率對(duì)違約概率具有高度的負(fù)的依賴性。另外，債務(wù)人資產(chǎn)的波動(dòng)性B越高，預(yù)期回收率E(R(PD))就整體越高，表明資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)性不但影響違約概率，對(duì)于回收率的整體變動(dòng)具有系統(tǒng)性的影響，并且表現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)性。無(wú)論是違約概率還是波動(dòng)性，它們都對(duì)預(yù)期回收率具有內(nèi)在的影響。這充分說(shuō)明，回收率不應(yīng)該被人為地設(shè)定為外生的，回收率的外生性設(shè)定會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的模型風(fēng)險(xiǎn)。

3.3 對(duì)內(nèi)生回收率的數(shù)值分析

在MC模擬中，我們考慮了方程(8)中的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。由于我們只考慮在T時(shí)刻的債務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值，因此在進(jìn)行模擬時(shí)，我們直接取了一大步，即Δt=T，故N=1。因此，市場(chǎng)價(jià)值的離散形式為：

(22)

每次給定一個(gè)市場(chǎng)波動(dòng)的實(shí)現(xiàn)值η，我們模擬K=5000次得到5000個(gè)不同的εk實(shí)現(xiàn)值。對(duì)于每一次模擬的運(yùn)行，我們計(jì)算市場(chǎng)平均收益率Xm，違約概率PD(Xm)和預(yù)期回收率E(R(Xm))。市場(chǎng)平均收益率Xm被定義為到期日T時(shí)刻的平均收益：

(23)

對(duì)于足夠大的K來(lái)說(shuō)，異質(zhì)項(xiàng)εk會(huì)達(dá)到平均水平，而市場(chǎng)平均收益率Xm由η的實(shí)現(xiàn)值單獨(dú)的定義。這就是為什么我們利用市場(chǎng)平均收益率作為其他觀測(cè)值的參數(shù)的原因。對(duì)于違約概率做如下估計(jì)：

PD(Xm)≈ND(Xm)/K

(24)

其中ND(Xm)是違約次數(shù)，取值為事件Vk(T)

(25)

進(jìn)而得到預(yù)期損失率：

(26)

從而可以估計(jì)預(yù)期回收率為：

E(R(Xm))=1-E(L(Xm))

(27)

這里，我們假設(shè)違約的次數(shù)嚴(yán)格的非零，這對(duì)于足夠大的組合規(guī)模K來(lái)說(shuō)是合理的。對(duì)市場(chǎng)平均收益率項(xiàng)的實(shí)現(xiàn)值模擬106次，這樣我們就可以得到市場(chǎng)平均收益率Xm，違約概率PD(Xm)和預(yù)期回收率E(R(Xm))的不同的值。

不失一般性，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)值的初始值為V0=100，零息債券的面值為F=75，到期日為T=1(比如1年)。相關(guān)系數(shù)假設(shè)為c=0.5，這同股票價(jià)格的常見(jiàn)的相關(guān)性是一致的。擴(kuò)散過(guò)程的參數(shù)設(shè)為μ=0.05，σ=0.15，這意味著每年的平均增長(zhǎng)率5%和波動(dòng)率15%。對(duì)應(yīng)的杠桿率F/V0=75%。帶入(22)可得：

模擬結(jié)果畫在圖2中，同時(shí)給出了預(yù)期回收率和預(yù)期損失率對(duì)違約概率的依賴性。

圖2 預(yù)期回收率ER和預(yù)期損失率EL對(duì)違約概率PD的依賴性

在圖2中，左圖顯示了預(yù)期回收率E(R(Xm))對(duì)違約概率PD(Xm)的依賴性，右圖顯示了預(yù)期損失率E(L(Xm))對(duì)違約概率PD(Xm)的依賴性，其中紅色的散點(diǎn)表示MC模擬結(jié)果，藍(lán)色的線表示分析結(jié)果。分析結(jié)果中的波動(dòng)性B是由模擬結(jié)果獲得的參數(shù)。在這兩個(gè)例子中，我們分別觀察到了在MC模擬和方程(21)中的分析結(jié)果之間的高度的一致性。而且對(duì)于高違約概率，對(duì)于均值的偏離是較小的。這一點(diǎn)同實(shí)際的回收率是相符的，在后面第五部分的實(shí)證分析中可以得到驗(yàn)證。由此可知，本文給出的基于因子擴(kuò)散模型的回收率可以很好的刻畫回收率函數(shù)的內(nèi)生性特征。

