鄭坤明, 張秋菊

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122)

?

基于軌跡晶格與綜合動(dòng)力靈巧度的Delta機(jī)器人軌跡規(guī)劃

鄭坤明1,2, 張秋菊1,2

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122)

針對(duì)高速、柔性化Delta機(jī)器人軌跡規(guī)劃中的精度與振動(dòng)穩(wěn)定性問題，提出一種基于軌跡晶格與綜合動(dòng)力靈巧度的軌跡規(guī)劃方法。首先，根據(jù)前期的研究工作，建立了含關(guān)節(jié)間隙的Delta機(jī)器人系統(tǒng)完整彈性動(dòng)力學(xué)模型；其次，定義了Delta機(jī)器人綜合動(dòng)力靈巧度，并基于此，提出了操作空間中微小晶格與軌跡晶格的概念；然后，以綜合動(dòng)力靈巧度為依據(jù)，考慮各種約束條件，在軌跡晶格中進(jìn)行基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃；最后，利用激光跟蹤儀與動(dòng)態(tài)信號(hào)采集設(shè)備，對(duì)提出的軌跡規(guī)劃策略進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。結(jié)果表明：所提出的軌跡規(guī)劃策略能夠精確、穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的抓取與放置動(dòng)作。

Delta機(jī)器人；軌跡晶格；綜合動(dòng)力靈巧度；完整彈性動(dòng)力學(xué)模型；軌跡規(guī)劃

作為廣泛應(yīng)用于食品包裝、制造加工、航空航天等領(lǐng)域的并聯(lián)機(jī)器人[1-6]，一經(jīng)問世就得到了國(guó)內(nèi)外研究者的極大關(guān)注，并聯(lián)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是保障其精確穩(wěn)定運(yùn)行的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，不同于串聯(lián)機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度快，桿件相對(duì)輕質(zhì)化，制定軌跡規(guī)劃策略時(shí)需要考慮的因素相當(dāng)多。劉涼等[7]對(duì)一種考慮關(guān)節(jié)摩擦的并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了基于時(shí)間最優(yōu)控制的平滑軌跡規(guī)劃，NATHANIEL等[8]對(duì)一種繩牽并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的軌跡規(guī)劃，CHEN等[9]基于多目標(biāo)進(jìn)化算法對(duì)一種并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了軌跡規(guī)劃，ERIC等[10]規(guī)劃了一種柔性并聯(lián)機(jī)器人基于時(shí)間最優(yōu)的軌跡策略。RIDHA等[11]對(duì)一種直線型Delta機(jī)器人進(jìn)行了多目標(biāo)軌跡規(guī)劃。經(jīng)查閱，有關(guān)并聯(lián)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃主要集中在時(shí)間最優(yōu)，消耗能量最少等方面，對(duì)于綜合考慮末端執(zhí)行器位置精度與系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行軌跡規(guī)劃的研究還相當(dāng)匱乏[12]，但是隨著生產(chǎn)水平的提高，對(duì)于高速輕質(zhì)化拾取類并聯(lián)機(jī)器人的位置精度與振動(dòng)穩(wěn)定性提出了更高的要求[13-17]，所以在對(duì)該類機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，有必要綜合考慮末端執(zhí)行器位置精度與系統(tǒng)的綜合動(dòng)力學(xué)性能[18-26]。

基于以上認(rèn)識(shí)，以Delta機(jī)器人為研究對(duì)象，提出一種基于軌跡晶格與綜合動(dòng)力靈巧度的軌跡規(guī)劃方法。利用系統(tǒng)含關(guān)節(jié)間隙完整彈性動(dòng)力學(xué)模型，以綜合動(dòng)力靈巧度為主要依據(jù)，綜合考慮彈性動(dòng)力學(xué)約束條件，運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件與固有頻率約束條件，在尋求的軌跡晶格中進(jìn)行了基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃，并進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 Delta機(jī)器人系統(tǒng)

