陳家燦（廣東省廣州市第二中學(xué)）

劉永東（廣東省廣州市天河區(qū)教育局教研室）

推陳出新立意高進(jìn)退有序思想明
——2016年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)第24題的命題解析與啟示

陳家燦（廣東省廣州市第二中學(xué)）

劉永東（廣東省廣州市天河區(qū)教育局教研室）

2016年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)第24題，不僅考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，而且要求學(xué)生具備較強(qiáng)的字母抽象運(yùn)算能力.通過此題的多種解法呈現(xiàn)和命題解析闡述，指出推陳出新的高立意命題，有利于體現(xiàn)初、高中銜接的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，進(jìn)而啟示教師需要高度關(guān)注和明晰進(jìn)退有序的數(shù)學(xué)思想下的教學(xué).

中考數(shù)學(xué)；立意高；思想明

近幾年，廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)壓軸題的命制具備高水平，不僅考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，而且要求學(xué)生具備較強(qiáng)的帶參數(shù)計(jì)算的能力，即字母抽象的運(yùn)算能力.一方面，在知識和方法上很好地區(qū)分和篩選出思維能力優(yōu)秀的學(xué)生；另一方面，體現(xiàn)初、高中的銜接，含字母的運(yùn)算是數(shù)學(xué)抽象思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力是普通高中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面以2016年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)第24題為例，從解法、命題和啟示進(jìn)行闡述，與同行共研.

一、試題：平淡無奇道本質(zhì)

1.試題呈現(xiàn)

題目：已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求m的取值范圍.

（2）證明：該拋物線一定經(jīng)過非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.試題解析及其典型錯解

（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，

所以Δ＞0，且m≠0，

即(1-2m)2-4m(1-3m)=16m2-8m+1=(4m-1)2＞0.

（2）y=mx2+(1-2m)x+1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=(x2-2x-3)m+x+1.

因?yàn)樵搾佄锞€一定經(jīng)過定點(diǎn)，即與m的值無關(guān)，

所以x2-2x-3=0，x1=3，x2=-1.

得點(diǎn)P（3，4）或P（-1，0）.

因?yàn)镻（-1，0）在x軸上，不符合題意，舍去．

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，4）.

得出，把x=3代入解析式，即y=9m+(1-2m)×3+ 1-3m=4，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，4）.

②把拋物線解析式寫成y=(x+1)(mx-3m+1)，由x-3=0，得x=3.忽略討論x+1=0的情況.

③理解不到位，直接由題意得mx2-2mx-3m=0.因?yàn)閙≠0，所以x2-2x-3=0，進(jìn)而求解.

（3）令y=0，即mx2+(1-2m)x+1-3m=0.

得(x+1)(mx+1-3m)=0.

典型錯解：一是缺乏數(shù)學(xué)思想的解題指引，題目無圖，又含參量，不能由點(diǎn)P的坐標(biāo)想到畫圖，化歸到線段AB的求解，同時也不能對A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行大小比較.主要表現(xiàn)在不加絕對值或加錯位置.

此外，在比較兩根大小時，未能根據(jù)不等式的性質(zhì)

準(zhǔn)確表達(dá)一些式子的取值范圍，甚至得出錯誤結(jié)果.

二是缺少對變量m的取值范圍的論證或單調(diào)性描述，并且沒有說明不存在最小值的理由.

三是題目沒有要求一定要寫出面積的表達(dá)式，學(xué)生直奔最值而去，結(jié)果導(dǎo)致各種失誤.

3.其他解法思路簡析

對于第（1）小題，令y=0，

即mx2+(1-2m)x+1-3m=0，

因?yàn)楹瘮?shù)為拋物線，所以m≠0.

由于拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，所以x1≠x2.

對于第（2）小題，有兩種思路，解題核心步驟如下.

思路1：任取兩個符合條件的m值，即m1，m2，且m1≠m2，得到兩條不同拋物線，

因?yàn)閙1-m2≠0，得x2-2x-3=0.求出x.

思路2：整理拋物線解析式，得

即(x2-2x-3)m=-x-1+y.①

對于第（3）小題解法有如下幾個變化.

③面積的最值可利用m的取值范圍和不等式的基本性質(zhì)變形得出.

④面積的最值可利用畫函數(shù)的圖象由性質(zhì)（如圖1）直接得出.

