尚亞明（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）

張玉環(huán)（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

中、法初中教材中方程內(nèi)容的比較研究

尚亞明（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）

張玉環(huán)（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

對(duì)中國(guó)與法國(guó)初中教材中方程內(nèi)容進(jìn)行量化分析和質(zhì)性分析，并得到一些啟示.量化分析方面，中國(guó)人教版教材對(duì)廣度、深度、例習(xí)題的要求均高于法國(guó)；質(zhì)性分析方面，中國(guó)人教版教材重視對(duì)知識(shí)的探索與拓展、對(duì)具體問題的解決，而法國(guó)教材注重學(xué)生自我體驗(yàn)感悟、對(duì)知識(shí)的各個(gè)擊破，以及逐步引導(dǎo)學(xué)生求知.

中、法教材；方程內(nèi)容；比較研究

一、問題的提出

方程作為初中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要組成部分，是初中生用來解決問題的最主要手段和工具.方程具有深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)思想，甚至可以不斷深入影響許多學(xué)科發(fā)展.因方程內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中的重要位置與作用，著名數(shù)學(xué)家陳省身對(duì)“解方程”問題曾給出很好的評(píng)價(jià).研究者普遍認(rèn)為，教師在日常教學(xué)中相當(dāng)依賴教材，在很大程度上依據(jù)所使用的教材決定教什么，怎么教，以及給學(xué)生布置哪些習(xí)題等.眾所周知，位于歐洲西部的法國(guó)在歷史上對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著重大貢獻(xiàn).因此，選擇中國(guó)和法國(guó)兩個(gè)國(guó)家的初中教材作為研究對(duì)象，以期對(duì)中國(guó)教材方程部分的編寫與使用提供一定的參考與借鑒.

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究對(duì)象

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）是目前在國(guó)內(nèi)影響較大、使用面較廣的教材.現(xiàn)選取七年級(jí)上冊(cè)、七年級(jí)下冊(cè)、九年級(jí)上冊(cè)這三冊(cè)包含方程內(nèi)容的教材進(jìn)行比較研究.

2.研究方法

主要對(duì)內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、例習(xí)題難度進(jìn)行量化分析；對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的處理、實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行質(zhì)性分析，以此推斷中國(guó)與法國(guó)初中階段教材中方程部分設(shè)置的異同點(diǎn)和各自特點(diǎn).

（1）知識(shí)點(diǎn)的確定方法.

知識(shí)點(diǎn)即教材正文中所出現(xiàn)的所有數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題（公理、定理、法則、公式等）.根據(jù)下面三條原則確定知識(shí)點(diǎn)：①依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，對(duì)比兩國(guó)的教材，并參考相關(guān)資料；②如果兩個(gè)概念區(qū)分度不大時(shí)，算做一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，例如二元一次方程和二元一次方程組；③雖然函數(shù)和方

程關(guān)系很密切，但現(xiàn)在考查的是“方程”模塊，在“方程”模塊中沒有出現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，故不作為知識(shí)點(diǎn).確定的知識(shí)點(diǎn)如表1所示.

表1：兩國(guó)各模塊所含知識(shí)點(diǎn)

【說明】表1中列方程、二元一次方程組，三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解、公式法、根與系數(shù)關(guān)系是人教版教材比SM教材多的知識(shí)點(diǎn).其中、方程的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系是性質(zhì)，代入消元法（在SM教材中叫代換消元法）、加減消元法（在SM教材中叫高斯消元法）、配方法（在SM教材中叫完全平方法）、公式法、因式分解法（在SM教材中有提公因式法、平方差公式法）是算法，方程、方程的解、二元一次方程組、二元一次方程組的解、三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解是概念.

（2）內(nèi)容的比較方法.

將方程知識(shí)分為一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程三個(gè)模塊，對(duì)內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度進(jìn)行比較.兩個(gè)國(guó)家教材中所包含的知識(shí)領(lǐng)域、概念與命題的數(shù)量作為廣度的指標(biāo)，深度比較指標(biāo)如表2所示.

表2：內(nèi)容深度水平指標(biāo)

（3）例、習(xí)題的比較方法.

選取知識(shí)點(diǎn)數(shù)量、背景、要求水平三個(gè)指標(biāo)來進(jìn)行比較，見表3.

表3：例、習(xí)題水平指標(biāo)

其中di依次分別表示知識(shí)點(diǎn)數(shù)量、背景和要求等因素的取值；dij表示第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重；nij表示一組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù)，其總和等于該題目的個(gè)數(shù)n.

三、研究過程與結(jié)果

1.量化分析

（1）內(nèi)容廣度比較.