圖1為Delta機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖：由靜、動(dòng)平臺(tái)A1A2A3、C1C2C3，主、從動(dòng)臂AiBi、BiCi(i=1,2,3)組成。建立坐標(biāo)系O-XYZ、p-xyz，設(shè)p點(diǎn)相對(duì)O-XYZ的坐標(biāo)為(x,y,z)，θi為OAi、pCi與X軸的夾角，αi為AiBi輸入角。

圖1 Delta機(jī)器人的結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic configuration of Delta robot

2 Delta機(jī)器人系統(tǒng)完整彈性動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[27],得到含關(guān)節(jié)間隙的Delta機(jī)器人系統(tǒng)完整彈性動(dòng)力學(xué)模型[28-34]：

(1)

3 基于綜合動(dòng)力靈巧度與軌跡晶格的軌跡規(guī)劃

由于Delta機(jī)器人經(jīng)常運(yùn)用在食品包裝生產(chǎn)線上，做高速往復(fù)拾取動(dòng)作，如何在其工作空間規(guī)劃出運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能較好的軌跡空間，制定合適的軌跡運(yùn)行策略，確保末端執(zhí)行器快速、穩(wěn)定、精確地工作是值得研究與探討的問題。本部分結(jié)合Delta完整彈性動(dòng)力學(xué)模型與靈巧度，定義可以同時(shí)表征運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能的綜合動(dòng)力靈巧度，在此基礎(chǔ)上，在Delta機(jī)器人工作空間中劃分軌跡晶格，制定軌跡規(guī)劃策略與約束條件。

3.1 綜合動(dòng)力靈巧度

(2)

整理為:

(3)

則相對(duì)偏差為:

(4)

為分析方便，這里利用Frobenius范數(shù)定義Ck為:

(5)

一般地，Ck可表征為誤差指標(biāo)，將其定義為Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)靈巧度。

以上定義的靈巧度僅在運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)域有意義，但是作為高速、輕質(zhì)化的Delta機(jī)器人而言，系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)性能對(duì)其工作的精確度與穩(wěn)定性有著不可忽視的影響，所以應(yīng)當(dāng)給出兼顧運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性能的綜合動(dòng)力靈巧度作為軌跡規(guī)劃的依據(jù)條件。

基于Delta機(jī)器人完整彈性動(dòng)力學(xué)模型，定義動(dòng)力學(xué)靈巧度：

(6)

動(dòng)力靈巧度Cd可表征Delta機(jī)器人在高速運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，其中Jp是由Jc擴(kuò)充為與Mc維數(shù)相同的偽雅克比矩陣。

全面考慮運(yùn)動(dòng)靈巧度與動(dòng)力靈巧度，基于權(quán)重系數(shù)變換法，分別給予Ck、Cd賦予權(quán)重ωk、ωd，則這兩種靈巧度的線性加權(quán)和可表示為C=ωkCk+ωdCd，這里以C作為Delta機(jī)器人綜合動(dòng)力靈巧度。

3.2 軌跡晶格中基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃

由于Delta機(jī)器人的實(shí)際工作空間是一個(gè)形狀不規(guī)則的空間三維體，為了便于軌跡規(guī)劃，在實(shí)際工作空間中尋求綜合動(dòng)力靈巧度性能較好的立方體空間，再將其分解為若干個(gè)微小立方體，稱之為微小晶格，這些微小晶格組成的綜合靈巧度性能較好的立方體空間稱之為軌跡晶格，如圖2所示，為便于分析，這里的軌跡晶格是一個(gè)簡(jiǎn)單示意圖，為滿足精度要求，實(shí)際的微小晶格劃分?jǐn)?shù)遠(yuǎn)大于此。

圖2 軌跡晶格Fig.2 Trajectory lattice

微小晶格中按照精度要求，分散著動(dòng)平臺(tái)的軌跡點(diǎn)，微小晶格劃分的體積越小，包含的軌跡點(diǎn)越少，軌跡規(guī)劃效率越高，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，對(duì)比當(dāng)前晶格之前的兩個(gè)晶格的軌跡誤差，調(diào)整當(dāng)前晶格中的軌跡點(diǎn)，這樣可以在線實(shí)時(shí)控制動(dòng)平臺(tái)的位置精度，使之以盡量小的路徑軌跡誤差運(yùn)行。將這些微小晶格按照路徑軌跡的運(yùn)行方向連接，形成動(dòng)平臺(tái)運(yùn)行的最終路徑。

