劉雙燕， 李玉龍， 鄧 瓊， 徐一航

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院結(jié)構(gòu)工程系先進(jìn)結(jié)構(gòu)和材料研究所，西安 710072)

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基于ESO法的九宮板阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方法

劉雙燕， 李玉龍， 鄧 瓊， 徐一航

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院結(jié)構(gòu)工程系先進(jìn)結(jié)構(gòu)和材料研究所，西安 710072)

利用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法(Evolution Structural Optimization，ESO), 以約束阻尼層質(zhì)量為約束條件，以最大模態(tài)損耗因子為目標(biāo)函數(shù),編制了ESO法的可執(zhí)行程序，并基于ABAQUS軟件建模，開展了九宮板約束阻尼層的拓?fù)鋬?yōu)化研究。發(fā)現(xiàn)隨著約束阻尼層的刪除率增大，結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子逐漸增至最大值后降低。而隨著刪除率的增大，結(jié)構(gòu)單位質(zhì)量阻尼性能逐漸增大，可見優(yōu)化布局可以提高九宮板結(jié)構(gòu)的抑振性能。為研究優(yōu)化布局對結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布的影響，模擬了多種振動工況下，優(yōu)化前后九宮板結(jié)構(gòu)的Mises應(yīng)力分布云圖及其最大應(yīng)力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)優(yōu)化布局后九宮板結(jié)構(gòu)Mises應(yīng)力分布影響很小，且最大Mises應(yīng)力值得到有效降低。并將該方法應(yīng)用在一般復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)了較少阻尼性能損失達(dá)到減重的目的，具有重要的工程實用性。

拓?fù)鋬?yōu)化；靈敏度分析；約束阻尼結(jié)構(gòu)

隨著現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，機械結(jié)構(gòu)的噪聲和振動問題日益嚴(yán)重，特別是由此引起的振動疲勞問題[1]對橋梁建筑，機械結(jié)構(gòu)，特別是飛行器結(jié)構(gòu)產(chǎn)生重大影響。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行阻尼處理是許多工業(yè)部門用來控制振動、噪聲的一種有效方法。傳統(tǒng)的阻尼材料減振設(shè)計中, 阻尼材料通常完全覆蓋于待控結(jié)構(gòu)表面, 設(shè)計過程就是確定使結(jié)構(gòu)損耗因子取最大值時的阻尼材料類型、層數(shù)和厚度等,即阻尼材料配置優(yōu)化設(shè)計。如BERTHELOT等[2]研究了纖維鋪層角度對阻尼性能的影響。

對于很難完全鋪設(shè)阻尼材料的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)減振設(shè)計很難通過阻尼材料的分布，以最小的阻尼材料用量，達(dá)到最大的振動能量耗散，從而獲得要求的結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性。然而，隨著結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化有了長足的進(jìn)步，對阻尼材料布局進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化得以實現(xiàn)。

漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法(Evolution Structural Optimization，ESO)，通過逐步將無效或低效的材料刪除,實現(xiàn)連續(xù)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,避免了多變量數(shù)學(xué)規(guī)劃求解。該方法是由XIE等[3]于1993年提出的,其優(yōu)點是物理概念明確,可利用計算機的分析能力進(jìn)行求解,避免了0～1整數(shù)規(guī)劃的求解困難；設(shè)計變量少，每個單元只有1個存在與否的狀態(tài)變量；可借助有限元分析軟件,在計算機上實現(xiàn)迭代過程,算法的通用性好；靈敏度值由后處理近似得到,可節(jié)省結(jié)構(gòu)重分析時間。郭中澤等[4-5]采用ESO方法,假設(shè)阻尼材料損耗因子為常數(shù),以模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)函數(shù),研究了約束阻尼板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化布局問題。

茅志穎等[6]采用該ESO方法對結(jié)構(gòu)微小損傷定位進(jìn)行研究，結(jié)果表明，該方法可在結(jié)構(gòu)整個區(qū)域?qū)ふ覔p傷點，即使微小的損傷結(jié)構(gòu)也可以有很好的搜尋效果。