從表1可以看出，人教版教材中“方程”部分有19個(gè)知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容廣度為19；SM教材有13個(gè)知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容廣度為13.兩國(guó)對(duì)相同概念的定義方式有所差異，主要體現(xiàn)在表述的不同.例如，對(duì)方程的定義，人教版教材的定義為含有未知數(shù)的等式是方程；SM教材的定義為方程是一個(gè)等號(hào)和一個(gè)或多個(gè)未知數(shù)（常用字母表示）組成的表達(dá)式.前者強(qiáng)調(diào)方程是等式，后者強(qiáng)調(diào)方程是表達(dá)式，且表述更詳細(xì)，更徹底.再比如，對(duì)方程的解的定義，人教版教材為，一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解；SM教材為，滿足兩個(gè)等式的數(shù)字是二元一次方程組的解.本質(zhì)一樣，但出發(fā)點(diǎn)不一樣，表述各有特色.人教版教材方程內(nèi)容中被定義的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)要多于SM教材，比如對(duì)于二元一次方程組、三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解等概念的定義（教材中實(shí)際還有對(duì)一元一次方程、二元一次方程的定義），還有對(duì)代入消元法、加減消元法等解法的定義，而法國(guó)教材對(duì)這些沒有提及.兩個(gè)版本的教材對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，比如方法的解釋、運(yùn)用，都較多涉及，體現(xiàn)了算法的思想.

對(duì)于兩個(gè)國(guó)家的三個(gè)模塊所出現(xiàn)的被定義的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)如圖1所示.

圖1

從圖1可以看出：人教版教材“方程”的三個(gè)模塊被定義的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)多于SM教材.

（2）內(nèi)容深度比較.

將兩個(gè)版本教材中方程三大模塊的知識(shí)點(diǎn)按照內(nèi)容深度指標(biāo)表（見表2）進(jìn)行匯總（一元一次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用三個(gè)知識(shí)點(diǎn)除外，不計(jì)入總數(shù)），并將兩個(gè)指標(biāo)不同水平的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到圖2.

圖2

由圖2可知：兩個(gè)版本的教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式都偏重于類比、歸納水平，且人教版教材的偏重更重，人教版教材三個(gè)水平差距大，SM教材三個(gè)水平差距小.

（3）例、習(xí)題比較.

將兩個(gè)版本教材方程部分例、習(xí)題按照難度量化指標(biāo)表（見表3）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到表4.

表4：兩個(gè)版本教材方程例、習(xí)題難度量化數(shù)據(jù)

①例題比較.

人教版教材中方程部分有22道例題，SM教材中方程內(nèi)容有23道例題，根據(jù)上面公式計(jì)算難度獲得其比較的三角形圖，如圖3所示.

圖3

②習(xí)題比較.

人教版教材中方程內(nèi)容習(xí)題共167道，SM教材中方程內(nèi)容部分習(xí)題共165道，兩個(gè)版本教材習(xí)題數(shù)目不相上下，根據(jù)公式（1）計(jì)算難度獲得其比較的三角形圖，如圖4所示.

圖4

綜上所述，SM教材中方程部分例、習(xí)題難度低于人教版教材中方程部分例、習(xí)題難度.

2.質(zhì)性分析

（1）核心知識(shí)點(diǎn)的處理比較.

對(duì)于方程，兩個(gè)版本教材的設(shè)置各有特點(diǎn)，特別是對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的處理，這點(diǎn)充分體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的引入上.現(xiàn)分別選取列方程（SM教材中沒有該知識(shí)點(diǎn)，但有相關(guān)的解釋）、方程的性質(zhì)兩個(gè)有代表性的知識(shí)點(diǎn)做比較，從而得出兩個(gè)版本教材對(duì)方程核心知識(shí)點(diǎn)處理的不同.

①列方程的比較.

列方程在中國(guó)是一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，研究它的引入，并且對(duì)比它在SM教材的引入，是非常有意義的.在人教版教材中，給出列方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)之前，首先給出一個(gè)“汽車勻速經(jīng)過三個(gè)村莊”的具體實(shí)例，題目給出了具體的解題步驟，同時(shí)設(shè)了好多空白，讓學(xué)生自己試著在原有的知識(shí)基礎(chǔ)上作答，然后拓展為列方程，從而完成了列方程的引入.

SM教材雖然也沒有明確地提出列方程，但對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教材中還是以活動(dòng)的形式給出了解釋，這個(gè)活動(dòng)有具體的步驟，見案例1.

案例1：（1）Alice用一個(gè)數(shù)乘以8，然后加上7，得到一個(gè)結(jié)果；（2）Bertrand用一個(gè)數(shù)乘以6，然后加上13，得到一個(gè)結(jié)果；（3）Chloe用一個(gè)數(shù)乘以3，然后加上30，得到一個(gè)結(jié)果；（4）如果Alice和Bertrand的起始數(shù)都是x，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個(gè)含有x的方程；如果Alice和Chloe的起始數(shù)字都是y，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個(gè)含有y的方程；如果Bertrand和Chloe的起始數(shù)字都是z，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個(gè)含有z的方程.