4 基于內(nèi)生回收率的信用風(fēng)險(xiǎn)度量

信用風(fēng)險(xiǎn)的度量需要計(jì)算三個(gè)基本核心的參數(shù)：違約概率(PD)、違約損失率 (LGD)和違約風(fēng)險(xiǎn)敞口 (EAD)。利用這三個(gè)基本參數(shù)，就可以得到任何組合債務(wù)潛在的信用損失CL，從而進(jìn)一步的根據(jù)信用損失的概率分布獲得信用在險(xiǎn)價(jià)值(Credit Value at Risk，C-VaR)和預(yù)期尾部損失(Expected Tail Loss，ETL)。

首先討論信用損失CL的概率分布。對(duì)于具有K份合約的債務(wù)組合說(shuō)，其潛在的信用損失為:

(28)

其中PDk、EADk和LGDk分別為債務(wù)k的違約概率、違約風(fēng)險(xiǎn)敞口和違約損失率。對(duì)于齊次債務(wù)組合，有CL=K·PD·EAD·LGD。出于簡(jiǎn)化，記EAD=F，LGD=L，故K份合約的齊次債務(wù)組合的潛在的信用損失為：

CL(Xm)=K·F·PD(Xm)·L(Xm)

(29)

下面給出信用損失CL的概率分布。由CL的表達(dá)式可知，K，F(xiàn)都是常數(shù)，而PD(Xm)和L(Xm)都是市場(chǎng)平均收益率Xm的函數(shù)，因此，CL的概率分布fCL(l)dl同市場(chǎng)平均收益率的概率分布fXm(xm)dxm等價(jià)的，即

fCL(l)dl?fXm(x)dx

(30)

故信用損失CL的概率分布函數(shù)為：

(31)

根據(jù)式子(12)可得：

(32)

給定組合信用損失和市場(chǎng)平均收益率之間的函數(shù)關(guān)系，CL(Xm)=K·F·PD(Xm)·L(Xm)，我們可以將市場(chǎng)平均收益率Xm的密度函數(shù)轉(zhuǎn)換為信用損失CL的密度函數(shù)：

(33)

圖3給出了信用損失CL的理論損失分布的結(jié)果和MC結(jié)果的對(duì)比。

圖3 信用損失的理論分布和MC模擬

從圖3中，我們觀察到信用損失的理論分布和MC模擬的高度的一致性，即使對(duì)于極端大的組合損失也是如此。下面利用上面推導(dǎo)的信用風(fēng)險(xiǎn)損失分布來(lái)計(jì)算兩個(gè)重要的信用風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。

在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中，VaR是目前各大金融機(jī)構(gòu)主流的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，而且VaR的應(yīng)用功能已經(jīng)拓展到了彌補(bǔ)潛在損失所需要的經(jīng)濟(jì)資本、銀行的資本充足率等資本要求的計(jì)算中，但是，作為風(fēng)險(xiǎn)管理的主流工具的VaR并不滿足風(fēng)險(xiǎn)度量的一致性要求[32]，事實(shí)上，雖然VaR滿足單調(diào)性、正齊次性和平移不變性，但是它不滿足次可加性，因而無(wú)法充分體現(xiàn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)，這也是本文引入預(yù)期尾部損失ETL作為對(duì)VaR信用風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)補(bǔ)充的原因。

C-VaR=WCL-ECL

(34)

(35)

預(yù)期尾部損失(Expected Tail Loss，ETL)是Acebi和Tache[33]提出的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，它彌補(bǔ)了VaR方法不滿足次可加性的缺陷，是一個(gè)具有一致性的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。如果X的分布函數(shù)FX(x)是連續(xù)的，在給定置信水平α下，ETL定義為：

(36)

對(duì)于信用損失CL來(lái)說(shuō)，預(yù)期尾部損失C-ETL為：

(37)

