全空間中一類橢圓方程組解的存在性

2016-11-30 09:15:38張虎梅李鴻翔郝悅斌

貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2016年5期

關(guān)鍵詞：緊性有界范數(shù)

張虎梅，李鴻翔，郝悅斌

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006)

全空間中一類橢圓方程組解的存在性

張虎梅，李鴻翔，郝悅斌

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006)

討論了下面問(wèn)題:

橢圓方程組;Nehari流形;能量泛函

0 引言

研究下面一類橢圓方程組

(1)

橢圓方程組解的存在性得到了廣泛的研究,涌現(xiàn)出很多重要的研究成果。尤其在有界區(qū)域上出現(xiàn)了大量的研究工作,比如Alves在文獻(xiàn) [1]中研究了下面的問(wèn)題

(2)

(3)

(4)

他們通過(guò)對(duì)f,g進(jìn)行了適當(dāng)假設(shè)證明了方程組(4)至少存在一個(gè)正解。

還有在文獻(xiàn) [11]中Liu對(duì)相類似的方程

(5)

也進(jìn)行了研究,她先對(duì)a(x),b(x)作了合適的衰減假設(shè),再通過(guò)臨界點(diǎn)理論,在有界的球內(nèi)找到了近似解,然后通過(guò)分析找到的近似解的結(jié)構(gòu)再取極限,從而證明了方程組(5)有無(wú)窮多的正能量解。因?yàn)楸疚氖窃赗N上來(lái)研究,而且要考慮比較一般的權(quán)函數(shù)q(x),這將會(huì)導(dǎo)致緊性嚴(yán)重缺失,所以需要更加仔細(xì)地分析極小化序列,研究極小化序列的各種可能行為來(lái)克服緊性缺失的問(wèn)題,本文將作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)來(lái)證明橢圓方程組(1)解的存在性。現(xiàn)在給出q的假設(shè):

(Q):0<δ:=infRNq

本文的結(jié)論如下:

定理1 若N≥3,α>1,β>1,α+β∈(2,2*),并且q滿足假設(shè)Q,那么橢圓方程組(1)至少存在一個(gè)非平凡的非負(fù)弱解。

1 預(yù)備知識(shí)

定義H1(RN)的內(nèi)積為:

(u1,u2)=∫RN▽u1·▽u2+q(x)u1·u2dx，

相對(duì)應(yīng)的范數(shù)為:‖u‖={∫RN|▽u|2+q(x)u2

要在空間X上對(duì)方程組(1)進(jìn)行討論。相對(duì)應(yīng)地定義能量泛函為:

方程組(1)的一個(gè)弱解就相當(dāng)于泛函I(u,v)在H1(RN)×H1(RN)上的一個(gè)臨界點(diǎn)。對(duì)泛函I(u,v)來(lái)講,易知I無(wú)下界,所以要將I限制到Nehari流形上,定義如下:

N={(u,v)∈X|u≠0,v≠0,〈I′(u,v),(u,v)〉=0}

若(u,v)∈N,則相對(duì)應(yīng)的能量泛函是:

現(xiàn)在定義:m=inf(u,v)∈NI(u,v)。

引理1 N是非空集,m>0。

證明首先證N是非空集。因?yàn)?u,v)∈X,u≠0,v≠0,且∫RN|u|α|v|βdx≠0,所以存在t>0,使得(tu,tv)∈N,就有

再證m>0。因?yàn)?u,v)∈N,則可用Sobolev不等式和不等式|u|α|v|β≤|u|α+β+|v|α+β,得到 ‖u‖2+‖v‖2=2∫RN|u|α|v|βdx

≤2∫RN|u|α+β+|v|α+βdx

假定{(uk,vk)}k?N是I的極小化序列,而顯然(|uk|,|vk|)∈N,同時(shí)又有I(|uk|,|vk|)=I(uk,vk)成立,故{(|uk|,|vk|)}k也是極小化序列,所以在RN中有uk(x)≥0,vk(x)≥0,且uk,vk在H1(RN)中是有界的,故有u,v∈H1(RN)使得

·uk(x)→u(x)a.e.,vk(x)→v(x)a.e.x∈RN。

引理2 λ>0。

2 l與λ的3種情形

需要考慮3種情況:l=λ,l=0,和 0

2.1 l=λ

引理3 若l=λ,則(u,v)∈N,I(u,v)=m。

2∫RN|uk|α|vk|βdx,

而顯然有I(u,v)≥m,又通過(guò)范數(shù)的弱下半連續(xù)性可得

I(u,v)≤lim infkI(uk,vk)=m。引理3證畢。

2.2 l=0且u=0,v=0

現(xiàn)在我們定義一個(gè)泛函:

最后定義mγ=inf(u,v)∈NγIγ(u,v)。

引理4 存在(u,v)∈Nγ使得Iγ(u,v)=mγ。

≤∫RN|▽ek|2+|▽fk|2dx+γ∫RN|ek|2+|fk|2dx

=2∫RN|ek|α|fk|βdx

=2∫RN|wk|α|zk|βdx。

=Iγ(ek,fk)。

現(xiàn)在來(lái)證明弱極限u,v∈Nγ且Iγ(u,v)=mγ。

先證u,v∈Nγ,由類似引理1的證明得

(6)

取極限得 0

=t2lim infkIγ(uk,vk)=t2mγ

再由范數(shù)的弱下半連續(xù)性可得 Iγ(u,v)≤lim infkIγ(uk,vk)=mγ,而Iγ(u,v)≥mγ,故有Iγ(u,v)=mγ。引理4證畢。

引理5 m

證明易知Nγ≠Φ,mγ>0,存在(u0,v0)∈Nγ使得Iγ(u0,v0)=mγ,且u0≥0,v0≥0。由Q的假設(shè)我們可推斷存在δ1>0和一個(gè)球BR(x1)使得對(duì)?x∈BR(x1)有q(x)≤γ-δ1,而且也存在δ2>0,一個(gè)球BR(x2)以及一個(gè)集合A?BR(x2)使得在A中處處有u0(x)≥δ2。現(xiàn)在可以定義一個(gè)函數(shù)u1∈H1(RN)使得u1(x)=u0(x-x1+x2)。如果x∈BR(x1),那么x-x1+x2∈BR(x2),因此在一個(gè)集合A′?BR(x1)中處處有u1(x)≥δ2。則