王娣，盧 濤

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

上鄰及弱上鄰

王娣，盧 濤

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

首先給出了弱完全交既約元、余dcpo及way-up的概念；然后結(jié)合way-up關(guān)系和新的輔助關(guān)系定義了弱上鄰的概念；最后,借助弱完全交既約元討論了上鄰及弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質(zhì).

way-up；弱完全交既約元；余dcpo；弱上鄰；插入關(guān)系

既約元是格論中的一種特殊元素，具有一些很好的性質(zhì)，在格論中占有重要的地位.Crawley等首先提出了完備格中完全并既約元的概念[1].文獻(xiàn)[2]定義了一種新的并既約元：連續(xù)并既約元，并討論了它的一些基本性質(zhì).文獻(xiàn)[3]在完全并既約元和連續(xù)并既約元的基礎(chǔ)上引入了弱完全并既約元的概念，討論了各種既約元、素元和緊元的關(guān)系.文獻(xiàn)[4]詳細(xì)地給出了way-below、輔助關(guān)系的概念及其相關(guān)性質(zhì)，其中包括way-below的插入性質(zhì).文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[2]引入了新的輔助關(guān)系:上鄰和下鄰.文獻(xiàn)[6]提出了弱下鄰的概念.受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本研究對(duì)偶地給出了弱完全交既約元、余dcpo及way-up的概念，并結(jié)合way-up關(guān)系和新的輔助關(guān)系定義了弱上鄰的概念，然后借助弱完全交既約元討論了上鄰及弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)P為偏序集，對(duì)任意a、b∈P，如果a＜b，且對(duì)任意x∈P，a＜x＜b不成立，則稱b是a的上鄰，記作b?a.

定義2[7]設(shè)L為交半格，對(duì)任意x、y、z∈L，如果z=x∧y蘊(yùn)含x=z或y=z，則稱z為L(zhǎng)的交既約元.記M（L）={z∈L|z為交既約元}.

定義3[4]設(shè)L為完備格，a∈L，如果對(duì)于任意S?L，由a=∧S可推出a∈S，則稱a為L(zhǎng)的完全交既約元.記Q（L）={a∈L|a為完全交既約元}.

定義4[7]設(shè)L是偏序集，對(duì)于a∈L與S?L，規(guī)定

當(dāng)S=↑S時(shí)，稱S為上集；當(dāng)S=↓S時(shí)，稱S為下集.

定義5[7]設(shè)L為偏序集，F(xiàn)是L的非空子集，若F是余定向的上集，則稱F為偏序集L的濾子.偏序集L的全體濾子組成的集合記作Fil（L）.

定義6 設(shè)L為余定向完備偏序集（以下簡(jiǎn)記為余dcpo)，a∈L，如果對(duì)于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，則稱a為L(zhǎng)的弱完全交既約元.記RQ（L）= {a∈L|a為弱完全交既約元}.

由定義4可知1?RQ（L），且在完備格中，完全

交既約元是弱完全交既約元.

定義7 設(shè)L為偏序集，x、y∈L，對(duì)任意余定向集M?L，當(dāng)∧M存在，且y≥∧M時(shí)，存在m∈M，使得x≥m，則稱x way-up于y，記作x?y.當(dāng)x?x時(shí)，稱x是L的余緊元.記K（L）={x∈L|x?x}為L(zhǎng)的所有余緊元.

注1 在偏序集L中，x?y一定有x≥y，反之不然，見圖1.

圖1 x≥y，而x?y不成立Fig.1 x≥y but not x?y

引理1 設(shè)L是偏序集，對(duì)任意x、y、z、w∈L，“?”為L(zhǎng)上的輔助關(guān)系，則下列結(jié)論成立

證明 （1）由于x?y，任取余定向集M?L，如果∧M存在，且y≥∧M，存在m∈M，使得x≥m，故可取y=m，則有x≥y.