【評(píng)析】案例1的整個(gè)過程簡(jiǎn)單明了，每一步都讓學(xué)生自我體驗(yàn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生求知，從而列出方程.

②方程的性質(zhì)的比較.

方程的性質(zhì)在兩個(gè)版本的教材中都有出現(xiàn)，它對(duì)解方程起著至關(guān)重要的作用，學(xué)生只有充分理解它的內(nèi)涵，在應(yīng)用時(shí)才能得心應(yīng)手.方程的性質(zhì)包含兩條，人教版教材對(duì)于這兩條的引入，是從學(xué)生熟悉的天平開始的，接著給出兩條性質(zhì)，是一個(gè)回顧和告訴的過程.

而SM教材在給出性質(zhì)之前，會(huì)給出一個(gè)有具體步驟的活動(dòng)，里面有若干個(gè)問題，大致步驟見案例2.

案例2：Ali和Sonia有相同個(gè)數(shù)的球.（1）如果你給了他們相同數(shù)目的球，那他們的球數(shù)還相同嗎？（2）如果你從Ali那里拿走了一個(gè)球，那你該怎么做才能使他們的球數(shù)依舊相同？（3）Sonia在玩三倍于原來數(shù)目的球，那Ali是不是也得增加相同數(shù)目的球才能保持相等？（4）Ali給了別人他的原來一半的球，Sonia也這樣做，那他們的球數(shù)還相同嗎？（5）總結(jié)出一些性質(zhì).

【評(píng)析】案例2的每一步讓學(xué)生設(shè)身處地思考，在這個(gè)基礎(chǔ)上，再給出兩條性質(zhì).很容易看出，SM教材把兩條性質(zhì)分成了四小條，前兩小條對(duì)應(yīng)性質(zhì)1，后兩小條對(duì)應(yīng)性質(zhì)2，注重各個(gè)擊破.

（2）實(shí)際應(yīng)用的比較.

兩個(gè)版本教材都注重對(duì)三個(gè)模塊的實(shí)際運(yùn)用，特別是人教版教材，對(duì)于這三個(gè)部分的應(yīng)用，還設(shè)立了獨(dú)立的小節(jié)進(jìn)行整體討論探究，SM教材雖然沒有作為獨(dú)立的小節(jié)研究，但對(duì)應(yīng)用的介紹還是很有特點(diǎn)的.例如，兩個(gè)版本教材對(duì)于一元一次方程的應(yīng)用的設(shè)置.人教版教材的一元一次方程的應(yīng)用在章末的“實(shí)際問題與一元一次方程”小節(jié)中著重討論，題目以探究題的形式出現(xiàn).

探究：這是一個(gè)關(guān)于銷售中的盈虧的具體問題：一商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

給出題目后，先進(jìn)行分析，然后設(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)進(jìn)價(jià)與利潤(rùn)的和就是售價(jià)，就可以得到方程x+0.25x=60，解得x=48.類似地，設(shè)另外一件衣服的進(jìn)價(jià)，根據(jù)相等關(guān)系得到方程，進(jìn)而求解，得到答案.然后結(jié)合兩個(gè)答案，得到最終的答案.在這方面人教版教材注重知識(shí)的探究和拓展.

SM教材的一元一次方程的應(yīng)用主要體現(xiàn)在對(duì)結(jié)果的解釋上，如案例3.

案例3：?jiǎn)栴}1：Sylvia比他的妹妹Rose大7歲.10年之后，Sylvia的歲數(shù)比妹妹Rose大一倍.如果把Rose的年齡設(shè)為x，那么Rose多大了？

問題2：2000年，Paul的年齡是10歲，Louis的年齡是17歲，什么時(shí)候Louis的年齡是Paul的兩倍？把這一年與2000年的差設(shè)為x.

（1）把這兩個(gè)問題列成方程，你意識(shí)到了什么？

（2）解決這兩個(gè)方程；

（3）把兩個(gè)結(jié)果放在一起，進(jìn)行總結(jié).

【評(píng)析】根據(jù)問題1，可以列出方程：7+x+10= 2(x+10).解得x=-3；根據(jù)問題2，可以列出方程：17+x=2(x+10).解得x=-3.把兩個(gè)方程放到一起，

很容易看出這兩個(gè)方程是一樣的，結(jié)果也一樣.那么對(duì)于問題1，得到x=-3，意義就是Rose的年齡是-3歲；對(duì)于問題2，也得到x=-3，意義就是1997年，Louis的年齡是Paul的兩倍.很顯然，這兩個(gè)結(jié)果不符合實(shí)際情況，故這兩個(gè)解不成立，也就是說題目無解.這種逐步引導(dǎo)學(xué)生思考、發(fā)現(xiàn)，最后總結(jié)的活動(dòng)步驟，在人教版教材中是沒有出現(xiàn)的.

