☉上海市桃浦中學(xué)　張正麗

“授魚”與“授漁”的教學(xué)思考——新課標(biāo)下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的一個(gè)案例

☉上海市桃浦中學(xué)張正麗

蘇霍姆林斯基曾說：“我們不是教數(shù)學(xué)，而是教學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué).”這句話可以說是新課標(biāo)對(duì)教師、教材、學(xué)生三者之間關(guān)系的生動(dòng)寫照，學(xué)生既是教學(xué)過程的起點(diǎn)，也是教學(xué)過程的終點(diǎn)，只有當(dāng)“一切為了學(xué)生”的理念轉(zhuǎn)化為廣大數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實(shí)踐、教師和學(xué)生之間的平等對(duì)話成為現(xiàn)實(shí)時(shí)，新課程資源才能有效轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的知識(shí)資源和精神力量.因此，我們必須學(xué)會(huì)“傾聽學(xué)生”，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂上學(xué)習(xí)的真正主人.那么，我們應(yīng)該怎樣上好一節(jié)新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的高三復(fù)習(xí)課呢？下面這個(gè)案例是筆者引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)完數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)后，本著回歸教材、注重基礎(chǔ)、便于學(xué)生人人動(dòng)手的指導(dǎo)思想，真正起到“授漁”的作用.筆者布置了一道較長(zhǎng)時(shí)間的作業(yè)，呈現(xiàn)如下：

一、問題呈現(xiàn)

問題1：若正項(xiàng)數(shù)列｛an｝中，2Sn=an+1，求an.

問題2：在數(shù)列｛an｝中，a1=3，an+1=an+n（n∈N*），求an.

問題3：設(shè)數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）·

問題4：若數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+1=

問題5：在數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求an.

問題6：數(shù)列｛an｝滿足：an≠0，且an=求其通項(xiàng)公式an.

遞推數(shù)列求通項(xiàng)是高考數(shù)列的一個(gè)重要考查點(diǎn)，你認(rèn)為遞推數(shù)列求通項(xiàng)常見類型都有哪幾種？重點(diǎn)考查哪些思想？都有哪些求法？

二、教學(xué)實(shí)錄

1.展示成果，張揚(yáng)個(gè)性

教師：同學(xué)們，上周布置的數(shù)學(xué)作業(yè)完成了嗎？遞推數(shù)列求通項(xiàng)重點(diǎn)考查哪些思想？常見類型都有哪幾種？求法有幾種？

學(xué)生興致盎然，（紛紛說）重點(diǎn)考查歸納與遞推思想，有的說有5種，有的說有8種，有的說有9種……

教師：看來(lái)大家準(zhǔn)備得很充分啊！那誰(shuí)來(lái)說說問題1的解法呢？

學(xué)生1：利用和Sn與項(xiàng)an的關(guān)系an=Sn-Sn-1（n≥2），a1= S1，求數(shù)列的通項(xiàng)an.

因?yàn)?Sn=an+1①，所以n≥2時(shí)，2Sn-1=an-1+1②，由①-②得2an=an-an-1，所以an=-an-1，所以an=（-1）n-1.

也就是說，當(dāng)題目有前n項(xiàng)和Sn要求通項(xiàng)an時(shí)，就應(yīng)寫出和與項(xiàng)的關(guān)系Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an（n≥2），所以

教師：數(shù)列的通項(xiàng)an與前n和Sn之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，是“化異為同”，求數(shù)列通項(xiàng)公式的重要工具，在高考數(shù)列試題里出現(xiàn)的頻率較高，值得我們重視，注意an=Sn-Sn-1的條件是“n≥2”.

學(xué)生2：老師，這種情況是不是一定向an轉(zhuǎn)化呢？

教師：（眼光轉(zhuǎn)向其他同學(xué)）大家說呢？

學(xué)生：（大部分同學(xué)齊聲說）不一定，那要看具體的問題.

學(xué)生3：老師，我研究的這種情況，有時(shí)還可以“an→Sn”，例如“設(shè)數(shù)列｛an｝的前n和為Sn，若a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*，bn=Sn-3n，求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式.”可以說明.

教師：（示意學(xué)生3先不要說解決方案）哦！我們一塊來(lái)看一下吧！

學(xué)生4：老師，上一個(gè)題是求an，故由Sn向an轉(zhuǎn)化，而本題實(shí)際上是求Sn，所以由an向Sn轉(zhuǎn)化，逆向思維.我的解法是：由an+1=Sn+3n，知Sn+1-Sn=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，所以Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），所以數(shù)列｛bn｝是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，其首項(xiàng)b1=S1-3=a-3，所以bn=（a-3）·2n-1.

教師：很好！

圖1

學(xué)生5：老師，也不能說一定怎樣！有些時(shí)候可以“左右夾中間”.

教師：（以一種贊賞的眼神）具體說說.

學(xué)生5：例如“將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如圖1所示的數(shù)表，記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝，b1=a1=1.Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，且滿足（n≥2）.求證：數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式.”

教師：（示意學(xué)生5先不要說解決方案）我們還是先一塊來(lái)看一下吧！

教師：分析得非常透徹！當(dāng)題目中出現(xiàn)an與Sn關(guān)系的條件時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的相互轉(zhuǎn)化、化異為同，是解決問題的重要工具，但應(yīng)注意an=Sn-Sn-1的條件是“n≥2”.那么，誰(shuí)來(lái)說說第2題的解法呢？

學(xué)生7：利用累加法求通項(xiàng)an的公式an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1.由an+1=an+n，得an+1-an=n，所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）+（n-2）+…+2+

教師：那么，什么樣的類型可以用這種累加法求通項(xiàng)呢？誰(shuí)能總結(jié)一下？

學(xué)生8：形如an+1-an=f（n）的遞推公式可用累加法求通項(xiàng)an.