（2）由于x?y，任取余定向集M?L，當(dāng)∧M存在，且y≥∧M時(shí)，存在m∈M，使得x≥m，又w≥x?y≥z，從而w≥x≥m，且由（1）可知w≥x≥y≥z，故可取y=m，當(dāng)z≥∧M時(shí)，存在m∈M，使得w≥m，從而w?z，再由（1）可得w≥z.

（3）假設(shè)命題不成立，則存在a∈L，使得x>a>y成立.又由（1）知x≥y，從而與x>a>y矛盾，故假設(shè)不成立，命題得證.

引理2 設(shè)L是交半格，對(duì)任意x、y、z∈L，若x∧y?z，則x?z且y?z，從而有：若x∧y?z，則x?z且y?z.

證明 假設(shè)當(dāng)x∧y?z時(shí)，x?z或y?z不成立，則由定義，存在a∈L，使得x>a>z或y>a>z.不妨設(shè)x>a>z成立，則x∧y≥a∧y≥z，這與x∧y?z矛盾，從而假設(shè)不成立，命題得證.

2 主要結(jié)果

定義8 設(shè)L為偏序集，a、b∈L，?為L(zhǎng)上的輔助關(guān)系，若a?b，且對(duì)任意x∈L，a?x?b不成立，則稱a為b的弱上鄰，記作a′?b.

注2′?實(shí)際上是不滿足插入性質(zhì)的輔助關(guān)系的特殊情況，規(guī)定a′?b時(shí)，有a≥b.

定理1 設(shè)L是交半格，對(duì)任意x、y、z∈L，若x′?z，y′?z，則x∧y′?z.

證明 假設(shè)x∧y不是z的弱上鄰，則存在a∈L，使得x∧y?a?z成立.于是x?a?z，y?a?z，這與x′?z，y′?z矛盾，從而x∧y′?z.

定義9 設(shè)L為完備格，對(duì)任意x∈L，若x′?x，則稱x為′?-余緊元.記K′（L）為L(zhǎng)的全體′?-余緊元組成的集合，即K′（L）={x∈L|x′?x}.

定理2 設(shè)L為格，對(duì)任意x、y∈L，若存在a∈L，使得x?a，y?a，則x‖y（x與y不可比較）.

證明 若x?a，y?a，則對(duì)任意x，有y>x>a不成立，對(duì)任意y，有x>y>a不成立，從而x‖y.

定理3 設(shè)L為交半格，對(duì)于x、y∈L，x≠y，x、y至少有一個(gè)是余緊元，若存在a∈L，使得x?a，y?a，則x‖y.

證明 由條件，不妨設(shè)y∈K′（L）.

（1）若x>y，則x>y?y≥y?a，進(jìn)而有x?y?a，即x?y?a，矛盾.

（2）若y>x，則y>y?y≥x?a，從而有y?x?a，即y?x?a，矛盾.

綜上可得x‖y.

定理4 設(shè)為L(zhǎng)格，a∈M（L），則a至多有一個(gè)上鄰.

證明 設(shè)a∈M（L），若a有2個(gè)上鄰x、y，且x≠y，則由定理2得x∧y=a，而x>a，y>a，這與a∈M（L）矛盾.所以a至多有一個(gè)上鄰.

定理5 設(shè)L為余dcpo，a∈M（L），則a至多有一個(gè)弱上鄰.

證明 設(shè)x′?a，y′?a，則x?a，y?a且x∧y= a.因?yàn)閍∈M（L），故有x=a或y=a.不妨設(shè)x=a，則y′?x′?a，于是y?x?a.由弱上鄰的定義，有y?x?a，與x′?a，y′?a，矛盾，從而a至多有一個(gè)弱上鄰.

定理6 設(shè)L為余dcpo，對(duì)任意a∈L，若a∈RQ（L），則a至少有一個(gè)弱上鄰.

證明 設(shè)a∈RQ（L），則a≠0，且B={b∈L| b?a}-{a}≠.因?yàn)長(zhǎng)為余dcpo，則B也為余dcpo，進(jìn)而∧B存在，∧B≥a.

