高 菊， 關(guān) 群， 楊益飛

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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固支壓電疊層梁的精確解

高 菊， 關(guān) 群， 楊益飛

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

從壓電材料的本構(gòu)方程出發(fā)，結(jié)合彈性材料的本構(gòu)方程、運(yùn)動(dòng)方程和梯度方程，引入狀態(tài)空間法，通過(guò)矩陣推導(dǎo)與計(jì)算，建立相應(yīng)的狀態(tài)方程，由壓電材料單層梁的狀態(tài)方程推導(dǎo)出壓電疊層梁的狀態(tài)方程，結(jié)合壓電疊層固支梁相應(yīng)的力學(xué)和電學(xué)邊界條件，求解出狀態(tài)傳遞矩陣。

壓電材料；狀態(tài)空間法；固支梁；疊層

0 引 言

智能材料在大型結(jié)構(gòu)與工程的安全和發(fā)展領(lǐng)域展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景,特別是大型結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)和診斷[1-2],在土木工程中,壓電智能材料在結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)、控制及智能調(diào)節(jié)等方面都發(fā)揮較大作用[3]。在眾多結(jié)構(gòu)中,由于壓電智能材料構(gòu)成的疊層構(gòu)件是常用的構(gòu)件之一,需要對(duì)不同壓電疊層材料在不同支撐和受力情況下的力學(xué)性能進(jìn)行研究,以便于尋求更精確、便捷、快速的求解方法,為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造提供理論基礎(chǔ)。

1 壓電材料的本構(gòu)方程

壓電效應(yīng)反映了晶體彈性和介電性之間的耦合[4-6]。材料極化后為橫觀各向同性,按平面應(yīng)力問(wèn)題考慮,此時(shí)相應(yīng)的本構(gòu)方程[7]為

(1)

(2)

其中,{T}、{S}、{E}、{D}分別為應(yīng)力、應(yīng)變、電場(chǎng)強(qiáng)度、電位移;[c]、[e]、[ε]分別為平面應(yīng)力下的剛度矩陣、壓電應(yīng)力矩陣、介電矩陣。

2 固支壓電疊層梁的狀態(tài)方程

圖1所示為壓電疊層梁示意圖,兩端固支,長(zhǎng)度為a,高度為h,共有p層,每層都是各向同性材料,從上到下每層依次編號(hào)為1,2,…,p-1,p。

圖1 壓電疊層梁示意圖

(3)其中

(4)

在(3)式中,令z=hj,得

(5)

(5)式其實(shí)是第j層上表面和下表面物理量通過(guò)矩陣Gj(hj)聯(lián)系起來(lái),(3)式對(duì)任一層都成立。當(dāng)計(jì)算第1層和第2層時(shí),即j=1, 2,分別得

(6)

(7)

其中,R1(h1)是第1層下表面6個(gè)力學(xué)量與電學(xué)量;R2(0)是第2層上表面6個(gè)力學(xué)量與電學(xué)量。有一層間應(yīng)力和位移連續(xù)條件,這2組物理量應(yīng)相等,得

(8)

考慮上述連續(xù)條件,將(6)式代入(7)式,得

(9)

同理,對(duì)于第j層,同樣有連續(xù)條件,即

(10)

依次重復(fù)(9)式的推導(dǎo)過(guò)程,直到p最底層。最終能夠把整個(gè)疊層梁上表面和下表面物理量通過(guò)傳遞矩陣聯(lián)系起來(lái),得

(11)

令

(12)

其中,R1(0)即為初始值;N為六階常元素矩陣。將(12)式寫(xiě)成顯式,有

梁在兩端固支,此時(shí)可假定在邊界x=0,a上分別受分布?jí)毫(0)(z)、P(a)(z)作用(相當(dāng)于邊界固支條件)[9],如圖2所示。

由圖2可得

(14)

(15)

其中,常數(shù)A1、A2、B1、B2為線性函數(shù)在薄層端點(diǎn)的函數(shù)值,它們是由固支邊界條件確定,可以求得。只要薄層足夠薄,有理由認(rèn)為作用在薄層邊界上的反力沿z方向是線性分布的,由邊界條件確定。

圖2 固支單層梁邊界放大圖

相應(yīng)力學(xué)邊界條件為

(16)

而對(duì)于壓電材料,還需要考慮電學(xué)邊界條件。當(dāng)梁上下表面處于閉路時(shí),有

(17)

對(duì)于受到均布荷載q的靜力問(wèn)題,將(16)式和(17)式代入(13)式,則相應(yīng)的狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

(18)

(18)式是6個(gè)代數(shù)方程,5個(gè)未知量為Zm(0)、Xm(0)、Xm(h)、Dm(0)、Dm(h),現(xiàn)取第1、4、5行組成新的方程組,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算變形得

(19)

(19)式有2個(gè)未知數(shù),3個(gè)方程?？蓪m(0)、Dzm(0)解出,便可得到初始值R(0)。當(dāng)初始值求得后,代入(18)式,并令j=1,則第1層力學(xué)量可求。當(dāng)?shù)?層下表面力學(xué)量求出后,又可作為第2層的初始值,第2層力學(xué)量可求。依次方法重復(fù),整個(gè)疊層梁可解。

3 數(shù)值算例

對(duì)于壓電材料固支梁疊層梁進(jìn)行數(shù)值計(jì)算[10],結(jié)構(gòu)選取為固支疊層梁,材料自上而下依次為PZT-4/BaTiO3/PZT-4,梁高為0.1m,每層高度為0.02m、0.06m、0.02m,寬度為0.1m。在梁上表面施加10Pa的均布?jí)簭?qiáng),梁長(zhǎng)度取0.8m,計(jì)算相應(yīng)的力學(xué)與電學(xué)狀態(tài)變量。

表1所列為彈性壓電材料疊層梁在算例條件下應(yīng)力與位移計(jì)算結(jié)果,并將Matlab編程計(jì)算結(jié)果與Ansys有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

表1 壓電疊層梁位移、應(yīng)力及電勢(shì)結(jié)果

4 結(jié) 論

(1) 本文基本理論推導(dǎo)引入狀態(tài)空間法,由于未將狀態(tài)方程的解表達(dá)成邁克勞林級(jí)數(shù)的形式,不存在因級(jí)數(shù)截?cái)喽斐傻幕痉匠讨g的不相容問(wèn)題,對(duì)于智能壓電疊層梁能給出精確解。

(2) 對(duì)于彈性壓電材料單層梁和彈性壓電材料疊層梁,在短路條件下,不同跨高比時(shí),本文推導(dǎo)公式求得的電勢(shì)值與FEM模擬結(jié)果十分接近。

(3) 無(wú)論是單層梁還是疊層梁,電勢(shì)最大處均在跨中h/2處,而且最大電勢(shì)值均隨著跨高比的減小而增加。

(4) 在考慮不同高跨比的情況下,本文方法計(jì)算結(jié)果與FEM模擬結(jié)果的誤差也在允許范圍之內(nèi),因此,本文對(duì)于固支梁邊界條件假定準(zhǔn)確。

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2016-04-12；修改日期：2016-04-26

高 菊(1989-)，女，安徽阜陽(yáng)人，合肥工業(yè)大學(xué)碩士生；

關(guān) 群(1962-)，女，江蘇揚(yáng)州人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授．

TU311.1

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