另外，Delta機(jī)器人如需順利地完成被操作對(duì)象的抓取放置動(dòng)作，一方面需要控制動(dòng)平臺(tái)到達(dá)抓取點(diǎn)和放置點(diǎn)的位置，另一方面需要控制物品搬運(yùn)時(shí)的高度，以避開運(yùn)動(dòng)路徑上的障礙物。

圖2中，P0為運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)，P5為運(yùn)動(dòng)終止點(diǎn)。T1時(shí)段，動(dòng)平臺(tái)由P0點(diǎn)沿鉛垂直線路徑運(yùn)動(dòng)到P1點(diǎn)，位

移為S1；T2時(shí)段，動(dòng)平臺(tái)由P1點(diǎn)沿圓弧狀路徑運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn)，位移為S2；T3時(shí)段，動(dòng)平臺(tái)由P2點(diǎn)沿水平直線路徑運(yùn)動(dòng)到P3點(diǎn)，位移為S3。T4時(shí)段，動(dòng)平臺(tái)由P3點(diǎn)沿圓弧狀路徑運(yùn)動(dòng)到P4點(diǎn)，位移為S4；T5時(shí)段，動(dòng)平臺(tái)由P4點(diǎn)沿鉛垂直線路徑運(yùn)動(dòng)到P5點(diǎn)，位移為S5。

對(duì)高速、輕質(zhì)化Delta機(jī)器人而言，對(duì)其進(jìn)行軌跡規(guī)劃，需遵循這樣的原則：運(yùn)行過程平穩(wěn)，也就是說運(yùn)動(dòng)過程中要求位移、速度、加速度無突變。修正梯形模式的位移函數(shù)對(duì)時(shí)間三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在相同的的位移與加速度條件下，比多項(xiàng)式、正弦運(yùn)動(dòng)模式用時(shí)更短，選擇修正梯形模式作為軌跡規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。令修正梯形模式加速度函數(shù)為:

(7)

式中:amax為Delta機(jī)器人運(yùn)動(dòng)最大加速度，Tk是運(yùn)動(dòng)周期。k=1,2,3,4,5。

對(duì)式(7)兩次積分，由當(dāng)t=0時(shí)，s=0，及位移函數(shù)的連續(xù)性，計(jì)算得到位移函數(shù)為:

(8)

(9)

動(dòng)平臺(tái)沿軌跡段P0P1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5運(yùn)行時(shí)均采用修正梯形軌跡模式。

3.3 軌跡規(guī)劃中的約束條件

因?yàn)镈elta機(jī)器人屬于高速輕質(zhì)化機(jī)器人，在以綜合動(dòng)力靈巧度為軌跡規(guī)劃的主要依據(jù)的條件下，還應(yīng)考慮其他可能影響其工作性能的約束條件。

3.3.1 彈性動(dòng)力學(xué)約束條件

由式(1)可以看出，Delta機(jī)器人系統(tǒng)完整彈性動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)多變量具有強(qiáng)耦合特性的方程組，為方便約束條件的計(jì)算，引入路徑參數(shù)w，將多變量約束問題轉(zhuǎn)換成二變量約束問題。這里，函數(shù)w是隨時(shí)間變化的，且w∈[0,1]，設(shè)其運(yùn)動(dòng)終止時(shí)刻時(shí)間為Tw，則w(0)=0、w(Tw)=1。將彈性位移用w(t)表示為Uc(w(t))，所以，相應(yīng)的彈性速度與彈性加速度分別為:

(10)

(11)

將式(10)、式(11)分別代入式(1)得：

(12)

式中:Mcw(w)=Mc·U′c(w)；

Ccw(w)=Mc·U″c(w)+U′c(w)T·Cc·U′c(w)；

彈性動(dòng)力學(xué)方程必須滿足所受廣義力的約束條件：

3.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件

運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件是機(jī)器人桿件和驅(qū)動(dòng)構(gòu)件所能承受的最大廣義速度、最大廣義加速度與最大廣義Jerk速度。經(jīng)分析，Delta機(jī)器人的約束條件可表示為:

3.3.3 固有頻率約束條件

由于運(yùn)動(dòng)中的柔性機(jī)器人的固有頻率不僅與機(jī)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，還與其運(yùn)動(dòng)參數(shù)有著密不可分的關(guān)系。由此在機(jī)械結(jié)構(gòu)不變的情況下可通過優(yōu)化運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力參數(shù)來提高系統(tǒng)的固有頻率。這里，由式(1)可以得到Delta機(jī)器人系統(tǒng)的特征方程：

(13)

fmin≤f1≤fmax

3.4 Delta機(jī)器人軌跡規(guī)劃綜合描述

綜上，在彈性動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)與固有頻率約束性能條件下，Delta機(jī)器人軌跡規(guī)劃的問題可描述為利用修正梯形運(yùn)動(dòng)規(guī)律尋求系統(tǒng)綜合動(dòng)力靈巧度最小的立方體軌跡晶格工作空間，即：

其中,V為得到軌跡晶格工作空間。并且約束條件為：

4 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

主、從動(dòng)臂是鋁合金材料，密度ρ=2 700 kg/m3，拉壓、剪切彈性模量分別為E=7.0×1010N/m2、G=2.65×1010N/m2；主、從動(dòng)臂桿長(zhǎng)是la=0.2 m、lb=0.5 m，靜、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為R=0.15 m，r=0.085 m，主動(dòng)臂寬、高為b=h=0.025 m，從動(dòng)臂外、內(nèi)徑是D=0.016 m、d=0.014 m；動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量mp=1.087 kg；運(yùn)動(dòng)靈巧度與動(dòng)力靈巧度權(quán)重ωk=ωd=0.5。表1給出關(guān)節(jié)最大間隙。

表1 Delta機(jī)器人的最大關(guān)節(jié)間隙Tab.1 The maximum joint clearance of Delta robot

由已知參數(shù)，加工裝配出Delta機(jī)器人物理樣機(jī)，并利用FARO激光跟蹤儀作為測(cè)量動(dòng)平臺(tái)位置坐標(biāo)點(diǎn)的測(cè)量設(shè)備，如圖3所示，這里設(shè)定amax=100 m/s2，S1=S5=50 mm，S3=200 mm，S2與S4段為半徑是25 mm的1/4圓弧。T1=T5=0.049 s,T2=T4=0.035 s,T3=0.14 s，其中給定P0、P1、P2、P3、P4、P5點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別為：[0 -125 -450]，[0 -125 -400]，[0 -100 -375]，[0 100 -375]，[0 125-400]，[0 125 -450]，其中位置坐標(biāo)單位為mm，參考坐標(biāo)系是前文所建的全局坐標(biāo)系O-XYZ。

圖3 FARO激光跟蹤儀測(cè)量物理樣機(jī)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 FARO laser tracker measuring moving platform trajectory of the physical prototype

圖3中，標(biāo)號(hào)1為FARO激光跟蹤儀；標(biāo)號(hào)2為Delta機(jī)器人物理樣機(jī)的動(dòng)平臺(tái)；標(biāo)號(hào)3為激光跟蹤儀的靶球與靶球接受到的激光束；標(biāo)號(hào)4、5、6分別為從動(dòng)臂、主動(dòng)臂與靜平臺(tái)。為了減小隨機(jī)誤差，動(dòng)平臺(tái)按照運(yùn)行策略運(yùn)行10次，取各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的平均值，測(cè)得動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在P0、P1、P2、P3、P4、P5點(diǎn)的平均位置誤差分別為：ε0=0.057 mm，ε1=0.078 mm，ε2=0.083 mm，ε3=0.104 mm，ε4=0.071 mm，ε5=0.063 mm。

以上數(shù)據(jù)可以看出，抓取點(diǎn)P0與放置點(diǎn)P5的位置誤差比軌跡中間點(diǎn)P1、P2、P3、P4的位置誤差小，由于主要關(guān)心的是Delta機(jī)器人抓取與放置點(diǎn)的位置精度，對(duì)軌跡中間點(diǎn)的位置精度要求不是很嚴(yán)格，主要使其能避開運(yùn)動(dòng)路徑上的障礙物即可，運(yùn)用上述軌跡規(guī)劃策略較好地滿足了Delta機(jī)器人抓取、放置點(diǎn)的位置精度要求。