李超等[7]等以阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)，基于ANSYS軟件編寫基于ESO的軟件程序，對圓柱殼體進(jìn)行阻尼布局拓?fù)鋬?yōu)化，取得了良好的結(jié)果。

柳承峰等[8]對約束層阻尼短圓柱殼進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析并進(jìn)行了實驗研究。研究表明該拓?fù)鋬?yōu)化方法正確，用于短圓柱殼約束層阻尼材料布局優(yōu)化具有較強的工程實用性。

鄭玲等[9]對振動聲輻射環(huán)境下的約束阻尼板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，研究表明:以聲功率最小化為目標(biāo)，對約束阻尼材料布局進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，能有效抑制結(jié)構(gòu)的振動聲輻射，為結(jié)構(gòu)低噪聲設(shè)計提供了重要的理論參考和技術(shù)手段。

九宮板結(jié)構(gòu)是飛機上典型結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)振動對飛機有很大影響，需要盡可能地降低其振動響應(yīng)。

同時，近年來ABAQUS軟件在振動分析方面廣泛應(yīng)用，但其相應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化模塊沒有成熟應(yīng)用?；谏鲜鲈?，本文針對工程上常用的九宮板結(jié)構(gòu)，以特定階或多階模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo),采用ESO方法, 對約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化的優(yōu)化問題進(jìn)行研究。利用C語言編制了ESO法的可執(zhí)行接口程序，通過調(diào)用ABAQUS軟件建模，實現(xiàn)四周固支九宮板約束阻尼層的拓?fù)鋬?yōu)化研究，討論了基于九宮板結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化布局在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)條件下對結(jié)構(gòu)Mises應(yīng)力的影響。并進(jìn)一步討論在隨機載荷下，拓?fù)鋬?yōu)化布局對九宮板結(jié)構(gòu)中心部位響應(yīng)的影響。

1 優(yōu)化問題的提出

對于一般的約束阻尼結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)基本方程為:

(1)

式中,M,C,K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣,{f(t)}為載荷矢量。對于給定的約束阻尼結(jié)構(gòu)，其振動能量消耗主要來自于結(jié)構(gòu)內(nèi)部阻尼,因此建立拓?fù)鋬?yōu)化模型時以九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比作為目標(biāo)函數(shù),同時滿足一定刪除率的約束條件,以約束阻尼結(jié)構(gòu)單元的拓?fù)渥兞縳i為設(shè)計變量。拓?fù)鋬?yōu)化模型為:

Maxη

findx=[x1,x2,……，xn]

其中,η為復(fù)合結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比；xi為附加阻尼結(jié)構(gòu)單元i的存在狀態(tài)，0表示該單元被刪除，1表示該單元為附加阻尼結(jié)構(gòu)單元保留；Wv，Wc分別為阻尼結(jié)構(gòu)和約束結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；W*為附加阻尼結(jié)構(gòu)的最大用量,Tv和Tc分別為阻尼結(jié)構(gòu)和約束結(jié)構(gòu)的厚度，T*為附加阻尼結(jié)構(gòu)的最大允許厚度。

2 損耗因子及其靈敏度的推導(dǎo)

由模態(tài)應(yīng)變能法[10]可知,結(jié)構(gòu)的第k階模態(tài)損耗因子的計算公式如下:

(2)

式中,ηv，ηc，ηb分別為阻尼材料、約束材料和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的損耗因子；Evk，Eck，Ebk分別為阻尼材料、約束材料和基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)應(yīng)變能；Etk為復(fù)合結(jié)構(gòu)第k階總的模態(tài)應(yīng)變能，即Etk=Evk+Eck+Ebk；

基于郭中澤等的研究[4],并考慮約束層材料的阻尼性能，復(fù)合約束阻尼結(jié)構(gòu)k階模態(tài)損耗因子對阻尼材料單元i存在狀態(tài)的靈敏度為:

(3)

如果前M階模態(tài)損耗因子最大化,則模態(tài)損耗因子靈敏度為:

(4)

當(dāng)所有靈敏度全部為負(fù)數(shù)時,在優(yōu)化過程中,逐步刪除靈敏度絕對值最小的單元,使模態(tài)損耗因子沿最緩慢的路徑下降;當(dāng)靈敏度有正有負(fù)時,在優(yōu)化過程中,刪除具有最大靈敏度(正數(shù))的單元,使得阻尼結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)損耗因子增加量最大。

