李傳軍，陳 浩，楊 競(jìng)，雒新宇

(1.承德石油高等?？茖W(xué)校 資產(chǎn)與后勤管理處，河北 承德 067000；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量研究所中鐵檢驗(yàn)認(rèn)證中心，北京 100083)

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基于NLopt的幾何誤差評(píng)定算法模型實(shí)現(xiàn)

李傳軍1，陳 浩2，楊 競(jìng)1，雒新宇1

(1.承德石油高等?？茖W(xué)校 資產(chǎn)與后勤管理處，河北 承德 067000；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量研究所中鐵檢驗(yàn)認(rèn)證中心，北京 100083)

在基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包下，應(yīng)用VC++和MATLAB設(shè)計(jì)開發(fā)各類算法的幾何誤差評(píng)定軟件和評(píng)定結(jié)果可視化。通過對(duì)多組測(cè)量數(shù)據(jù)的處理，驗(yàn)證幾何誤差算法的準(zhǔn)確性、高精度和軟件的可行性，為復(fù)雜形狀的幾何誤差評(píng)定實(shí)現(xiàn)提供實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

幾何誤差；形狀要素；評(píng)定算法；可行性；準(zhǔn)確性

要判定零件加工是否滿足要求，就要對(duì)其幾何誤差進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量和對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差評(píng)定。幾何誤差判定結(jié)果做為零件合格與否的重要依據(jù)，也為提高零件加工質(zhì)量提供保證[1]。

1 各類幾何誤差的數(shù)學(xué)模型

1.1 幾何誤差項(xiàng)目

根據(jù)新一代產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范，形狀誤差[1]根據(jù)誤差分類情況主要包括項(xiàng)目如表1所示。

1.2 幾何誤差的數(shù)學(xué)模型

幾何誤差主要包括直線度誤差、平面度誤差、圓度誤差和圓柱度誤差。幾何誤差的數(shù)學(xué)模型主要采

用最小區(qū)域法和最小二乘法。在圓度誤差和圓柱度誤差算法處理過程中還可以采用最小外接圓法和最大內(nèi)接圓法。

2 幾何誤差模型算法設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

對(duì)數(shù)據(jù)擬合和誤差值計(jì)算有多種方法[2-9]，相比于其他算法，由于NLopt采用C/C++語(yǔ)言，非線性最優(yōu)化軟件包也是開放的，便于研究算法的具體實(shí)現(xiàn)過程以及算法的可行性，因此選用基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包的算法進(jìn)行誤差評(píng)定。NLopt算法簡(jiǎn)潔且計(jì)算精度高，只需要構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù)和邊界值即可。

表1 幾何誤差項(xiàng)目

目標(biāo)函數(shù)的獲得是根據(jù)第1部分建立的各幾何形狀的數(shù)學(xué)模型和評(píng)定準(zhǔn)則，擬合算法的目標(biāo)函數(shù)；邊界值的估計(jì)由Eigen(Eigen是一個(gè)數(shù)據(jù)處理函數(shù)庫(kù))中奇異值分解的軟件包，只需要按照其使用方法來設(shè)計(jì)相關(guān)函數(shù)和程序即可。

通過已建立好的目標(biāo)函數(shù)和從奇異值分解獲得估計(jì)初值，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)各幾何形狀的擬合和誤差評(píng)定[9,10]。下面以圓度和圓柱度為例進(jìn)行算法設(shè)計(jì)。

2.1 圓度的算法設(shè)計(jì)

1)最小區(qū)域法。圓度的最小區(qū)域法的目標(biāo)函數(shù)如式(1)，即：

FMZ(x0,y0)=fmax-fmin=min

(1)

對(duì)于平面圓的最小區(qū)域法而言，其初始值估計(jì)共有兩個(gè)參數(shù)，另外x0、y0分別是測(cè)量點(diǎn)的兩個(gè)算術(shù)平均值，即x0=∑，y0=∑，為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到評(píng)定基準(zhǔn)圓圓心的最大、最小距離。

得到目標(biāo)函數(shù)和初始值之后就可以基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包計(jì)算出參數(shù)的優(yōu)化值，由式(1)即可得到所求誤差值。

2)最小二乘法。圓度的最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)如式(2)，即：

(2)

3)最小外接圓法。圓度的最小外接圓法的目標(biāo)函數(shù)如式(3)，即：

FME(x0,y0)=fmax=min

(3)

對(duì)于平面圓的最小外接圓法而言，其初始值估計(jì)共有兩個(gè)參數(shù)，x0、y0分別是測(cè)量點(diǎn)的兩個(gè)算術(shù)平均值，即x0=∑,y0=∑。

得到目標(biāo)函數(shù)和初始值之后就可以基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包計(jì)算出參數(shù)的優(yōu)化值，由圓度誤差值 均可表示為：

f=fmax-fmin

(4)

其中fmax，fmin為實(shí)測(cè)點(diǎn)到圓心的最大、最小距離。

4)最大內(nèi)接圓法。圓度的最大內(nèi)接圓法的目標(biāo)函數(shù)如式(5)，即：

FMI(x0,y0)=fmin=max

(5)

2.2 圓柱度的算法設(shè)計(jì)