由于Delta機(jī)器人做高速、往復(fù)運(yùn)動(dòng)，桿件的柔性化與關(guān)節(jié)間隙的碰撞作用對(duì)其系統(tǒng)的振動(dòng)特性有著不可忽視的影響，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需對(duì)其運(yùn)行過程中的低階固有頻率進(jìn)行辨識(shí)，分析上述軌跡規(guī)劃策略對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的抑制能力。這里利用PCB脈沖力錘、加速度傳感器與LMS動(dòng)態(tài)信號(hào)采集儀作為測(cè)量設(shè)備，為了便于黏接與測(cè)量，PCB加速度傳感器分布在主動(dòng)臂與從動(dòng)臂的連接接頭與動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)處，共七個(gè)測(cè)量點(diǎn)。

這里首先采用脈沖錘擊法測(cè)量，當(dāng)Delta機(jī)器人處于某一固定位置(動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)為[0 0 -400]時(shí)系統(tǒng)的前兩階固有頻率，以便與運(yùn)行過程中系統(tǒng)的基頻對(duì)比分析。隨后，在從動(dòng)臂與動(dòng)平臺(tái)連接接頭上用脈沖力錘敲擊，共六個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，一般地，需保證能夠在較大的頻率范圍內(nèi)激勵(lì)出各階模態(tài)，收集到七個(gè)測(cè)量點(diǎn)的加速度信號(hào)，為減少干擾、噪音，在每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)敲擊五次，并計(jì)算平均值，由采集到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到七組頻響數(shù)據(jù)，并可由此繪制出頻響幅值疊加圖，確定系統(tǒng)兩階固有頻率的大致范圍，即頻響幅值疊加圖的峰值對(duì)應(yīng)的頻率值就是系統(tǒng)的固有頻率。

此外，為分析Delta機(jī)器人前兩階固有頻率的模態(tài)振型，將Delta機(jī)器人三維模型導(dǎo)入Workbench中，合理地劃分網(wǎng)格，添加約束條件，對(duì)其進(jìn)行模態(tài)仿真，由仿真結(jié)果可以看出，從動(dòng)臂的柔性變形構(gòu)成了前兩階非零模態(tài)振型的主要部分，主要原因是：從動(dòng)臂是長(zhǎng)徑比大的細(xì)長(zhǎng)桿，柔性大，系統(tǒng)工作時(shí)振動(dòng)變形明顯。由此可知，著重改善從動(dòng)臂的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)減小Delta機(jī)器人系統(tǒng)的振動(dòng)變形，提高運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性大有裨益。

隨后，得到Delta機(jī)器人按照制定的軌跡規(guī)劃策略運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)基頻隨時(shí)間的變化曲線如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)基頻隨時(shí)間的變化曲線Fig.4 Curve of fundamental frequency that change over time

由圖4可知，系統(tǒng)基頻隨著機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變明顯地分為五部分，并且抓取段P0P1與放置段P4P5的基頻值相對(duì)其他軌跡段較大，說明按照之前的軌跡規(guī)劃策略，Delta機(jī)器人能夠在抓取與放置階段有更好的振動(dòng)穩(wěn)定性，另外發(fā)現(xiàn)放置段P4P5的系統(tǒng)基頻明顯小于抓取段P0P1的基頻，這主要是因?yàn)樵谧ト《?，系統(tǒng)剛開始運(yùn)行，由桿件彈性與關(guān)節(jié)間隙碰撞導(dǎo)致的系統(tǒng)振動(dòng)還不明顯，當(dāng)運(yùn)行到放置段，桿件彈性與關(guān)節(jié)間隙碰撞產(chǎn)生較大的殘余振動(dòng)，從而引起系統(tǒng)基頻的下降。另外，中間路徑段基頻較小，原因是當(dāng)三個(gè)主動(dòng)臂處于水平位置時(shí)，即動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)坐標(biāo)為[0 0 -400]，Delta機(jī)器人處于動(dòng)力奇異位形，此處的系統(tǒng)基頻將急劇下降為零，為避免該情況發(fā)生，在軌跡晶格中，使動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)偏離該處若干個(gè)微小晶格，但是，即便如此中間路徑段還是在奇異位形附近，導(dǎo)致系統(tǒng)的基頻小于其他軌跡段。另外發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)行過程中，系統(tǒng)基頻總是低于系統(tǒng)靜止時(shí)的基頻，這說明了高速運(yùn)行的柔性機(jī)器人，會(huì)對(duì)系統(tǒng)固有頻率產(chǎn)生相當(dāng)大的影響。