由于在優(yōu)化過程中存在棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等不穩(wěn)定現(xiàn)象，采用離散型網(wǎng)格濾波進(jìn)行控制。濾波采用Sigmund濾波技術(shù)，濾波后單元i的模態(tài)阻尼比敏度變量為:

(5)

式中,xj為拓?fù)湓O(shè)計變量，Hi為單元i的權(quán)重因子。Hi的大小與該單元和當(dāng)前計算單元的中心距成反比，且Hi≥0，其計算如下：

Hi=max(0,r-dist(i,j))

(6)

式中,r為濾波半徑，dist(i,j)為單元i和當(dāng)前計算單元的中心距離。

3 優(yōu)化過程的實現(xiàn)

首先利用Python語言編制主程序調(diào)用ABAQUS軟件，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元建模分析和計算結(jié)果，然后利用C語言編制程序?qū)崿F(xiàn)靈敏度分析和濾波分析以及實現(xiàn)循環(huán)進(jìn)行。整個優(yōu)化設(shè)計過程如圖1所示。

具體的實現(xiàn)步驟為：

(1)利用ABAQUS軟件建立基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)和表面完全覆蓋阻尼材料組裝的有限元模型，并進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，并輸出各個單元的模態(tài)應(yīng)變能。

(2)利用C語言進(jìn)行計算結(jié)果處理，求出相應(yīng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)損耗因子。

(3)根據(jù)式(5)計算結(jié)構(gòu)中各阻尼單元的模態(tài)損耗因子靈敏度,并進(jìn)行獨立網(wǎng)格濾波。

(4)比較濾波后的靈敏度因子，判斷是否滿足過濾條件，若滿足過濾條件則刪除相應(yīng)單元，返回步驟(1)繼續(xù)計算，反之執(zhí)行步驟(5)。

(5)刪除準(zhǔn)則進(jìn)化，判斷是否滿足該優(yōu)化問題的約束條件，若不滿足，則返回步驟(1)繼續(xù)計算，反之結(jié)束優(yōu)化程序。

圖1 優(yōu)化總體流程圖Fig.1 Topological optimization overall flow chart

4 九宮板阻尼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化布局

以控制約束阻尼材料質(zhì)量為條件，尋找約束阻尼層在九宮板上的最優(yōu)拓?fù)浞植?，使九宮板復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)損耗因子最大。

九宮板的有限元模型如圖2所示，其平板尺寸為430 mm×480 mm×1.5 mm；初始阻尼層的尺寸為430 mm×480 mm×1mm；初始玻璃纖維板的尺寸為430 mm×480 mm×0.2mm；阻尼材料和玻璃纖維板的力學(xué)性能分別如表1～表3所示。

圖2 九宮板的有限元模型Fig.2 Finite element model of 3×3 grid stiffened panel表1 2024鋁合金的力學(xué)性能Tab.1 Mechanical property of 2024 alloy

材料密度/(kg·m-3)彈性模量/MPa泊松比AL2780700000.346

表2 3M112D力學(xué)性能Tab.2 Mechanical property of 3M112D

表3 單向玻璃纖維板力學(xué)性能Tab.3 Mechanical property of uni direction glass fiber plate

本文選取濾波半徑r=10,刪除單元數(shù)量小于50個，網(wǎng)格尺寸為5 mm, 約束層和阻尼層分別含有8 256個單元，其中阻尼層采用C3D8R，其他結(jié)構(gòu)采用S4R網(wǎng)格類型，按照前文所述的優(yōu)化步驟對九宮板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，圖3(a)～圖3(i)給出了黏彈性阻尼材料刪除率分別為10%、20%、30%、40%、50% 、60%、70%、80%和90%條件下的九宮板的約束阻尼梁結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)浞植?。從圖中可以看出隨著刪除率的增大，開始刪除位于九宮板結(jié)構(gòu)的四個角落的約束阻尼部分，當(dāng)刪除率為40%時，剩余的約束阻尼結(jié)構(gòu)呈十字花瓣型，之后隨著刪除率繼續(xù)增大，十字花瓣型約束阻尼從較短邊的花