圖1

二、命題：推陳出新立意高

第（1）小題考查二次函數(shù)的基本概念（二次項(xiàng)系數(shù)不為0）以及函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根的判別式以及拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系.試題創(chuàng)新點(diǎn)在于考查二次不等式(4m-1)2＞0的解集，其實(shí)是考查非負(fù)數(shù)a2＞0成立的條件，而不是簡單的一元一次不等式的解集，是對常規(guī)基礎(chǔ)知識技能的深度理解.

第（2）小題看似是與定點(diǎn)相關(guān)的幾何問題，實(shí)則是和定值相關(guān)的代數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想.此題有兩類原型：一是方程形如ax=b有無數(shù)解的條件是a=0，且b=0，其本質(zhì)是有理數(shù)乘法法則“0乘任何數(shù)，結(jié)果為0”的延伸滲透；二是由拋物線恒過一定點(diǎn)，得到解析式與m值無關(guān)，即由y=(x2-2x-3)m+x+1，得m的系數(shù)x2-2x-3=0.在整式乘除運(yùn)算中可找到原型.例如，多項(xiàng)式(x-m)(x2-x+1)中不含x的項(xiàng)等價于展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為0.若能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)即能發(fā)現(xiàn)問題原型，就能找到解題切入點(diǎn).此外，命題者還意圖考查《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出的十個核心概念中的應(yīng)用和創(chuàng)新意識，以及“基本活動經(jīng)驗(yàn)”能力的考查.拋物線過定點(diǎn)，實(shí)則探索這個點(diǎn)的坐標(biāo)，可先取m的兩個特殊值，找到定點(diǎn)坐標(biāo)，再證明這個點(diǎn)的存在性和唯一性，即使無法完整證明，但利用特殊性探究定點(diǎn)坐標(biāo)，對后續(xù)解題有舉足輕重的作用，因此找不到題目原型的學(xué)生依然有探索的空間，這正是此題的巧妙之處.

第（3）小題考查學(xué)生處理綜合問題的思維能力，具體涉及到含字母系數(shù)的一元二次方程的根及其與系數(shù)的關(guān)系、分式的化簡運(yùn)算、絕對值化簡、不等式運(yùn)用、函數(shù)圖象與單調(diào)性等代數(shù)綜合知識，包含了較多解題策略的綜合運(yùn)用，有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，不是一般意義的模仿練習(xí)就能夠達(dá)到的，更多需要解題策略的運(yùn)用，特別是數(shù)學(xué)思想的靈活應(yīng)用.當(dāng)前，全國各地對純代數(shù)類壓軸題的考查并不多，但能夠如此全面考查學(xué)生不同層次的能力，確實(shí)少見.

思考方向.第二，對方程ax=b有無數(shù)解的條件拓展考查以及對代數(shù)式化簡的思維延續(xù)，著力體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個核心概念.第三，是新函數(shù)的圖象和性質(zhì)的類比發(fā)展研究，不僅體現(xiàn)初中階段研究函數(shù)的方法以及對關(guān)注的問題認(rèn)知的知識技能和過程方法的考查，而且銜接了高中階段學(xué)習(xí)新函數(shù)的方法和本質(zhì).這三點(diǎn)均體現(xiàn)了立意于數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的高度而出新.

三、啟示：進(jìn)退有序思想明

1．技能要實(shí)，階段滲透

字母表示數(shù)，經(jīng)歷了從數(shù)到代數(shù)、從數(shù)感到符號感的跨越.代數(shù)式運(yùn)算包括方程、不等式、函數(shù)式、含參數(shù)的等式求解等，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的深化，對學(xué)生的運(yùn)算能力要求更高，這是影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績的重要因素.數(shù)學(xué)運(yùn)算技能的扎實(shí)，不僅應(yīng)在重視基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)中提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性、合理性、簡捷性、規(guī)范性，還應(yīng)扎實(shí)提升含字母的運(yùn)算能力和思維訓(xùn)練.例如，七年級開始理解數(shù)學(xué)符號，提高符號運(yùn)算能力和符號推理能力，從具體情境抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示出來，這種把問題一般化的過程超越了實(shí)際問題的具體情境，把認(rèn)識和推理提到一個更高的水平，這是數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)思考最本質(zhì)的部分.由此，尊重認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)地安排符號感發(fā)展的材料，階段滲透.從七年級的提供實(shí)際背景寫代數(shù)式，并對同一個代數(shù)式做不同實(shí)際意義的解釋開始，學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)地”說話.一句話由字、詞按一定的語法組成，代數(shù)中的“字”可以是某個數(shù)或代表數(shù)的字母，“詞”就是表示某種意義的代數(shù)式或某一表達(dá)式，“句子”就是關(guān)系式.這些句子的語法就是各種符號演算的法則和一些規(guī)定，方程、不等式、函數(shù)都是一個“句子”，對實(shí)際問題用“句子”表達(dá)出來，就是“數(shù)學(xué)化”地解決問題.例如，已知-1＜a＜0，化簡條件是一個句子，它可以寫為a＞－1，所以a+1＞0，翻譯成文字語言是說a+1是個正數(shù).a＜0可翻譯成a是個負(fù)數(shù)，再由有關(guān)概念化簡即得.絕對值的化簡，在不同階段有著不同的要求，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生對它的代數(shù)定義和幾何意義要有更深的理解，不但能求有理數(shù)的絕對值|-3.14|，還要結(jié)合實(shí)數(shù)概念、實(shí)數(shù)大小比較的知識，理解結(jié)合二次根式性質(zhì)能對a2進(jìn)行化簡，并從中歸納初中學(xué)過的三種非負(fù)數(shù)a2，在理解銳角三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能化簡（a為銳角）.這樣由一個知識點(diǎn)引出與之相聯(lián)系的知識，不僅可加深對知識的理解，而且能從中體會知識間的聯(lián)系.

