趙巍

【摘 要】根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍定理的特點(diǎn)及存在問題，闡述了在普遍定理教學(xué)的一些體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)力學(xué)普遍定理；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；動(dòng)能定理

Experiences on the Teaching of General Theorems of Dynamics

ZHAO Wei

（Division of Basic Courses Tangshan University， Tangshan Hebei 063000， China）

【Abstract】According to the characteristics and problems of general theorems of dynamics， several experiences on the teaching of general theorems of dynamics are introduced.

【Key words】General theorems of dynamics； Theorem of momentum； Theorem of angular momentum； Theorem of kinetic energy

0 引言

在理論力學(xué)中，動(dòng)力學(xué)篇是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，其研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)普遍定理是解決由多個(gè)剛體組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題最常用、最基本的方法。普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理，從不同的側(cè)面揭示了質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與其受力之間的關(guān)系。這些定理可分為兩類：動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理屬于一類，動(dòng)能定理屬于另一類。前者是矢量形式，后者是標(biāo)量形式；兩者都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而后者還可用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問題[1]。

這些定理既有矢量形式又有標(biāo)量形式，有些只需要考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；有些還需要考慮質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的影響，有些需要針對(duì)質(zhì)心進(jìn)行研究；而有些需要針對(duì)固定點(diǎn)來研究。此外，組成質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的各個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)又包括平面運(yùn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移等多種不同的形式。因此，針對(duì)動(dòng)力學(xué)普遍定理，不論是教師在教學(xué)過程中還是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，常常會(huì)感到內(nèi)容龐雜；缺乏清晰的脈絡(luò)，最終導(dǎo)致學(xué)生遇到動(dòng)力學(xué)問題時(shí)會(huì)感到無所適從；不知道應(yīng)該從哪個(gè)定理入手解決問題。與此同時(shí)，非力學(xué)專業(yè)的理論力學(xué)總學(xué)時(shí)在不斷縮減，有些院校甚至不足60學(xué)時(shí)，對(duì)于作為其中重要教學(xué)內(nèi)容的動(dòng)力學(xué)普遍定理，教師如何在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)將普遍定理?xiàng)l理清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前；達(dá)到學(xué)生能夠扎實(shí)地掌握理論知識(shí)并正確應(yīng)用各個(gè)定理求解動(dòng)力學(xué)問題呢？本文結(jié)合作者的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述了對(duì)動(dòng)力學(xué)普遍定理教學(xué)的一些體會(huì)。

1 合理安排學(xué)時(shí)

為了在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，一律省略定理繁瑣推導(dǎo)過程的講解，著重介紹定理的應(yīng)用。具體學(xué)時(shí)安排如下：

動(dòng)量定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）2學(xué)時(shí)，其中質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只不過是動(dòng)量定理的另一種形式，即將質(zhì)點(diǎn)系看成質(zhì)量及其所受的外力均集中在質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)。

動(dòng)量矩定理4學(xué)時(shí)。其中質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩；動(dòng)量矩定理；剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程占2學(xué)時(shí)，剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程占2學(xué)時(shí)。這里可以省略質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理講解，將結(jié)論直接應(yīng)用于剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程中。

動(dòng)能定理6學(xué)時(shí)。其中力的功；質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能；動(dòng)能定理占2學(xué)時(shí)，功率、功率方程、機(jī)械效率；勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律占2學(xué)時(shí)；普遍定理的綜合應(yīng)用占2學(xué)時(shí)。

習(xí)題討論課2學(xué)時(shí)。通過梳理動(dòng)力學(xué)普遍定理的知識(shí)脈絡(luò)，選取典型例題進(jìn)行分析、講解，達(dá)到學(xué)生熟練地掌握普遍定理應(yīng)用的效果。

定理（定律）守恒2學(xué)時(shí)。包括動(dòng)量守恒定律及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律；動(dòng)量矩守恒定律；機(jī)械能守恒定律，著重介紹定理成立的條件及其應(yīng)用。

2 對(duì)比分類、歸納總結(jié)