下面利用MC技術(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?？紤]一個(gè)由500個(gè)信用資產(chǎn)構(gòu)成的同質(zhì)的債務(wù)組合，假設(shè)市場(chǎng)價(jià)值的初始值為V0=100，零息債券的面值為F=75，到期日為T=1(比如1年)。假設(shè)任何兩個(gè)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)為c=0.5，這同股票價(jià)格的常見(jiàn)的相關(guān)性是一致的。擴(kuò)散過(guò)程的參數(shù)設(shè)為μ=0.05，σ=0.15，這意味著每年的平均增長(zhǎng)率5%和波動(dòng)率15%。對(duì)應(yīng)的杠桿率F/V0=75%。表1給出基于0.99置信水平的預(yù)期信用損失ECL，C-VaR和C-ETL的數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。

表1 ECL、C-VaR和ETL的數(shù)值模擬和解析結(jié)果

注:置信水平α=0.99

從表1可以看出，對(duì)于預(yù)期信用損失(ECL)，信用在險(xiǎn)價(jià)值(C-VaR)和預(yù)期尾部損失(ETL)，解析結(jié)果同模擬結(jié)果高度一致，這說(shuō)明本文所給出的基于內(nèi)生性回收率的信用風(fēng)險(xiǎn)的度量模型，能夠很好的對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量。

5 內(nèi)生性回收率的實(shí)證檢驗(yàn)

由于國(guó)內(nèi)還沒(méi)有長(zhǎng)期完整的債券信用違約數(shù)據(jù)庫(kù)，本文使用了山東大學(xué)金融實(shí)驗(yàn)室提供的部分國(guó)外的債券信用評(píng)級(jí)數(shù)據(jù)。我們對(duì)于2000年1月1日到2011年12月31 的債券信用評(píng)級(jí)數(shù)據(jù)，根據(jù)每一個(gè)債務(wù)人的違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行排序，從而構(gòu)建出同質(zhì)的信用組合。在我們的分析中，我們考慮了組合內(nèi)不同到期日和相應(yīng)的回收率的違約概率。

我們測(cè)算了2000年1月1日到2010年12月31日的1年期債券的違約概率和回收率。第一段時(shí)期從2000年1月1日到2000年12月31日。第二段為2000年2月1日到2001年2月31日，以此類推，最后一段時(shí)期為2011年1月1日到2011年12月31日。

由于違約事件是稀有事件，為了盡可能的獲得更多的違約數(shù)據(jù)，我們考慮了初始評(píng)級(jí)較低的投機(jī)級(jí)信用資產(chǎn)組合，這些評(píng)級(jí)表明相關(guān)的信用資產(chǎn)是高風(fēng)險(xiǎn)的。我們統(tǒng)計(jì)估算了評(píng)級(jí)為Caa1，Caa2和Caa3的優(yōu)先擔(dān)保債券的違約概率和回收率，如圖4。

圖4 評(píng)級(jí)為Caa1，Caa2和Caa3的優(yōu)先擔(dān)保債券的違約概率和回收率

從圖4可以看出，違約概率PD和違約回收率RR二者之間表現(xiàn)出了高度的負(fù)相關(guān)。實(shí)際的數(shù)據(jù)表明，回收率同違約概率之間是具有內(nèi)在的聯(lián)系的，而不是像大多數(shù)文獻(xiàn)所給出的獨(dú)立性假設(shè)，故回收率是具有內(nèi)生性的特制的。

下面我們選擇了特定評(píng)級(jí)的債券組成我們的組合，假設(shè)它們?cè)跇?gòu)成組合的相同時(shí)刻發(fā)行的。理論的預(yù)期回收率是根據(jù)式子(21)計(jì)算的，這實(shí)際上是對(duì)潛在的隨機(jī)過(guò)程實(shí)現(xiàn)值的一個(gè)平均。因此，我們對(duì)實(shí)際回收率的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均來(lái)描述預(yù)期回收率，然后觀察兩者的接近程度。為此，我們將實(shí)際的違約率數(shù)據(jù)等分成30組，然后計(jì)算每組的回收率，最后進(jìn)行平均得到整個(gè)資產(chǎn)組合的平均回收率。計(jì)算結(jié)果畫在圖5中。