教師：這個(gè)f（n）如果是常數(shù)呢？

學(xué)生9：若f（n）為常數(shù)，則｛an｝是等差數(shù)列，所以an= a1+（n-1）d；若f（n）不為常數(shù)，則｛an｝不是等差數(shù)列，但｛an+1-an｝是等差數(shù)列（或等比數(shù)列），可累加求和.

教師：很好！那么，第3題又怎么做呢？

教師：有規(guī)律嗎？

學(xué)生11：形如an+1=an·f（n）的遞推公式都可利用累乘法求通項(xiàng)公式，這就是規(guī)律，但這個(gè)規(guī)律一定要找準(zhǔn)，只有這樣，才能開闊視野，提高解題能力.

教師：說得太好了！真是“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”！誰(shuí)能舉一個(gè)類似的題？

學(xué)生12：例如“在數(shù)列｛an｝中，a1=1，2an=求an.”

教師：怎么做呢？

教師：開門見山，直奔主題，說得好！該題還有不同解法嗎？

教師：非常正確！運(yùn)用了什么方法？

學(xué)生15：構(gòu)造法，構(gòu)造了一個(gè)等比數(shù)列.

學(xué)生16：這實(shí)際上也是一種換元法，形如an+1=can+ f（n）（其中c是常數(shù)，且c≠0）的遞推公式可用換元法求通項(xiàng)an，第5題也可以用這種換元法：由an+1=3an+2n，得2·，由待定系數(shù)法得，所以｛cn｝是首項(xiàng)為c1=b1+1=，公比為的等比數(shù)列，所以所以

教師：通過“元”與“元”的代換，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，通過換元可把未知的要解決的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的已知的問題.如把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題等，換元中的“元”可以表示常數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)等.那么，第4題又怎樣做呢？

學(xué)生17：令an+1+m=（an+m），則m=-2，故｛an-2｝是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列，所以an-2=-，即

教師：這又是一種什么方法呢？

學(xué)生18：還是一種換元法！

學(xué)生19：我覺得更突出了待定系數(shù)法，形如an+1=qan+ d（q≠1，d≠0）的遞推公式都可用待定系數(shù)法求通項(xiàng)an.

教師：很好！待定系數(shù)法，實(shí)質(zhì)上就是一種拆分變換，就是將形如an+1=qan+d（q≠1，d≠0）的遞推公式拆分后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形式.

學(xué)生20：老師，第4題我們也可以這樣把遞推公式拆分后轉(zhuǎn)化為

教師：充分體現(xiàn)了遞推思想，這也是一種化歸法，漂亮！而如果我們把遞推關(guān)系改為an+1=2an+1，問題又怎樣解決呢？

學(xué)生21：前面的待定系數(shù)法、化歸法仍然適用！

教師：還可以怎樣解決呢？

學(xué)生22：還可以在an+1=2an+1兩邊同除以2n+1，得所以an=3·2n-2，這中間用了換元法，也用了累加法.

教師：那么，對(duì)于形如an+1an=can+1+dan（其中c、d是不為零的常數(shù)）的遞推公式，又怎樣求通項(xiàng)呢？

學(xué)生23：兩邊同除以an+1an，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，進(jìn)而可用待定系數(shù)法或換元法解決.

教師：非常好！在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，常會(huì)遇到一些用常規(guī)方法很難解決的分式問題，對(duì)此類問題，若能根據(jù)題目所給的條件巧取倒數(shù)，再求解，往往會(huì)收到立竿見影、事半功倍的效果.

2.總結(jié)反思，完善認(rèn)知

教師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，常見的遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題主要有哪幾種類型？誰(shuí)能總結(jié)一下？

學(xué)生25：常見的遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題主要有6種類型：（1）已知和Sn與項(xiàng)an的關(guān)系求通項(xiàng)an；（2）形如an+1-an= f（n）的遞推公式求通項(xiàng)an；（3）形如an+1=an·f（n）的遞推公式求通項(xiàng)an；（4）形如an+1=can+f（n）（其中c是常數(shù)，且c≠0）的遞推公式求通項(xiàng)an；（5）形如an+1=qan+d（q≠1，d≠0）的遞推公式求通項(xiàng)an；（6）形如an+1an=can+1+dan（其中c、d是不為零的常數(shù)）的遞推公式求通項(xiàng).

學(xué)生26：老師，實(shí)際上第1種類型可轉(zhuǎn)化為第2種類型或第3種類型；第5種類型從屬于第4種類型，只是f（n）有常數(shù)和非常數(shù)之分.所以只有4種類型.

教師：撇開了具體條件，高屋建瓴，很有道理！那么，遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題的解決方法都有哪些？

學(xué)生27：遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題的關(guān)鍵在于通過對(duì)已知遞推數(shù)列公式采用：利用an與Sn之間的關(guān)系化異為同、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法、倒數(shù)法、化歸遞推法、歸納猜想法等將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列問題來(lái)處理.

教師：很好！同學(xué)們既能解題，又能編題，還會(huì)評(píng)題，元認(rèn)知水平很高，體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)素質(zhì)！這種方式把學(xué)生變成了學(xué)習(xí)的主體，使其能動(dòng)性和獨(dú)立性不斷生成、張揚(yáng)、發(fā)展、提升，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.F