經(jīng)以上實(shí)驗(yàn)與仿真分析可以看出，利用前述的軌跡規(guī)劃策略可使Delta機(jī)器人在拾取段與抓取段都非常接近系統(tǒng)靜止時(shí)的基頻，因而可保證其穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)抓取與放置動(dòng)作。

5 結(jié) 論

本文以高速輕質(zhì)化Delta機(jī)器人為研究對(duì)象，針對(duì)高速運(yùn)行工況下，末端執(zhí)行器的位置精度與系統(tǒng)的振動(dòng)特性等問題，利用系統(tǒng)完整彈性動(dòng)力學(xué)模型。討論了基于軌跡晶格與綜合動(dòng)力靈巧度的軌跡規(guī)劃策略，并通過實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了該軌跡規(guī)劃策略的有效性和正確性，得出以下結(jié)論：

(1)基于Delta機(jī)器人完整動(dòng)力學(xué)模型，得到的動(dòng)力靈巧度與靈巧度相結(jié)合可得出反應(yīng)整機(jī)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)特性的綜合動(dòng)力靈巧度，將它作為軌跡規(guī)劃的主要依據(jù)，并結(jié)合彈性動(dòng)力學(xué)約束條件、動(dòng)力學(xué)約束條件、系統(tǒng)固有頻率約束條件，在整體工作空間選取的軌跡晶格中進(jìn)行基于修正梯形模式的軌跡規(guī)劃，可保證末端執(zhí)行器精確穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)抓取放置動(dòng)作。

(2)柔性并聯(lián)機(jī)器人的固有頻率不僅與自身的固有結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與運(yùn)行過程中的動(dòng)力參數(shù)有著密切的聯(lián)系，并且由于其具有對(duì)稱的物理結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致系統(tǒng)的某幾階固有頻率相當(dāng)接近。

雖然本文提出的軌跡規(guī)劃策略能夠很好地實(shí)現(xiàn)Delta機(jī)器人的工作性能，但是仍存在不足之處，此規(guī)劃策略計(jì)算量大，因而編寫的控制程序相對(duì)復(fù)雜，由于硬件條件的限制，在實(shí)驗(yàn)控制過程中偶爾會(huì)出現(xiàn)死機(jī)的情況，如何在保證軌跡規(guī)劃策略順利運(yùn)行的前提下提高算法的穩(wěn)健性與運(yùn)算效率是今后進(jìn)一步研究的重點(diǎn)。另外，利用所建立的動(dòng)力綜合靈巧度與各種約束條件對(duì)整機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行尺度綜合亦是關(guān)注的重點(diǎn)。

[1] TAN D P, JI S M, JIN M S. Intelligent computer-aided instruction modeling and a method to optimize study strategies for parallel robot instruction, IEEE Trans[J]. Educ, 2013,56(3): 268-273.

[2] KUNT E D, NASKALI A T, SABANOVIC A. Miniaturized modular manipulator design for high precision assembly and manipulation tasks[C]// The 12th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control. Sarajevo:AMC,2012.

[3] YU D. Parallel robots pose accuracy compensation using back propagation network[J].International Journal of Physical Sciences,2011,6(21): 5005-5011.

[4] STAN S D, MANIC M, SZEP C, et al. Performance analysis of 3 DOF Delta parallel robot[C]// 2011 4th International Conference on Human System Interactions.Yokohama: HSI,2011:215-220.