（1）若∧B=a，對(duì)任意x∈B，及a∈RQ（L），則B不是余定向集，于是對(duì)任意b∈B，存在x、y∈B，使得x與b無關(guān)，且b?a，y與b無關(guān)，且b?a，則x、y中至少有一個(gè)是B中的極小元，即x、y中至少有一個(gè)是a的弱上鄰.

（2）若∧B>a，不妨設(shè)∧B=b>a，設(shè)x∈L，使得b?x?a，則x∈B，從而x≥∧B=b，與x>b矛盾.故b是a的弱上鄰.

綜上，a至少有一個(gè)弱上鄰.

推論 設(shè)L為余dcpo，若a∈RQ（L），則a有唯一弱上鄰.

證明 先證存在性.由定理6知，對(duì)任意a∈L，若a∈RQ（L），則a至少有一個(gè)弱上鄰.

再證唯一性.因?yàn)閍∈RQ（L），從而a∈M（L），由定理5知此時(shí)a至多有一個(gè)弱上鄰.故由存在性知a有且僅有一個(gè)弱上鄰.

定理7 設(shè)L是完備鏈，則對(duì)任意a∈L，a沒有弱上鄰.

證明 設(shè)x∈L且x′?a，則x≥a.由于L是完備鏈，故x?a，于是存在y∈L，使得x?y?a，矛盾.從而命題成立.

3 結(jié)語

本研究在引入了弱上鄰概念的基礎(chǔ)上，探討了弱上鄰在交半格、完備格及余dcpo不同背景下的性質(zhì)，并研究了上鄰與弱上鄰之間的本質(zhì)特征.但關(guān)于上鄰與弱上鄰之間的聯(lián)系及它們之間的等價(jià)刻畫還未做深入研究，這將是今后該方面研究的一個(gè)方向.

[1]CRAWLEY P，DILWORTH R P.Algebraic Theory of Lattic[M].Englewood：Prentice Hall，1973.

[2]王學(xué)平，屈小兵.連續(xù)并既約元及其在刻畫Fuzzy關(guān)系方程解集中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49（5）：1171-1180. WANG X P，QU X B.Continuous join-irreducible elements and their applications to describing the solution set of fuzzy relational equations [J].Acta Mathematica Sinica，2006，49（5）：1171-1180（in Chinese）.

[3]姜廣浩，韓貴文，蔡錦.弱完全并既約元及其應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2012，26（2）：160-164. JIANGGH，HANGW，CAIJ.Weakcompletejoin-irreducibleelements and some applications[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2012，26（2）：160-164（in Chinese）.

[4]BIRKHOFF G.Lattic Theory[M].3rd ed.New York：Amer Math Soc Colloq Public，1979.

[5]GIERZ G，KEIMEL K，SCOTT D S，et al.Continuous Lattices and Domains[M].Cambrige：Cambridge University Press，2003.

[6]馬晶晶，盧濤，杜銀玲，等.弱下鄰及其性質(zhì)[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（3）：4-5. MA J J，LU T，DU Y L，et al.Weak adjoin and its properties in different conditions[J].Journal of Huaibei Normal University：Natural Science，2013，34（3）：4-5（in Chinese）.

[7]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2000. ZHENG C Y，F(xiàn)AN L，CUI H B.Frame and Continuous Lattices[M]. Beijing：Capital Normal University Press，2000（in Chinese）.

（責(zé)任編校 馬新光）

Adjacent and weak adjacent

WANG Di，LU Tao
（School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China）

The concepts of weak complete intersection irreducible elements,co-dcpo and way-up are introduced.Then the concept of weak adjacent is given based on way-up and new auxiliary relation.Finally，the properties of adjacent and weak adjacent are discussed by using weak complete irreducible elements in semilattices，complete lattices and co-dcpo.

way-up；weak complete intersection irreducible elements；co-dcpo；weak adjacent；interpolation property

O153

A

1671-1114（2016）05-0017-03

2016-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171156）；安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目（KJ2015A064）.

王 娣（1991—），女，碩士研究生.

盧 濤（1974—），男，副教授,主要從事拓?fù)鋵W(xué)和范疇論方面的研究.