瓣開始刪除，最后到刪除率為90%時，約束阻尼層只余下位于九宮板結(jié)構(gòu)中心位置的部分。由于復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的軸對稱性使得其拓?fù)洳季殖蕦ΨQ性。

表4給出了不同刪除率下復(fù)合九宮板的一階模態(tài)損耗因子，不考慮阻尼時結(jié)構(gòu)的頻率(f0)，考慮阻尼時的結(jié)構(gòu)頻率(f0*)，附加約束阻尼與九宮板質(zhì)量之比(△m/m(al))以及復(fù)合九宮板結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量的數(shù)值。

由表4可以看出，粘貼有約束阻尼層的九宮板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率在整個優(yōu)化過程中，變化很小，其變化幅度小于5%，說明在整個優(yōu)化過程中附加質(zhì)量對結(jié)構(gòu)剛度影響很小。

圖3 九宮板復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型Fig.3 Topological layout of the 3×3 grid stiffened panel with removal ratio表4 拓?fù)鋬?yōu)化對九宮板復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)頻率和阻尼影響Tab.4 The influence of topological layout on the frequency and loss factor of the variable section beam

刪除率ηf0頻率/Hzf*0頻率/Hz△m/m(AL)復(fù)合九宮板質(zhì)量/kg02.80%392.84392.6939%2.000.12.78%392.85392.7035%1.950.22.77%392.89392.7431%1.890.32.75%393.11392.9627%1.830.42.77%393.96393.8123%1.780.52.86%395.41395.2519%1.720.63.43%397.25397.0216%1.670.73.59%398.37398.1112%1.610.84.00%400.29399.978%1.550.93.87%401.63401.334%1.50

隨著刪除率的增大，九宮板結(jié)構(gòu)的一階頻率略微增大，原因是粘貼的附加阻尼結(jié)構(gòu)的柔性較九宮板基板材料的柔性大。

為了更直觀的研究附加阻尼結(jié)構(gòu)對復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的影響，圖4給出了不同刪除率下相應(yīng)的復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子。

由圖4可知，當(dāng)約束阻尼結(jié)構(gòu)的刪除率小于等于40%時，整個復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子略略降低，降幅小于2%，結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化的構(gòu)型，說明四個角落處的約束阻尼部分對阻尼性能的敏感度較?。划?dāng)刪除率大于等于40%之后，相應(yīng)的復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子緩慢增大，至80%時，達(dá)到最大值，當(dāng)刪除率為90%，復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子微降，說明鋪設(shè)在九宮板中間部分的附加阻尼結(jié)構(gòu)對九宮板結(jié)構(gòu)的抑振性能提高有很大貢獻(xiàn)。隨著刪除率的增大，模態(tài)損耗因子逐漸增大，是由于在刪除過程中，結(jié)構(gòu)中每個單元的靈敏度隨之變化，對阻尼的貢獻(xiàn)值不同。

圖4 不同刪除率下阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子Fig.4 The modal loss factor of the constrained damping structure attached on 3×3 grid stiffened panel by different removal ratio

而另一方面，隨著約束阻尼結(jié)構(gòu)刪除率的增大，其相應(yīng)的附加質(zhì)量減小，為了排除附加約束阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量對整個復(fù)合結(jié)構(gòu)的阻尼性能影響，本文選用單位質(zhì)量的阻尼損耗因子作為縱坐標(biāo)，刪除率作為橫坐標(biāo)，畫出了歸一化的模態(tài)損耗因子隨刪除率的變化規(guī)律圖，如圖5所示。

圖5 單位質(zhì)量模態(tài)損耗因子隨刪除率變化情況Fig.5 The normalization modal loss factor of the constrained damping structure attached on 3×3 grid stiffened panel by different removal ratio

圖5表征了單位質(zhì)量結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子隨刪除率的變化情況，可以看出隨著刪除率增大，單位質(zhì)量的模態(tài)損耗因子增大，說明隨著刪除率的變化，結(jié)構(gòu)單元靈敏度在不斷變化，表明采用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，可充分利用阻尼材料的空間拓?fù)洳季郑菇Y(jié)構(gòu)保持較高的振動能量耗散特性。

