白艷麗,訾雪旻

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222)

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變點(diǎn)方法在多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)中的應(yīng)用*

白艷麗,訾雪旻

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222)

利用變點(diǎn)方法，建立了基于多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)這種復(fù)雜數(shù)據(jù)的監(jiān)控模型，通過數(shù)值模擬，驗(yàn)證了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)良性，所做變點(diǎn)模型能夠準(zhǔn)確地找到變點(diǎn)的位置及變點(diǎn)估計(jì)值，為更多的實(shí)際應(yīng)用提供有力依據(jù).

多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)；變點(diǎn)方法；漸近正態(tài)；同質(zhì)檢驗(yàn)

1 問題描述

當(dāng)對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行控制時(shí)，需要對(duì)產(chǎn)品數(shù)據(jù)進(jìn)行收集分析，當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程可控時(shí)，數(shù)據(jù)的數(shù)值特征就會(huì)服從于統(tǒng)計(jì)學(xué)上某個(gè)穩(wěn)定的分布，如正態(tài)分布，二項(xiàng)分布等，相反的，當(dāng)統(tǒng)計(jì)過程失控時(shí)，數(shù)據(jù)分布必然會(huì)發(fā)生一定的變化，當(dāng)檢測(cè)到此變化并報(bào)停生產(chǎn)，就可以達(dá)到控制產(chǎn)品質(zhì)量的目的.在統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制中，變點(diǎn)理論有著非常廣泛的應(yīng)用，將變點(diǎn)方法用于不同的數(shù)據(jù)類型時(shí)，對(duì)不同的數(shù)據(jù)特征進(jìn)行分析，當(dāng)數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，其數(shù)據(jù)分布參數(shù)發(fā)生相應(yīng)的變化，這樣就可以將變點(diǎn)位置以及變點(diǎn)值估計(jì)出來，從而控制質(zhì)量.本文將變點(diǎn)方法應(yīng)用于多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)類型，研究得到適合它的變點(diǎn)監(jiān)控模型.

接下來，需要構(gòu)造基于多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)的變點(diǎn)模型，假設(shè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的概率發(fā)生變化，那么變點(diǎn)模型如下：

(1)

這里τ0>0，很顯然，它是兩個(gè)樣本出現(xiàn)差異的分界點(diǎn)，也就是要研究的一個(gè)未知的變點(diǎn)，其中qs=(qs1,…,qsp)T,s=0,1.想要檢驗(yàn)是否真的存在變點(diǎn)，就相當(dāng)于在做一個(gè)檢驗(yàn)問題，將零假設(shè)與備擇假設(shè)記作：H0:τ0=T,H1:τ0

2 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

如上所述，變點(diǎn)檢驗(yàn)問題與同質(zhì)檢驗(yàn)有相似之處，對(duì)于同質(zhì)檢驗(yàn)來說，更有效的方法是二分法和經(jīng)典的卡方檢驗(yàn)的方法，先構(gòu)造關(guān)于兩個(gè)多項(xiàng)樣本Z1τ和Z2τ的同質(zhì)檢驗(yàn)的皮爾森卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,如下：

(2)

(3)

式(3)中Z1τ,j和Z2τ,j分別是Z1τ和Z2τ的j階成份，Lτ是從K2中移出來的分量式，這樣，所定義的Lτ就可以總是被很好用于研究.另外在檢驗(yàn)過程中有可能出現(xiàn)很多的變點(diǎn)，那么為了達(dá)到檢驗(yàn)?zāi)康模瑧?yīng)該復(fù)查所有可能的變點(diǎn)，因此定義了新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Sp，

(4)

這里0

3 統(tǒng)計(jì)量的漸近行為

對(duì)于所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量Sp的漸近行為，做以下的假設(shè)：

(A1)當(dāng)p→∞ 時(shí)，max1≤j≤pqoj→0；

(A2)當(dāng)p,N→∞,0

根據(jù)假設(shè)的成立可以得到以下的結(jié)論：

(i)假設(shè)H0和(A1),(A2)成立時(shí)，當(dāng)p,N→∞時(shí)，Sp的期望和方差如下：

這里ΔT=[b(T-1)]-[a(T-1)]+1.

(ii)假設(shè)(A3)成立，當(dāng)p,N→∞時(shí)

證明如下.

證明(i)

可以將Lτ寫成(5)式的形式：

(5)

這樣，在零假設(shè)下將Lτ改寫下式(6)的形式：

(6)

因此，就可以得到

(7)

(8)

在假設(shè)(A2)下：

在假設(shè)(A1)下，var[Sp,2]/var[Sp,1]→0，最終得到

(9)

證明(ii)

(10)

并且存在γ∈(0,∞)，使得

(11)

因此可以得到，當(dāng)p,N→∞時(shí)，

(12)

我們先來證明(12)式，記El-1(·)=E[·|FN,l-1]，有:

因此可以看到：

也就是說γ=1/4，

(13)

(14)

通常，可以寫成如下(15)式形式：

(15)

式中：

由假設(shè)(A1)和(A2)和一范數(shù)的概念可知：

在假設(shè)(A3)下，可以得到：

同理B3=o(1).至此(11)式證明完畢.

(16)

應(yīng)用證明(12)式相似的方法在(10)式的證明中，可以得到：

4 數(shù)據(jù)模擬

表1 p=1 000，N=1 000，T=100時(shí)，數(shù)值

根據(jù)以上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)軟件R畫出其密度函數(shù)圖像，如圖1所示.

X

下面建立常規(guī)的控制圖，將數(shù)據(jù)中的變點(diǎn)一一找到，控制圖如圖2所示：

X

從圖2可以看出所得到的100個(gè)數(shù)據(jù)中有12個(gè)超出了控制線，分別是第33,37,38,55,59,70,76,78,80,85,98,100個(gè).并且返回到變點(diǎn)的估計(jì)值分為9 574.480，9 560.900，9 571.593，9 617.917，9 576.615，8 625.516，8 744.992，8 754.763，8 670.260，8 718.625，9 544.144，9 712.753.

5 結(jié)束語

本文針對(duì)于一種實(shí)際生產(chǎn)出現(xiàn)最多但研究卻很少的多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)，將變點(diǎn)模型與數(shù)據(jù)特征值很好的結(jié)合起來，構(gòu)造優(yōu)良統(tǒng)計(jì)量并用統(tǒng)計(jì)軟件編寫相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)程序通過數(shù)據(jù)模擬，驗(yàn)證了該方法的正確性與穩(wěn)健性.

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Application of Change Point Method in the Multinomial Distribution Data

BAI Yan-li, ZI Xue-min

(School of Science, Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222, China)

This paper uses the change point method to establish the monitoring model of the complex data based on the multinomial distribution data. Through the numerical simulation, it is proved that the test statistic is excellent. The change point model can accurately find the position of the change point and the estimate of the change point, which can provide a strong basis for more practical application.

multinomial distribution data; change point method; asymptotic normality; homogeneity test

1673-2103(2016)05-0011-07

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(11271205)

白艷麗(1990-)，女，山西晉中人，碩士研究生，研究方向：統(tǒng)計(jì)過程控制.

訾雪旻(1977-)，女，安徽亳州人，教授，博士，研究方向：統(tǒng)計(jì)過程控制.

O213.1

A