四、研究結(jié)論及啟示

1.研究結(jié)論

（1）在內(nèi)容廣度上，人教版教材方程的內(nèi)容廣度比SM教材中方程的內(nèi)容廣度大，且三大模塊定義的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)明顯多于SM教科書.

（2）在內(nèi)容深度上，人教版教材三個(gè)模塊的知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)方式都偏重于第二個(gè)水平，即歸納、類比.但人教版教材的偏重程度要高于SM教材，并且人教版教材三個(gè)水平差距大于SM教材.

（3）在例、習(xí)題難度上，人教版教材的三個(gè)難度因素水平都普遍高于SM教材.從難度取值來看，在背景方面，人教版教材題目比較關(guān)注學(xué)生的個(gè)人生活背景，SM教材更多的是無背景；在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上，人教版教材題目知識(shí)點(diǎn)含量明顯高于SM教材，知識(shí)點(diǎn)含量差距大；在要求水平上，人教版教材略高于SM教材，都偏重于“理解”層次.

（4）在對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的處理、實(shí)際應(yīng)用的比較上，人教版教材比較注重對(duì)知識(shí)的探索與拓展，注重對(duì)具體問題的解決；SM教材注重學(xué)生的自我體驗(yàn)和感悟，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的各個(gè)擊破，逐步引導(dǎo)學(xué)生求知.

2.啟示

（1）注重基礎(chǔ).初中階段屬于義務(wù)教育階段，以掌握基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能為主，重視通性、通法的掌握.兩個(gè)版本教材的方程部分知識(shí)均以三大模塊出現(xiàn)，即一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，并且兩個(gè)版本教材對(duì)于一些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)都很注重.比如，方法的解釋：解二元一次方程組中的代入消元法、加減消元法（在SM教材中，叫高斯消元法）、解一元二次方程中的配方法（在SM教材中，叫完全平方法）、因式分解法（在SM教材中，有提公因式法、平方差公式法）等；方法的運(yùn)用：一元一次方程的運(yùn)用、二元一次方程組的運(yùn)用、一元二次方程的運(yùn)用等；在例、習(xí)題方面，中法兩國(guó)題目的內(nèi)容設(shè)計(jì)也重在基礎(chǔ).

（2）適當(dāng)減少“方程”的定義個(gè)數(shù).有人做過統(tǒng)計(jì)，一本書中出現(xiàn)的定義個(gè)數(shù)與讀完這本書的人成反比.方程這塊知識(shí)在初中教材中的位置不容忽視，而且它的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性也很高，但有時(shí)比較抽象，難以把握，出現(xiàn)較多的定義，不但達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)目的，反而會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一種厭學(xué)心理.

（3）注重對(duì)知識(shí)各個(gè)擊破，以及逐步引導(dǎo)學(xué)生求知.相比于算式，方程引入了未知數(shù)，是含有未知數(shù)的等式，建立的邏輯關(guān)系比較抽象，如果學(xué)生沒有深入理解用方程解決問題的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的含義，就不能準(zhǔn)確地用方程解決問題.SM教材的實(shí)際應(yīng)用和對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的處理方面，設(shè)置的“活動(dòng)”部分從每個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生一一擊破，使學(xué)生充分了解知識(shí)，理解并掌握它們.所以，注重對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的各個(gè)擊破，逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程顯得尤為重要.

［1］張奠宙.數(shù)學(xué)的明天［M］.南寧：廣西教育出版社，2000.

［2］姜美玲.教師實(shí)踐性知識(shí)研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

［3］人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2012．

［4］人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2012．

［5］人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)下冊(cè)）［M］．北京：人民教育出版社，2012．

［8］周九詩(shī)，王延文.中英初中數(shù)學(xué)教科書難易程度的比較研究：以中國(guó)“人教版”和英國(guó)《數(shù)學(xué)連接》為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：18-23.

［9］范良火，黃毅英，蔡金法，等.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（中文版）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

2016—07—19

河南省教師教育課程改革研究項(xiàng)目——多元化學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)在高校數(shù)學(xué)類教師教育理論課程的實(shí)踐與探索（2016-JSJYYB-012）；河南大學(xué)民生學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目——《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的學(xué)習(xí)成績(jī)歸因分析及對(duì)策研究（MS?JG2015025）.

尚亞明（1991—），女，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育方向的研究.