孫朝仁（江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所）

中考試題解法“自然性”的四個(gè)“引擎”
——以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為例

孫朝仁（江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所）

以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為載體，呈現(xiàn)生成解題自然性的四個(gè)“引擎”，即通過溯源比較引發(fā)自然，通過內(nèi)顯變式引向自然，通過原型定向引導(dǎo)自然，通過系統(tǒng)生成引動(dòng)自然，以此凸顯崇尚自然和常規(guī)的自然解題要義．

數(shù)學(xué)試題；解法研究；自然引擎

“自然”取自然而然之意，即按照事物內(nèi)部規(guī)律發(fā)展變化．把自然界的這種“自然性”借用到教學(xué)領(lǐng)域，則需要教師把握好生成解法自然性的四個(gè)“引擎”，即溯源比較、內(nèi)顯變式、原型定向和系統(tǒng)生成．以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為例，呈現(xiàn)解題的自然性，以此凸顯崇尚自然和常規(guī)的自然解題要義．

一、試題解法探析

題目（2015年江蘇·連云港卷）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

圖1

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，試幫他說明理由．

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，試幫他求出此時(shí)BE的長．

圖2

（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由．

圖3

解析：第（1）小題考查了基本圖形中兩條直線的位置關(guān)系，可以借助全等變換獲取解答方案.

如圖4，延長EB交DG于點(diǎn)M，可得△EBA≌△GDA.

圖4

從而得∠MGB=∠AEB.

又∠GBM=∠EBA，進(jìn)而可知∠GMB=∠EAB=90°.

所以DG⊥BE．

這種基于三角形全等尋求角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而獲取圖形位置關(guān)系的方法，是每個(gè)學(xué)生易想易做的通法，也是解決基本圖形問題的自然解法．

第（2）小題考查基本圖形的特殊性，可借助操作不變性思想（旋轉(zhuǎn)變換），在全等變換思想指導(dǎo)下獲取線段等量關(guān)系（DG=BE），將未知線段（BE）轉(zhuǎn)化為可求解線段（DG）．即如圖5，過點(diǎn)A作AH⊥DG于點(diǎn)H，利用勾股定理可得從而有這種通過構(gòu)造直角三角形，獲取線段數(shù)量關(guān)系的方法，在初中階段是一種普適解法.

圖5

而第（3）小題考查了動(dòng)點(diǎn)問題靜態(tài)化思想．就△GHE面積最大而言，在底GE為定值的情況下，面積的最大值需要GE邊上的高最長．由于無論圖形旋轉(zhuǎn)到何位置，總有DG⊥BE，因此，點(diǎn)H是始終在以EG為直徑的圓上，顯然唯有當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△GHE的高最大，此時(shí)其面積最大值為4．同時(shí)，△BHD的面積也最大，其最大值為2.因此，它們面積之和的最大值為6．這類帶有幾何直觀特征的軌跡類猜想題，學(xué)生很容易借助特殊位置關(guān)系獲取正確答案．盡管有些學(xué)生知其然，不知其所以然，但獲取正確結(jié)果的自然性很大．

二、中考試題解法自然性的四個(gè)“引擎”

自然性是指在自然環(huán)境中自然變化所引起的自然行為.對于解題教學(xué)而言，其解法的自然性需要一定的“引擎”，方能讓學(xué)生生成解題的自然性.這里的“引擎”主要有通過溯源比較引發(fā)自然，通過內(nèi)顯變式引向自然，通過原型定向引導(dǎo)自然，通過系統(tǒng)生成引動(dòng)自然．

1.溯源比較，引發(fā)自然

溯源比較是生成解題自然性的基本引擎，反映解題系統(tǒng)內(nèi)部的自然屬性．這里的“溯源”是對問題來源的追問；“比較”是對同類問題的本質(zhì)特征的把握．解題要回到自然，回到固有的生動(dòng)活潑的思考之中．而通過溯源比較可以使得學(xué)生盡快進(jìn)入生動(dòng)活潑思考的心理狀態(tài)，可見溯源比較是引發(fā)自然解題的起點(diǎn)．

“溯源”就是要尋找教材原型，便于引發(fā)自然解題．經(jīng)過尋找發(fā)現(xiàn)，2015年江蘇省連云港市中考試題第26題源于蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第94頁習(xí)題第16題：點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF，BD．（1）AF與BD是否相等？證明你的結(jié)論．（2）如果點(diǎn)C在線段AB的延長線上，（1）中所得的結(jié)論是否成立？試畫出圖形并證明.