[5] CHU M, CHEN G, HUANG F J, et al. Active disturbance rejection control for trajectory tracking of manipulator joint with flexibility and friction[J]. Applied Mechanics & Materials, 2013,325/326:1229-1232.

[6] ZHANG Jianzhong, XIE Xingpeng, LI Chuanjin, et al. FEM based numerical simulation of Delta parallel mechanism[J]. Advanced Materials Research, 2013, 690: 2978-2981.

[7] 劉涼，陳超英，趙新華. 考慮關(guān)節(jié)摩擦的并聯(lián)機(jī)器人平滑軌跡規(guī)劃[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014,50(19)：10-17. LIU Liang, CHEN Chaoying, ZHAO Xinhua. Smooth trajectory planning for parallel manipulator with joint friction torque[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014,50(19)：10-17.

[8] ZOSO N, GOSSELIN C. Point-to-point motion planning of a parallel 3-DOF underactuated cable-suspended robot[C]// 2012 IEEE International Conference on Robotics and Automation River Centre. Saint Paul: ICRA, 2012:14-18.

[9] CHEN C T, PHAM H V. Trajectory planning in parallel kinematic manipulators using a constrained multi-objective evolutionary algorithm[J]. Nonlinear Dyn,2012, 67(2):1669-1681.

[10] BARNETT E, GOSSELIN C. Time-optimal trajectory planning of cable-driven parallel mechanisms for fully specified paths with G1discontinuities[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 2015,137(7):071007.

[11] KELAIAIA R, COMPANY O, ZAATRI A. Multiobjective optimization of a linear Delta parallel robot[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 50(2): 159-178.

[12] ZHANG Q, MILLS J K, WILLIAM L, et al. Trajectory tracking and vibration suppression of a 3-PRR parallel manipulator with flexible links[J]. Multibody Syst Dyn, 2015, 33(1):27-60.

[13] CHEN Genliang, WANG Hao, LIN Zhongqin. A unified approach to the accuracy analysis of planar parallel manipulators both with input uncertainties and joint clearance[J]. Mechanism and Machine Theory, 2013, 64(6): 1-17.

[14] FRISOLI A, SOLAZZI M, PELLEGRINETTI D. A new screw theory method for the estimation of position accuracy in spatial parallel manipulators with revolute joint clearances[J]. Mechanism and Machine Theory, 2011,46(12): 1929-1949.

[15] ANDRIOAIA D, STAN G, FUNARU M. The influence of kinematic joints clearances on the positioning accuracy of 3-DOF Delta parallel robots[J]. Applied Mechanics and Materials, 2013,371(1): 406-410.

[16] XU Dong, JIN Song, JIN Ye. Kinetic uncertainty analysis of the reheat-stop-valve mechanism with multiple factors[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45(11): 1745-1765.

[17] MUVENGEI O, KIHIU J, IKUA B. Numerical study of parametric effects on the dynamic response of planar multi-body systems with differently located frictionless revolute clearance joints[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 53(7): 30-49.

[18] PEDRAMMEHR S, MAHBOUBKHAH M, KHANI N. A study on vibration of Stewart platform-based machine tool table[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013, 65(5/6/7/8):991-1007.

[19] AFZALI-FAR B, LIDSTROM P, NILSSON K. Parametric damped vibrations of Gough-Stewart platforms for symmetric configurations[J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 80(4):52-69.

[20] WU Jun, WANG Liping, GUAN Liwen. A study on the effect of structure parameters on the dynamic characteristics of a PRRRP parallel manipulator[J]. Nonlinear Dyn, 2013, 74(1/2):227-235.

[21] VOSE T H, TURPIN M H, DAMES P M, et al. Modeling, design and control of 6-DOF flexure-based parallel mechanisms for vibratory manipulation[J]. Mechanism and Machine Theory, 2013, 64(6): 111-130.

[22] LI Bing, ZHAO Wei, DENG Zongquan. Modeling and analysis of a multi-dimensional vibration isolator based on the parallel mechanism[J]. Journal of Manufacturing Systems, 2012, 31(1): 50-58.