隨著刪除率的增大，約束阻尼層的質(zhì)量逐漸減少，其附加質(zhì)量與九宮板結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比重從全鋪層時的39%降至刪除率為90%時的4%，質(zhì)量比重變化較大，且鋪層處單元約束阻尼層與鋁板質(zhì)量比為65%，拓?fù)鋬?yōu)化過程中刪除局部約束阻尼層，可能引起結(jié)構(gòu)局部的應(yīng)力集中，為了研究局部單元敷設(shè)對結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中的影響，本文選取了全鋪設(shè)約束阻尼層，刪除率為50%的優(yōu)化布局，以及無鋪設(shè)的九宮板結(jié)構(gòu)三種布局情況，在四邊固支條件下，采用直接穩(wěn)態(tài)動力學(xué)分析，研究了共振頻率下優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的Mises應(yīng)力分布，模態(tài)阻尼代入前文計算的結(jié)果，載荷為隨正弦振動的單位面壓，其頻率值等于該結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。圖6(a)～圖6(c)分別給出了全鋪設(shè)，優(yōu)化鋪設(shè)，無鋪設(shè)時九宮板的Mises應(yīng)力云圖。

圖6 不同刪除率下， 在一階固有頻率時的Mises應(yīng)力分布云圖Fig.6 Mises stress distributed contour of the constrained damping structure attached on 3×3 grid stiffened panel on the first frequency by different removal ratio

圖6可以看出，一階固有頻率處，不同刪除率下九宮板的平板上的應(yīng)力分布云圖基本相同，只是應(yīng)力值大小不同。為了研究不同刪除率下，不同模態(tài)損耗因子下的應(yīng)力分布差異因素，圖7給出了九宮板結(jié)構(gòu)最大Mises應(yīng)力和相應(yīng)的模態(tài)損耗因子下隨刪除率變化趨勢圖。

圖7 九宮板結(jié)構(gòu)的最大Mises和損耗因子隨刪除率變化圖Fig.7 The maximum Mises stress value and the first modal loss factor of the constrained damping structure attached on 3×3 grid stiffened panel by different removal ratio

從圖7可以看出Mises(rr=1)>Mises(rr=0)> Mises(rr=0.5),并且η(rr=1)<η(rr=0)<η(rr=0.5),結(jié)構(gòu)的阻尼損耗因子與其最大Mises應(yīng)力成負(fù)相關(guān)，當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼損耗因子較大時相應(yīng)的Mises應(yīng)力值較低，當(dāng)刪除率為0，采用全鋪層時，九宮板的最大Mises應(yīng)力為8.91E+003 Pa,比沒有鋪設(shè)約束阻尼結(jié)構(gòu)時的值(2.02E+004 Pa)降低了56%，說明采用約束阻尼鋪層結(jié)構(gòu)可以有效得提高結(jié)構(gòu)的阻尼性能并且降低在共振條件下結(jié)構(gòu)的最大Mises應(yīng)力。

九宮板結(jié)構(gòu)采用全鋪層布局比優(yōu)化布局的最大Mises應(yīng)力要大，歸根于其阻尼值較小，說明附加約束阻尼結(jié)構(gòu)在九宮板結(jié)構(gòu)上的優(yōu)化布局對其阻尼性能和共振條件下的Mises應(yīng)力分布具有重要影響，可以在輕量化約束阻尼層的基礎(chǔ)上，提高其阻尼性能并降低其共振條件下的應(yīng)力分布，對九宮板等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抑振研究很有意義。

