江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) (225009)

趙久勇 孟素紅

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“三角函數(shù)線”在《三角函數(shù)》教學(xué)中的研究現(xiàn)狀及教學(xué)建議

江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) (225009)

趙久勇 孟素紅

“三角函數(shù)線” 是三角函數(shù)概念中的一個(gè)輔助概念, 是用幾何中的有向線段數(shù)值表示三角函數(shù)值的一種數(shù)形結(jié)合方法.現(xiàn)行高中教材《必修4(蘇教版)》第12至13頁(yè)中給出了正弦線、余弦線、正切線的定義，其目的是使我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)及解決三角問(wèn)題時(shí), 既可利用坐標(biāo)系中代數(shù)工具的運(yùn)算之便, 又可借助單位圓內(nèi)幾何圖形的性質(zhì)之利.但教材限于篇幅原因, 對(duì)于本可貫穿整個(gè)三角學(xué)習(xí)的三角函數(shù)線, 僅在描繪三角函數(shù)的圖像、探究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí), 作了部分的應(yīng)用，給人頗有利器初露鋒芒即告收斂之感，筆者對(duì)近年來(lái)有關(guān)期刊刊登的有關(guān)“三角函數(shù)線”文章進(jìn)行梳理，現(xiàn)將研究現(xiàn)狀概括如下：

1 “三角函數(shù)線”在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用綜述

1.1 解釋三角函數(shù)定義

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則OM=x,MP=y與cosα=x,sinα=y相對(duì)照.用單位圓上三角函數(shù)線來(lái)解釋三角函數(shù)，可以使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量(角的弧度數(shù))到函數(shù)值(單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo))之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)明，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，也使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接明了，為后續(xù)的研究奠定基礎(chǔ).

1.2 方便記憶三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)

由三角函數(shù)線的作法和三角函數(shù)的定義可知，某一個(gè)三角函數(shù)在同一個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是一樣的.如正弦的符號(hào)取決于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的符號(hào)，余弦的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)，若P點(diǎn)在第二象限，x<0,y>0.事實(shí)上，當(dāng)P點(diǎn)在第二象限時(shí)，正弦線MP方向向上，數(shù)量為正，余弦線OM方向向左，數(shù)量為負(fù)，因此第二象限內(nèi)的正弦為正，余弦為負(fù)；同樣可得正切為負(fù)的，其余象限內(nèi)的三角函數(shù)的符號(hào)也可一一確定.

1.3 明晰三角函數(shù)的定義域

1.4 加深對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的理解

即隨著角α值的增大，余弦值相應(yīng)減小，從而余弦函數(shù)在[0,π]上是單調(diào)遞減的.正弦函數(shù)、正切函數(shù)單調(diào)性類推可得.

圖1

(3) 奇偶性：如sinα，不論α如何，-α的終邊OP′與α的終邊OP關(guān)于x軸對(duì)稱(如圖1)，這時(shí)，它們的正弦線長(zhǎng)短相等，方向相反.即MP′=-MP?sin(-α)=-sinα.同理，余弦函數(shù)、正切函數(shù)奇偶性類推可知.

1.5 辨別同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

圖2

1.6 推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

圖3

由于單位圓具有很好的對(duì)稱性，因此可以通過(guò)對(duì)單位圓上對(duì)稱點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角的三角函數(shù)線來(lái)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.下面以誘導(dǎo)公式(二)：f(π+α)=±f(α)為例來(lái)進(jìn)行探究(如圖3).

設(shè)角α的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)為P,則P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P′也在單位圓上，終邊OP′對(duì)應(yīng)的角是π+α，觀察角α和π+α的各三角函數(shù)線，正弦線分別是MP和MP′，余弦線分別是OM和OM′，正切線都是AT，且MP=-MP′,OM=-OM′，即有sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα.

2 “三角函數(shù)線”在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1 求三角函數(shù)的值

圖4

2.2 比較三角函數(shù)值的大小

例2 設(shè)α∈[0,2π) ，試比較sinα與cosα的大小關(guān)系

圖5-1 圖5-2 圖5-3

|OM|(如圖5-4)，MP>OM,即sinα>cosα;

圖5-4 圖5-5 圖5-6

2.3 解三角不等式

圖6

2.4 證明三角等式和不等式

圖7

圖8

3 教學(xué)建議

縱觀以上研究，“三角函數(shù)線”的教學(xué)對(duì)學(xué)生的解題有很大幫助.但為使學(xué)生對(duì)于“三角函數(shù)線”定義的理解及生成過(guò)程不再疑惑重重, 為使學(xué)生在透徹理解定義的基礎(chǔ)之上，更加清晰的應(yīng)用其解題.

筆者認(rèn)為教師在教學(xué)時(shí)需注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1 為什么用單位圓，其他圓是否可以？

問(wèn)題2 為什么過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線？過(guò)其他點(diǎn)是否可以？

圖9

問(wèn)題3 為什么當(dāng)α為第二、三象限角時(shí)切線交其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T?

圖10

圖11

4 教學(xué)嘗試

當(dāng)然，在本屆高一教學(xué)中，為了更好的便于學(xué)生對(duì)“三角函數(shù)線”的理解及應(yīng)用，我嘗試將教材中所介紹的“三角函數(shù)線”作了適當(dāng)?shù)男薷?保留其使用幾何圖形來(lái)理解三角的思想).操作如下：

定理 sinα=α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；cosα=α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)； tanα=α的終邊(或反向延長(zhǎng)線)與單位圓正切線(過(guò)A與單位圓相切的直線)交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

圖12 圖13

證明：(如圖12)作單位圓，設(shè)角α終邊與單位圓交點(diǎn)為P1(x1,y1).因?yàn)閞=1，由正、余弦函數(shù)定義知sinα=y1,cosα=x1；(如圖13)設(shè)角α終邊與單位圓正切線交點(diǎn)為P2(1,y2)，由正切函數(shù)定義知tanα=y2.

上述定理具有以下兩大優(yōu)點(diǎn):

一.定理推導(dǎo)簡(jiǎn)便，推導(dǎo)過(guò)程中只用學(xué)生剛學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義，學(xué)生容易理解和掌握，同時(shí)對(duì)鞏固三角函數(shù)定義也起到了積極作用.不需再引入“有向線段” 的有關(guān)概念，產(chǎn)生過(guò)程自然易懂，學(xué)生很容易接受.

二.定理完全能夠很好的保留“三角函數(shù)線”的幾何作用，而且應(yīng)用范圍更廣.由于定理是將三角函數(shù)值與相關(guān)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)直接對(duì)應(yīng)，使用起來(lái)非常方便.除了作三角函數(shù)圖像以外，還可輕松解決判斷三角函數(shù)值的正負(fù)、比較三角函數(shù)的大小、已知三角函數(shù)值求角、解三角不等式等.

[1]陳曦，張海玲，王尚志.HPM 視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)研究[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版)，2014，12(第35卷第6期)：23-27.

[2]王學(xué)先.三角函數(shù)中有趣的“楚河漢界”———“三角函數(shù)線”數(shù)學(xué)拓展型新課教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄及評(píng)析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2012,6:28-32.

[3]田新.三角函數(shù)線[J].數(shù)學(xué)通訊,1996,11:1-3.