湖北省咸豐縣第一中學(xué)(445600)

江 維●

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一道課本練習(xí)題的多視角求解

湖北省咸豐縣第一中學(xué)(445600)

江 維●

人教A版選修2-1第二章第一節(jié)練習(xí)第3題：已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2)，過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

教參中的解法如下：

解 設(shè)點(diǎn)A,M的坐標(biāo)分別為(t,0)(x,y).

令x=0,得y=4-t，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4-t).

即x+y-2=0.①

(2)當(dāng)t=2時(shí)，可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2)，由此得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),它仍然適合方程①.

由(1)(2)可知，方程x+y-2=0是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示一條直線.

視角一：參數(shù)法

題目中有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，教參解法以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為參數(shù)，把點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)聯(lián)系起來從而得到點(diǎn)M的軌跡方程.進(jìn)而思考：點(diǎn)A,B,M的坐標(biāo)都由直線CA的位置決定，不妨把M的橫縱坐標(biāo)用CA的斜率表示，再消去參數(shù)即得點(diǎn)M的軌跡方程.

消去k得x+y-2=0.

(2)當(dāng)直線CA無斜率時(shí)，可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2)，由此得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),它仍然適合方程x+y-2=0.

(3)當(dāng)直線CA斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,2),(2,0)，由此得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),它仍然適合方程x+y-2=0.

綜上所述，方程x+y-2=0是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示一條直線.

視角二：相關(guān)點(diǎn)法

即然點(diǎn)M的坐標(biāo)與點(diǎn)A,B有關(guān)，那么點(diǎn)A,B也可用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，再由直線CA垂直于直線CB即可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

即得點(diǎn)M的軌跡方程：x+y-2=0.

視角三：幾何法

注意到∠BOA,∠BCA均為直角，所以A,C,B,O四點(diǎn)共圓，線段AB為直徑，點(diǎn)M為圓心，所以MO=MC,則可迅速判斷點(diǎn)M的軌跡.

解 (1)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，∠BOA,∠BCA均為直角，所以A,C,B,O四點(diǎn)共圓.

又線段AB為直徑，點(diǎn)M為圓心，所以MO=MC.

(2)當(dāng)有一條直線過原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為一直角三角形斜邊的中點(diǎn)，仍有MO=MC.

故點(diǎn)M的軌跡為線段OC的垂直平分線，其方程為x+y-2=0 .

我們可以看到，隨著思維的深入，視角的變化，解題方法越來越簡單.數(shù)學(xué)解題的思維具有方向性、靈活性與持續(xù)性，在求解的過程中，選擇合適的視角，持續(xù)不斷的思維，使問題在不同的角度得以解決，數(shù)學(xué)思維能力也將不斷提高.

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1008-0333(2016)29-0050-01