[23] ZHU Chunxia, LUO Jiman, WANG Dan, et al. Research on modal parameters identification of parallel manipulator with flexible multi-body system[J]. Research Journal of Applied Sciences Engineering and Technology, 2013, 5(10): 2974-2979.

[24] GUO Z, TIAN Y, LIU C, et al. Design and control methodology of a 3-DOF flexure-based mechanism for micro/nano-positioning[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2015,32: 93-105.

[25] ZHANG Quan, JIN Jiamei, ZHANG Jianhui, et al. Active vibration suppression of a 3-DOF flexible parallel manipulator using efficient modal control[J]. Shock and Vibration,2014:953694.

[26] DU Jingli, DUAN Xuechao, QIU Yuanying. Dynamic analysis and vibration attenuation of cable-driven parallel manipulators for large workspace applications[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2013(4):1-6.

[27] 鄭坤明，張秋菊. 含關(guān)節(jié)間隙的Delta機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)研究與振動(dòng)特性分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào), 2015, 31(14): 39-48. ZHENG Kunming, ZHANG Qiuju. Study of elastic dynamics of Delta robot with joint clearance and the analysis of vibration characteristics[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering, 2015, 31(14): 39-48.

[28] CHAKER A, MLIKA A, LARIBI M A, et al. Clearance and manufacturing errors’ effects on the accuracy of the 3-RCC spherical parallel manipulator[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2013, 37: 86-95.

[29] 王庚祥，劉宏昭. 考慮球面副間隙的4-SPS/CU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2015,51(1):43-50. WANG Gengxiang, LIU Hongzhao. Dynamics analysis of 4-SPS/CU parallel mechanism with spherical joint clearance[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015,51(1): 43-50.

[30] XU Lixin, LI Yonggang. Investigation of joint clearance effects on the dynamic performance of a planar 2-DOF pick-and-place parallel manipulator[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2014, 30: 62-73.

[31] 宋月娥,吳林,戴明. 機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙誤差分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2003,39(4):11-14. SONG Yue’e, WU Lin, DAI Ming. Error analysis of robot joint clearance[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2003, 39(4): 11-14.

[32] 王庚祥，劉宏昭. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中關(guān)節(jié)效應(yīng)模型的研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，47(1)：32-28. WANG Gengxiang, LIU Hongzhao. Esearch progress of joint effects model in multibody systemdynamics[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015, 47(1): 32-28.

[33] FLORES P，MACHADO M，SILVA M T，et al. On the continuous contact force models for soft materials in multibody dynamics[J]. Multibody System Dynamics，2011，25(3)：357-375.

[34] 劉善增. 三自由度空間柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究[D].北京：北京工業(yè)大學(xué)，2009.

Delta robot’s trajectory planning based on trajectory lattice and comprehensive dynamics dexterity

ZHENG Kunming1,2, ZHANG Qiuju1,2

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment & Technology, Wuxi 214122, China)

Aiming at the accuracy and vibration stability of a high speed flexible Delta robot in its trajectory planning, a trajectory planning method based on the trajectory lattice and comprehensive dynamics dexterity was proposed. According to the previous research results, a complete elastic dynamic model of the Delta robot with joint clearance was established. Based on defining the comprehensive dynamics dexterity of Delta robot, the concept of the lattice and the trajectory lattice in the operation space was presented. Then, considering the conditions under various constraints, the trajectory planning based on the modified trapezoidal mode in the trajectory lattice was carried out. By using a laser tracker and corresponding dynamic signal acquisition device, the trajectory planning strategy was experimentally analysed. The results show that the trajectory planning strategy proposed can achieve the robot’s grasping and placing actions accurately and steadyly.

Delta robot; trajectory lattice; comprehensive dynamics dexterity; complete elastic dynamic model; trajectory planning

教育部中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)專項(xiàng)基金重點(diǎn)項(xiàng)目資助項(xiàng)目(JUSRP51316B)

2015-06-23 修改稿收到日期：2015-11-10

鄭坤明 男，碩士生，1989年生

張秋菊 女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1963年生 E-mail: ZhengKunming_111@163.com

TH113;TH115

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.005