2．思辨要真，異中求同

增強(qiáng)學(xué)生對字母代數(shù)問題的理解，需要加強(qiáng)相關(guān)聯(lián)知識模塊的聯(lián)系，在類比中學(xué)習(xí)思辨，異中求同，同中審異.九年級學(xué)習(xí)配方法時，可增加設(shè)置對比：用配方法求代數(shù)式-x2+2x-3的最值，用配方法解方程-x2+2x-3=0，用配方法把二次函數(shù)y=-x2+2x-3配成頂點(diǎn)式，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)知識間的聯(lián)系，總結(jié)出使用配方法的注意事項(xiàng)，緊接著把系數(shù)變?yōu)閰⒘浚鰪?qiáng)含參量的運(yùn)算能力培養(yǎng).變式教學(xué)是異中求同的重要方式.例如，在第（2）小題中，可編寫兩個變式：一是證明拋物線y=(m+1)x2+x-m與y=x2+ 2mx+2m-1恒經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求出這個點(diǎn)的坐標(biāo)；二是證明拋物線y=mx2-2mx+1與直線y=-x+3m存在一個交點(diǎn)，這個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，并求出這個交點(diǎn)的橫坐標(biāo).兩個變式本質(zhì)上可整理成同一個方程(x2-2x-3)m=-x-1，若只注意到x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3.則需要把x1=-1，x2=3分別代入計(jì)算并排除x2=3.若能抓住問題本質(zhì)，注意到-x-1=0同時成立，則立刻能確定x=-1.還可再增加兩個變式，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的思維境界.

變式1：無論m為何值，函數(shù)y=m（1-x）+2的圖象恒經(jīng)過一個定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).

變式2：二次函數(shù)y=a（x-m）2+m-1（a≠0）的頂點(diǎn)恒在某條直線上，求這條直線的解析式.

3．思想要明，靈活指引

概而述之，命題對教學(xué)導(dǎo)向是很大的，扎實(shí)地開展課題學(xué)習(xí)的學(xué)校，學(xué)生所形成的解決問題的經(jīng)驗(yàn)就多，做題便會如魚得水；反之，則經(jīng)驗(yàn)不足，學(xué)生解題困難重重.因此，在教學(xué)過程中，解題能力提升應(yīng)更多地靠學(xué)生的獨(dú)立嘗試、多向探索，體悟解題策略和明晰思想，以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、結(jié)束語

命題思路盡管有規(guī)律可循，但試題推陳出新、變幻莫測，學(xué)生要具備能力才能玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué).所以，教師發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要躍出經(jīng)驗(yàn)和常識的層面，知識技能才能做到扎實(shí)，思維才能高屋建瓴.另外，還要躍出人所共知的技術(shù)邊界，學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧才能一馬平川.也就是說，給學(xué)生合適的問題、合適的情境、合適的機(jī)會，讓學(xué)生在需要能力的場合思考、嘗試、探索、發(fā)掘，從而形成并發(fā)展自己的能力.

學(xué)生的成功，不在于思考什么，而在于怎樣思考.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］王建.超越性思維［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2014.

［3］李海東.重視知識之間的聯(lián)系，突出圖形性質(zhì)的探索過程：人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第24章“圓”介紹［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（11）：4-8.

［4］張華.初中數(shù)學(xué)教育：課程與教學(xué)［M］.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2010.

2016—08—01

陳家燦（1981—），男，中學(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教材、教法和解題研究.