楊 虎 趙永全●

甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校(742200)

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小題以大做 思維得發(fā)散
——如何求異面直線所成的角

楊 虎 趙永全●

甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校(742200)

在平時(shí)的教學(xué)中，有這樣一些“小”題目，文字?jǐn)⑹錾伲}干短小，言簡(jiǎn)意賅，但內(nèi)涵雋永，意味深邃.對(duì)這類題目進(jìn)行深層次挖掘，多角度探索，會(huì)發(fā)現(xiàn)解法多變而靈活，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維有很大的幫助.本文就從學(xué)生資料中的一道求異面直線所成的角的小題——“小題大做”，來(lái)體會(huì)如何求異面直線所成的角.

一、題目再現(xiàn)

異面直線所成的角，是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角(或直角)來(lái)定義的.因此，在教學(xué)中要求異面直線所成的角時(shí)通常要引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)平移直線形成角，進(jìn)而在某個(gè)平面中得到異面直線所成角；或者利用三垂線定理進(jìn)行線線之間的轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題.

隨著新課改的深入，新教材(特別是人教B版)對(duì)立體幾何的處理有了一些新的變化，淡化了對(duì)學(xué)生作圖能力的要求，特別是引進(jìn)了空間向量的方法(實(shí)際上是把空間問(wèn)題代數(shù)化)，避開(kāi)了一些繁雜的作圖，其中在求異面直線所成的角中運(yùn)用空間向量的方法有很大的優(yōu)點(diǎn).即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)運(yùn)算及幾何性質(zhì)求解.下面就這道小題，從平移、利用三垂線定理以及向量法等角度進(jìn)行探索求解.

二、解法探索

思路一：利用平移轉(zhuǎn)化

于是∠AB1D=90°.

則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點(diǎn)評(píng) 觀察直線AB1與BC1的位置，將BC1平移，即過(guò)點(diǎn)B1作B1D∥C1B交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

解法2 如圖3，取B1B的中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ME∥AB1，NE∥BC1，則M,N分別是AB,B1C1的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，連接MD,ND，于是，∠MEN即為AB1與BC1所成的角.

于是cos∠MEN

于是∠MEN=90°.

則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點(diǎn)評(píng) 取B1B的中點(diǎn)E，將直線AB1與BC1平移到E處，即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

思路二：利用三垂線定理

解法3 如圖4，取BC的中點(diǎn)D，連接AB1,B1D， 由正三棱柱ABC-A1B1C1知，AD⊥BC，于是AD⊥平面BB1C1C.

又因?yàn)锽1D為A1B在面BCC1B1內(nèi)的射影，所以AB1⊥BC1.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點(diǎn)評(píng) 從AB1是平面BB1C1C的斜線入手，尋找AB1在平面內(nèi)的射影與BC1的關(guān)系，由三垂線定理證明異面直線垂直.

解法4 如圖5，取A1B1的中點(diǎn)E，連接C1E,BE，由正三棱柱ABC-A1B1C1知，C1E⊥平面A1B1BA.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點(diǎn)評(píng) 本解法與解法3相似，只是所選取的斜線

?

?與平面不同而已.

思路三：利用向量

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)形式來(lái)表示，通過(guò)計(jì)算向量的數(shù)量積，便可知其異面直線AB1與BC1垂直.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

三、解后反思

通過(guò)對(duì)這道小題的探索發(fā)現(xiàn)，從不同的角度看待問(wèn)題會(huì)有不同的求解方法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是有益的.在本題解法中，思路一與思路二要求學(xué)生有良好的作圖能力，且能夠在作圖后在所需要的三角形中計(jì)算出各條線段的長(zhǎng)度，從而達(dá)到求解目的.而思路三只需建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，來(lái)求出兩個(gè)向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角.另外，對(duì)異面直線所成的角的求法我們還可以借用一些固定的模型，引用一些已知的公式來(lái)求出角的大小.

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