結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子是結(jié)構(gòu)振動性能的重要參數(shù)，其值越大，則結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)越小。而在實際工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)易受的激勵是隨機激勵，特別是對于飛機結(jié)構(gòu)而言，九宮板結(jié)構(gòu)中心隔板處振幅最大，有效的降低其中心位置的動態(tài)響應(yīng)是結(jié)構(gòu)抑制振動的關(guān)鍵。而對于飛機結(jié)構(gòu)中典型的九宮板而言，其中心位置的響應(yīng)主要由一階模態(tài)貢獻(xiàn)，因此實現(xiàn)中心點的抑振，可以簡化為其一階模態(tài)損耗因子最大化的問題。為了研究隨機振動條件下，拓?fù)鋬?yōu)化引起的阻尼性能提高對結(jié)構(gòu)響應(yīng)更為直觀的影響，本文選取了在全鋪設(shè)，刪除率為50%及無鋪設(shè)約束阻尼層時的九宮板布局為對象，比較了在基礎(chǔ)隨機激勵為l g2/Hz,316.2～417.3 Hz頻率范圍內(nèi)的白噪聲，四邊固支的九宮板結(jié)構(gòu)中心點處的垂直于九宮板面板方向的加速度值(A3)。其結(jié)果如下表5所示。

表5 拓?fù)鋬?yōu)化對九宮板復(fù)合阻尼 結(jié)構(gòu)中心點加速度響應(yīng)的影響Tab.5 The influence of topological layout on acceleration at the center of the 3×3 grid panel with constrained damping layers

在隨機振動條件下，九宮板結(jié)構(gòu)中心點的加速度響應(yīng)隨著阻尼值的增大而減小，減小而增大，當(dāng)阻尼層從優(yōu)化前的2.8%到優(yōu)化后的2.86%，其中心點垂直面板的加速度值僅僅為優(yōu)化前的30%，沒有鋪設(shè)約束阻尼層的九宮板結(jié)構(gòu)的加速值是全鋪設(shè)結(jié)構(gòu)的17倍，是優(yōu)化后的87倍，因此，盡可能提高結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比是抑制振動的最有效方法。因此在九宮板拓?fù)鋬?yōu)化中，可以用九宮板一階模態(tài)最大化來近似結(jié)構(gòu)中心點的加速度響應(yīng)最小化。

5 復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化布局

九宮板結(jié)構(gòu)是飛機的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)件，事實上，飛機的機翼內(nèi)部是多個九宮板結(jié)構(gòu)拼接而成，不同的結(jié)構(gòu)件其優(yōu)化局部結(jié)果不同，阻尼性能也不同，本文將以九宮板為基本結(jié)構(gòu)擴展成如圖8(a)所示的包含4個九宮板結(jié)構(gòu)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。材料參數(shù)，優(yōu)化流程，同上文簡單九宮板。目標(biāo)為刪除率為50%時,模態(tài)阻尼最大化，網(wǎng)格尺寸為5 mm,由九宮板拓展的復(fù)雜結(jié)構(gòu)含有59 072個單元，約束層和阻尼層分別含有33024個單元，其中阻尼層采用C3D8R，其他結(jié)構(gòu)采用S4R網(wǎng)格類型，優(yōu)化過程中的過濾半徑為50，循環(huán)一次刪除單元小于300個，最終優(yōu)化布局如圖8(b)所示。

圖8 復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型及優(yōu)化布局Fig.8 The finite model and optimal layout with removal ratio 50% of the complex structure

在優(yōu)化過程中的損耗因子隨刪除率的變化趨勢如圖9所示。

圖9 不同刪除率下復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子Fig.9 The modal loss factor of the constrained damping structure attached on 3×3 grid stiffened panel by different removal ratio

從圖9可以看出，隨著刪除率的增大，敷設(shè)約束阻尼層的模態(tài)損耗因子緩慢減小，當(dāng)刪除率為50%時，其阻尼值下降僅僅約3%，達(dá)到了降重的目的且阻尼性能犧牲很小，可以說明基于ESO的拓?fù)鋬?yōu)化方法可以實現(xiàn)在較少的附加質(zhì)量的情況下實現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抑振效果，該方法可以廣泛應(yīng)用于一般阻尼結(jié)構(gòu)的抑振優(yōu)化設(shè)計，有很強的工程實用性。

6 結(jié) 論

本文編制了可執(zhí)行軟件，基于ABAQUS軟件，實現(xiàn)九宮板阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。相應(yīng)的研究結(jié)果如下：