此中考試題改變了設(shè)問的方向，由探索數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)移到對位置關(guān)系的探尋，并對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深度探究，包括對線段長度的求解和對面積最值的思考．

“比較”就是要思考解決同類問題的本質(zhì)特征，為解題教學(xué)提供理性思維的自燃性．經(jīng)比較，筆者聯(lián)想到2014年江蘇省連云港市中考試題第27題的前兩道小題，試題如下.

某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8．

問題思考：如圖6，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形BPEF．

圖6

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，試求出；若不是，求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值．

（2）分別連接AD，DF，AF，AF交DP于點(diǎn)K.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？試說明理由．

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第68頁習(xí)題第5題就研究了“母子型”圖形的相關(guān)問題，只不過設(shè)問方向與2014年江蘇省連云港市中考試題第27題考查角度不同：教材習(xí)題是從面積和周長的角度直接預(yù)設(shè)的，而2014年江蘇省連云港市中考試題第27題“問題思考”是從函數(shù)和等積選擇的角度設(shè)問的.在這樣的比較中，自然獲得一類試題的常規(guī)解法．在教學(xué)中，如果教師能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生思考問題的來源，并比較同類問題的本質(zhì)特征，那么學(xué)生見到陌生問題就能自然尋求到問題解決的突破口，提高解題效率.

2.內(nèi)顯變式，引向自然

內(nèi)顯變式是生成解題自然性的關(guān)鍵引擎．變式是排除概念非本質(zhì)屬性干擾的重要手段，內(nèi)顯變式是解題自然性形成的關(guān)鍵策略．而由變式到解題行為發(fā)生的本身，又是實(shí)現(xiàn)解題思維躍遷的自然過程.其間，內(nèi)顯變式（變化參數(shù)設(shè)置、變換試題背景等）是引向解題自然的主要?jiǎng)恿碓?，?dāng)然并不排除外顯變式（數(shù)量關(guān)系的變化、圖形位置的變化等）的助推作用．無論是外顯的還是內(nèi)顯的都反映解題教學(xué)需突破同一背景的變式思想．

心理學(xué)家馬斯洛指出，學(xué)習(xí)者具有發(fā)自內(nèi)心的生長力，教師的重要任務(wù)在于設(shè)置良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自行學(xué)習(xí)．這里的“生長力”“學(xué)習(xí)環(huán)境”“自行學(xué)習(xí)”可理解為形而上的自然性因素，前者應(yīng)該與原始自然屬性對應(yīng)；后兩者應(yīng)該與生產(chǎn)自然屬性吻合．因?yàn)橹挥谢谧匀坏谋尘爸?，方能讓學(xué)習(xí)者的思維有序，向平穩(wěn)過渡，實(shí)現(xiàn)解題自然．

從教材原型到2015年江蘇省連云港市中考試題第26題的變式來說，顯然屬于內(nèi)顯變式．前者考查了靜態(tài)直觀和動(dòng)態(tài)變化融合的較為直接的數(shù)量關(guān)系，而后者考查了基于位置變化背景背后的數(shù)量關(guān)系．就試題

示例內(nèi)部邏輯關(guān)系來說，第（1）小題屬于顯性變式，利用幾何直觀可自然解決；第（2）小題屬于隱性變式，需要進(jìn)行構(gòu)造與化歸相結(jié)合來解決；第（3）小題屬于外顯變式，需要思考并抓住運(yùn)動(dòng)變化中的不變量，進(jìn)而思考運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的“極端”情形（最大值）．三道小題由淺入深，層層遞進(jìn)，又相互關(guān)聯(lián)，在變式中讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，形成解題的自然屬性.

3.原型定向，引導(dǎo)自然

原型定向是生成解題自然性的重要引擎．自然解題的過程就是學(xué)習(xí)者定向原型的自然而然過程．這里的“自然”就是順應(yīng)學(xué)生的心理發(fā)展水平，“而然”就是讓問題思維水平盡可能與不同學(xué)習(xí)者的知覺水平自然銜接．這就要求試題本身具有清晰的原型起點(diǎn)，方能讓學(xué)習(xí)者的解題思維邏輯連貫、模型清晰．就教材習(xí)題原型的思維起點(diǎn)而言，就是基本圖形數(shù)量關(guān)系的建立（AF與BD是否相等），而初中階段借助全等變換是獲得線段數(shù)量關(guān)系的自然通法，因此原型定向具有選擇心理水平層面的自然性．2015年江蘇省連云港市中考試題第26題的思維起點(diǎn)，就是基本圖形位置關(guān)系的建立（小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，試幫他說明理由），而初中階段借助概念是獲得特殊位置關(guān)系的常規(guī)路徑，這就為構(gòu)造直角三角形埋下思維的自然伏筆．無論是教材原型還是試題示例，最終都是通過全等變換實(shí)現(xiàn)自然的解答．因此，全等變換是試題組塊的自然通法，同時(shí)，定量分析自然解法的過程，又促進(jìn)了原型定向的自然反哺功能．