運(yùn)用對(duì)比式教學(xué)，不僅可以起到溫故知新的作用，而且可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、記憶和掌握。經(jīng)過歸納總結(jié)，厘清了知識(shí)脈絡(luò)，學(xué)生能夠很好地把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的線索，同時(shí)，有利于活躍學(xué)生思維；培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

首先，明確動(dòng)力學(xué)的兩類問題。第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求受力，求解過程一般需要求導(dǎo)。第二類問題：已知受力求運(yùn)動(dòng)，求解過程一般需要積分。

其次，對(duì)此、歸納各個(gè)定理適用范圍。動(dòng)量定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）通常用于求解受力——支座處的約束力。動(dòng)量矩定理既可以求解約束力——繩子張力、摩擦力等，也可以求解運(yùn)動(dòng)量——加速度（角加速度）或者速度（角速度）。講解時(shí)特別需要強(qiáng)調(diào)指出：動(dòng)量矩定理適用于對(duì)固定點(diǎn)或固定軸；并且是由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平移運(yùn)動(dòng)剛體組成的系統(tǒng)，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程僅適用于一個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，而平面運(yùn)動(dòng)微分方程只適用于平面運(yùn)動(dòng)的剛體。采用動(dòng)能定理（或者功率方程）求速度（角速度）或者加速度（角加速度）時(shí)很方便，通常取多個(gè)剛體組成的整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象；且對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)沒有限制。動(dòng)能定理通常不能用于求解約束力，因?yàn)槔硐爰s束均不做功。此外，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理雖然是矢量形式，但解題時(shí)采用其投影形式。

最后，歸納解題步驟。解題步驟就是分析思路的完整體現(xiàn)，應(yīng)按照如下步驟進(jìn)行。選取研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析；分析出全部力（主動(dòng)力、約束力），進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析不僅要明確各個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)；還要標(biāo)出運(yùn)動(dòng)的幾何量（速度、加速度等），根據(jù)分析的情況；選擇合適的定理（定律）求解問題。

3 上好習(xí)題討論課

采用啟發(fā)式、問題式等多種教學(xué)方式，充分發(fā)揮習(xí)題討論課復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)的作用。其中選擇具有代表性、典型性的例題非常關(guān)鍵，應(yīng)選擇以下兩種類型。

一種類型是：同一題目可以用不同定理求解。例如，教師選擇一個(gè)求解質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)量（速度、加速度）的問題。教師首先采用動(dòng)能定理，嚴(yán)格按照上述歸納的解題步驟求解。然后拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考是否還可以采用不同定理求解。有的學(xué)生通過前面的運(yùn)動(dòng)分析發(fā)現(xiàn)剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移，提出可以采用動(dòng)量矩定理。有的學(xué)生通過受力分析發(fā)現(xiàn)僅有有勢(shì)力（保守力）做功，可以采用機(jī)械能守恒定律。通過啟發(fā)性問題的提出，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，達(dá)到了拋磚引玉的效果。

另一種類型是：一道題目需要不同定理綜合應(yīng)用求解。例如，教師選擇一個(gè)既需要求解質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)量（速度、加速度）；又需要求解質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)受力的問題，并且系統(tǒng)中包括作平面運(yùn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng)的剛體。顯然只有動(dòng)能定理對(duì)系統(tǒng)各個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)沒有限制，可以取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象求出運(yùn)動(dòng)量。當(dāng)需要求解約束力時(shí)，問題留給學(xué)生：選取哪個(gè)研究對(duì)象采用哪個(gè)定理了？支座處的約束力怎樣求？答案百花齊放：選取平面運(yùn)動(dòng)的剛體采用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，選取一個(gè)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體采用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移剛體組成的系統(tǒng)采用動(dòng)量矩定理，求支座處的約束力采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。采用問題式教學(xué)起到承前啟后的作用，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率。

4 結(jié)語

根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍定理的特點(diǎn)及存在的問題，結(jié)合實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從教學(xué)內(nèi)容的安排、教學(xué)方法與教學(xué)手段等方面進(jìn)行了探索和研究，取得良好的教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（Ⅰ）第七版[M].北京：高等教育出版社，2009：311-312.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]