(1)當(dāng)約束阻尼結(jié)構(gòu)的刪除率小于等于40%時，整個復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子基本沒有變化；當(dāng)刪除率大于40%時，相應(yīng)的復(fù)合阻尼九宮板結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子逐漸增大，至80%時，達(dá)到最大值，當(dāng)刪除率為90%時，復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子微降，特別地，隨著刪除率的增大，結(jié)構(gòu)的單位質(zhì)量阻尼性能隨之增大，說明鋪設(shè)在九宮板中間部分的附加阻尼結(jié)構(gòu)對九宮板結(jié)構(gòu)的抑振性能提升有很大貢獻(xiàn)。

(2)研究優(yōu)化布局對結(jié)構(gòu)共振條件下應(yīng)力分布情況的影響，比較了刪除率為0%，50%，100%(即全鋪約束阻尼結(jié)構(gòu)，刪除率為50%時的布局，及沒有鋪設(shè)約束阻尼結(jié)構(gòu))下的九宮板結(jié)構(gòu)的Mises應(yīng)力分布情況及其最大Mises應(yīng)力值，結(jié)果表明優(yōu)化布局后九宮板結(jié)構(gòu)Mises應(yīng)力分布影響很小，不會導(dǎo)致局部應(yīng)力集中，但是最大Mises應(yīng)力值得到有效的降低。并在優(yōu)化基礎(chǔ)上討論了在隨機激勵條件下，優(yōu)化后的布局可以明顯降低九宮板結(jié)構(gòu)中心點的加速度相應(yīng)。

(3)該方法應(yīng)用在復(fù)雜結(jié)構(gòu)上，隨著刪除率增大，隨著刪除率的增大，敷設(shè)約束阻尼層的模態(tài)損耗因子緩慢減小，當(dāng)刪除率為50%時，其阻尼值下降僅僅約3%，

達(dá)到了降重的目的且阻尼性能犧牲很小，可以說明基于ESO的拓?fù)鋬?yōu)化方法可以實現(xiàn)在較少的附加質(zhì)量的情況下達(dá)到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的抑振效果，該方法可以廣泛應(yīng)用于一般阻尼結(jié)構(gòu)的抑振優(yōu)化設(shè)計，有很強的工程實用性。

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Topological optimization design of 3×3 grid stiffened panel with additional damping layers based on evolutionary structural optimization

LIU Shuangyan, LI Yulong, DENG Qiong, XU Yihang

(Fundamental Science on Aircraft Structural Mechanics and Strength Laboratory,Northwestern Poly-technical University, Xi’an 710072, China)

The topological optimization design of a 3×3 grid stiffened panel was conducted using the Evolutionary Structural Optimization (ESO) method with the amount of constrained damping layers as a constraint condition, and the maximization of modal loss factor as a target function. The optimization was completed by using a self-coded C program based on ESO method, and by applying the ABAQUS software to model the structure. The results show that along with the increase of the removal ratio of constrianed damping layers, the modal damping loss factor of the compound 3×3 grid stiffened panel remains unchanged at first, then increases to its maximum value and thereafter gradually decreases. Moreover, normalized first modal loss factor of the 3×3 grid stiffened panel with specialized additional damping layers becomes bigger and bigger, which shows that the additional damping layers in the middle portion of the panel contribute much to the suppressing of structural vibration. The Mises stress distribution contours and the maximum Mises stresses of the structures with 0%,50%,100% volume amount of constrained damping layers were compared in order to study the optimal layout of the 3×3 grid stiffened panel in resonance conditions. The results show that the optimal layout, with 50% volume amount of constrained damping layer, has little effect on the Mises stress distribution but the maximum Mises stress decreases obviously. The method has been also used in the optimization design of general complex structures to reach the aim of mass reduction with a little sacrifice in damping effect, which can be widely used in optimization design of general damping structures. The method is of great practicability.

topological optimization; sensitivity analysis; constraint damping structure

陜西省科技研究發(fā)展攻關(guān)計劃(2009K01-39)；陜西省科技研究發(fā)展攻關(guān)計劃(2012GY2-26)

2015-06-08 修改稿收到日期：2015-10-21

劉雙燕 女，博士生，1984年生

李玉龍 男，教授，博士生導(dǎo)師，1961年6月生 E-mail:liyulong@nwpu.edu.cn

O327；O342

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.029