江蘇省揚州市方陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

陳利明●

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圖形變換的規(guī)律研究與實踐

江蘇省揚州市方陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

陳利明●

本文圖形的平移、翻折和旋轉(zhuǎn)問題是運用運動觀點、運動思想去研究圖形位置變化或圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)問題.這類問題一般有兩種情況：①根據(jù)條件中的圖形運動，研究圖形在運動過程中或經(jīng)過運動后的位置與相關(guān)性質(zhì)；②條件中沒有提到圖形運動，要利用運動的思想添加輔助線，發(fā)現(xiàn)隱含條件，解決問題.

平移；翻折；旋轉(zhuǎn)

在圖形的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)運動變化中尋找不變的量；對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.把握規(guī)律，探究關(guān)系，要學(xué)會把圖形的對稱性與分類討論的數(shù)學(xué)思想結(jié)合在一起.

一、圖形的平移

在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都相同，平移距離都相等.

實踐1 在△ABC,AB=AC,∠A=30°,將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，再將線段BD平移到EF，使點E在AB上，點F在AC上.(1)如圖1，直接寫出∠ABD和∠CFE的度數(shù)；(2)在圖1中證明AE=CF；(3)如圖2，連接CE，判斷△CEF的形狀并加以證明.

解析 (1)∠ABD=15°,∠CFE=45°.

(2)連接CD、DF，如圖3所示.

∵線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD ∴BD=BC,∠CBD=60° ∴△BCD是等邊三角形.∴CD=BD.

∵線段BD平移到EF，∴EF∥BD,EF=BD.

∴四邊形BDFE是平行四邊形 ∴EF=CD.

∵AB=AC,∠A=30° ∴∠ABC=∠ACB=∠75°.

∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°=∠ACD,

∴∠DFE=∠ABD=15°,∠AFE=∠ABD=15°.

∴∠AEF=∠ACD=15°.

∵∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°,

∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-15°=30°,

∴∠A=∠CFD=30° ∴△AEF≌△FCD ∴AE=CF.

(3)△CEF是等腰直角三角形.

證明如下：如圖4，過點E作EG⊥CF于點G.

∵∠CFE=45° ∴FEG=∠45° ∴EG=FG.

二、圖形的翻折

翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180°后形成的新的圖形的變化.解這類題要抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素.

實踐2 如圖5將一張三角形紙片ABC折疊，使點A落在BC邊上，折痕EF∥BC，得到△EFG;再繼續(xù)將紙片沿△BEG的對稱軸EM折疊，依照上述作法，再將△CFG折疊，最終到矩形EMNF，折疊后△EMG和△FNG的面積分別為1和2，則△ABC的面積為( ).

解析 根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，△AEF≌△GEF,△EBM≌△EGM,△FCN≌△FGN.則△ABC的面積為矩形.

三、圖形的旋轉(zhuǎn)

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫作旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫作旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?，使問題得到簡單的解決，它是一種重要的解題方法.

實踐3 在平面直角坐標系中，O為原點，點A(-2，0)，點B(0，2)，點E，點F分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α.

(1)如圖6(1)所示，當(dāng)α=90°時，求AE′,BF′的長；(2)如圖6(2)所示，當(dāng)α=135°時，求證AE′=BF′,且AE′⊥BF′.

G

B