圖5 兩年期和四年期違約概率與平均損失及回收率

我們用這些數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)本文的內(nèi)生性回收率模型，從圖5 可以發(fā)現(xiàn)模型的理論結(jié)果同實(shí)際的數(shù)據(jù)高度的一致。內(nèi)生性回收率模型能夠更好的描述經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。該模型可以作為現(xiàn)存的違約概率模型的一個(gè)很好的補(bǔ)充。實(shí)際的債務(wù)人的資本結(jié)構(gòu)比Merton模型框架內(nèi)的更加復(fù)雜，而且違約通常在到期日之前就發(fā)生了。另外，如果我們已經(jīng)知道違約概率的分布，也可以利用方程(37)來(lái)描述組合損失分布。

6 結(jié)語(yǔ)

違約和回收率之間的交互性對(duì)大額的信用組合損失具有關(guān)鍵的影響。然而在現(xiàn)有的信用風(fēng)險(xiǎn)模型中，違約概率和回收率經(jīng)常被獨(dú)立的模型化。本文基于經(jīng)典的擴(kuò)散過(guò)程，推導(dǎo)了違約和回收率之間的函數(shù)關(guān)系。該函數(shù)關(guān)系是由一個(gè)單參數(shù)決定的。MC模擬實(shí)驗(yàn)直觀的揭示了違約以及參數(shù)如何影響該內(nèi)生回收率的變化。在內(nèi)生回收率框架下，本文計(jì)算了度量信用風(fēng)險(xiǎn)的兩個(gè)重要的指標(biāo)Credit-VaR和ETF指標(biāo)。最后利用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了本文所提出的內(nèi)生回收率信用風(fēng)險(xiǎn)模型的有效性，結(jié)果表明內(nèi)生回收率信用風(fēng)險(xiǎn)模型可以更好的描述歷史違約率的變化過(guò)程。

本文的研究?jī)H僅考慮了信用風(fēng)險(xiǎn)度量中經(jīng)典的結(jié)構(gòu)模型，對(duì)于更多的結(jié)構(gòu)模型也可以利用本文的思路進(jìn)行拓展。顯然本文所提出的內(nèi)生性回收率模型可以用在任何其他的違約概率模型中，它可以改進(jìn)現(xiàn)有的一系列信用風(fēng)險(xiǎn)模型。

此外本文沒(méi)有考慮信用風(fēng)險(xiǎn)的定價(jià)問(wèn)題，相信本文的內(nèi)生性回收率也可以用于信用風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品(比如，傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)債券和信用衍生品CDS，以及結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品CDO分券等)的定價(jià)中，這也是作者下一步研究的思路和方向。

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Endogenous Recovery Rate and Credit Risk Measurement

WU Jian-hua1, WANG Xin-jun2, ZHANG Ying1

(1.School of Mathematical Sciences, University of Jinan, Jinan 250022,China;2.School of Economics, Shandong University, Jinan 250100，China)

In credit risk models, exogenous recovery rate may neglect the impact on the tail of the loss distribution, and the exogenous specify of the recovery rate leads to the possible model risk. This paper incorporates the factor diffusion process into the structure model of default, derives the inherent relation between the recovery rate and the default probability and analyzes the dependence of expected recovery rate on the expected default probability by using the MC technology. The result shows there are strong negative correlation between expected recovery rates and default probability. Furthermore, the volatility of the asset value has positive compact on the correlation. In the framework of the endogenous recovery rate, the probability distribution of the credit loss is derved, and two index, Credit VaR and ETF, which is the measurement of the credit risk are computed. Finally, the performance of the endogenous recovery rate is tested-based on credit risk model using the market data，which shows that the model can well-character the evolution of the history default probability and recovery rates.

endogenous recovery rate; factor diffusion process; credit risk measurement; numerical simulation; empirical analysis

1003-207(2016)01-0001-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.001

2014-02-19；

2014-07-17

教育部人文社科規(guī)劃基金資助項(xiàng)目(13YJAZH091); 國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12BTJ015); 濟(jì)南大學(xué)社科基金資助項(xiàng)目(15Y1329);濟(jì)南大學(xué)優(yōu)秀人才科研基金資助項(xiàng)目(1008359,1008645)

簡(jiǎn)介：吳建華(1975-)，男(漢族)，山東博興人，濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，講師，校聘A4崗，研究方向：精算與風(fēng)險(xiǎn)控制、金融風(fēng)險(xiǎn)量化與管理，E-mail:wu88172968@163.com.

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