依據(jù)心理學(xué)家安德森的心智技能形成三段論（認(rèn)知階段、聯(lián)結(jié)階段和自動(dòng)化階段），筆者認(rèn)為，心智技能形成的邏輯起點(diǎn)就是原型定向與現(xiàn)有思維水平的一致性．真正的自然解法應(yīng)該是原型定向的自然化序列過程，由教材原型到試題示例中采用的全等變換，其思維水平是梯級遞進(jìn)的自然過程．前者是直接變換的結(jié)果（全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)），后者是間接變換的結(jié)果（借助全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理，獲得直角的等量關(guān)系）．試題示例三個(gè)設(shè)問間的內(nèi)部關(guān)系，均是以“垂直”這一位置關(guān)系為自然思維的起點(diǎn)，第（2）小題借助勾股定理解決問題，第（3）小題借助圓周角定理得以解決．而定理是高級思維的自然形態(tài)，時(shí)時(shí)監(jiān)控學(xué)生的思維走向，有利于簡單化思考，引導(dǎo)生成解題的自然性．

4.系統(tǒng)生成，引動(dòng)自然

系統(tǒng)生成是引動(dòng)解題自然性的高級引擎．“系統(tǒng)”在這里可理解為解題對象、解題矛體和解題受體，以及由受體轉(zhuǎn)化為矛體的過程性因素的組合．“生成”具有不穩(wěn)定性和不平衡性，可理解為在個(gè)體思維最近發(fā)展區(qū)的原型內(nèi)化形態(tài)性和層次性，體現(xiàn)人人都能獲得良好數(shù)學(xué)教育的課程理念．

系統(tǒng)生成引動(dòng)解題自然主要體現(xiàn)在以下三個(gè)層面：一是學(xué)生自然想到的通性、通法；二是易于操作的常規(guī)性方法；三是具有清晰的思維線索，可水平關(guān)聯(lián)和垂直聯(lián)結(jié)．試題示例的三個(gè)設(shè)問可抽象成“圖形位置關(guān)系—線段數(shù)量關(guān)系—面積數(shù)量關(guān)系”．從水平關(guān)聯(lián)特征來看，揭示“數(shù)量—位置—數(shù)量”之間自然水平轉(zhuǎn)換關(guān)系．這就要求解題時(shí)，關(guān)注位置關(guān)系中的自然解法（全等變換），只要在位置關(guān)系視野下，后續(xù)的自然思維將迎刃而解．從垂直聯(lián)結(jié)特征來看，反映“化歸—操作不變性—幾何直觀—數(shù)形結(jié)合”之間的相互補(bǔ)位．這就要求解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)用力于把握邏輯分析、邏輯監(jiān)控和邏輯呈現(xiàn)，以及反例補(bǔ)償?shù)刃袨橐?，方能引?dòng)自然解題，體現(xiàn)試題自然解法的功能．

任何科學(xué)都關(guān)心某種變化中不變的東西，而哲學(xué)關(guān)心普遍的規(guī)律．這里“不變的東西”不是“能指”而是“所指”，在解題領(lǐng)域可解釋為系統(tǒng)生成的物質(zhì)化外殼，具有獨(dú)特性和不均衡性．換句話說，也就是不同個(gè)體在解題自然的反哺下，可獲得不同層面的發(fā)展．而“普遍的規(guī)律”則是自然的自然屬性，具有理性審美意識，在解題領(lǐng)域具有“常規(guī)”“通性”之美．也可以理解為，自然解法是尚簡的、大道的和審美的．

生成自然解法，除了需要有自然的載體（中考試題）來承載，還需要用自然的引擎來引領(lǐng)，更需要擁有自然意識的主體（學(xué)習(xí)者）來顯化．因此，解法自然不止于對具體問題的通法、通性的研究，而在于對解題教學(xué)系統(tǒng)各要素自然屬性的表征研究，體現(xiàn)系統(tǒng)解題自然觀．

［1］張逢臣，王志進(jìn).探索解題方法自然生成的軌跡［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（4）：29-31．

［2］尤維明.探尋解題方法自然生成的源泉［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（6）：49-50．

［3］云鵬，李健.得之自然成之天然［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（6）：50-51．

［4］［德］菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)［M］.舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1989．

2016—08—01

孫朝仁（1967—），男，正高級中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育與教學(xué)研究及科研管理.