1)最小區(qū)域法。圓柱度的最小區(qū)域法的目標(biāo)函數(shù)如式(6)，即：

FMZ(a,b,c,x0,y0,z0)=fmax-fmin=min

(6)

對(duì)于圓柱的最小區(qū)域法而言，其初始值估計(jì)共有六個(gè)參數(shù)，即a,b,c,x0,y0，其中a為圓柱軸線的方向余弦，x0、y0、z0為圓柱軸線上一點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)值。由于圓柱的初值估計(jì)較為復(fù)雜，故使用已知的擬合結(jié)果在數(shù)值上減去1作為下邊界值。

設(shè)基準(zhǔn)圓柱半徑為r，各種評(píng)定方法的圓柱度誤差值f均可以表示為：

f=fmax-fmin

(7)

上式中fmax和fmin分別表示為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)到基準(zhǔn)圓柱軸線的最大和最小距離。

2)最小二乘法。其目標(biāo)函數(shù)如式(8)，即：

FLS(a,b,c,x0,y0,z0,r)=∑(fi-r)2=min

(8)

3)最小外接圓柱法。圓柱度的最小外接圓柱法的目標(biāo)函數(shù)如式(9)，即：

FME(a,b,c,x0,y0,z0)=fmax=min

(9)

4)最大內(nèi)接圓柱法。圓柱度的最大內(nèi)接圓柱法的目標(biāo)函數(shù)如式(10)，即：

FMI(a,b,c,x0,y0,z0)=fmin=max

(10)

3 幾何誤差模型算法驗(yàn)證——以圓柱度評(píng)定為例

為驗(yàn)證基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包開發(fā)的軟件的正確性，應(yīng)用該軟件進(jìn)行了多組測(cè)量數(shù)據(jù)的處理，應(yīng)用軟件的評(píng)定結(jié)果與美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)研究院(NIST)給出的評(píng)定結(jié)果比較，均驗(yàn)證了本軟件的準(zhǔn)確性和實(shí)用性?，F(xiàn)給出圓柱度的評(píng)定結(jié)果。

1)評(píng)定數(shù)據(jù)。評(píng)定數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 圓柱度誤差評(píng)定數(shù)據(jù) μm

2)評(píng)定結(jié)果。根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，得到表3和表4所示的圓柱度誤差評(píng)定結(jié)果。

3)可視化結(jié)果。根據(jù)表2數(shù)據(jù)，圓柱度誤差評(píng)定的可視化圖形如圖3所示。

表3 圓柱度誤差評(píng)定結(jié)果一 μm

表4 圓柱度誤差評(píng)定結(jié)果二 μm

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要以各種幾何形狀的擬合及其誤差評(píng)定為研究對(duì)象，主要研究了：

1)在基于NLopt非線性最優(yōu)化軟件包下，應(yīng)用VC++設(shè)計(jì)開發(fā)了幾何誤差的評(píng)定程序，使運(yùn)行結(jié)果更加準(zhǔn)備和直觀。

2)以圓柱度幾何誤差評(píng)定為例進(jìn)行算法驗(yàn)證。

[1] 產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定[S]．GB 1958—2004．

[2] 李淑娟．基于坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)的形狀誤差評(píng)定軟件包的開發(fā)[D]．西安：西安理工大學(xué)，2006．

[3] 陳永鵬．基于MATLAB優(yōu)化工具箱的機(jī)械產(chǎn)品形狀誤差評(píng)定系統(tǒng)研究[D]．成都：四川大學(xué)，2003．

[4] Doxygen，Main Page．http：//eigen.tuxfamily.org/dox/index.html，2009-05-09．

[5] Steven G，Johnson，NLopt manual．http：//ab-initio.mit.edu/wiki/index.php，2009-11-21．

[6] 熊有倫．最小區(qū)域的判別準(zhǔn)則計(jì)算仲裁[J]．計(jì)量學(xué)報(bào)，1987，8(2)：126-133．

[7] 趙維謙，譚久彬，楊文國(guó)，等．基于兩步法超精密圓度儀誤差分離系統(tǒng)[J]．中國(guó)機(jī)械工程，2000，11(11)：1206-1208．

[8] 羅小燕，姜志宏，肖鋒，等．大型回轉(zhuǎn)類零件形位誤差測(cè)量系統(tǒng)的研究[J]．機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2010，7(7):108-109．

[9] 姜麗華．非接觸式實(shí)時(shí)在線線徑測(cè)量系統(tǒng)的研究與開發(fā)[D]．大連：大連理工大學(xué)，2005．

[10] 李傳軍，李振華．三維空間刀具半徑補(bǔ)償算法實(shí)現(xiàn)[J]．承德石油高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2014，16(5):29-32．

Geometric Error Evaluation Algorithm Based on NLopt Model Implementation

LI Chuan-jun1， CHEN Hao2， YANG Jing1， LUO Xin-yu1

(1.Assets and Logistics Administration Section， Chengde Petroleum college， Chengde 067000, Hebei, China; 2.China Railways Production Certification Center， China Academy of Railway Sciences, Beijing 100083, China)

Under the nonlinear optimization software package based on NLopt, this paper uses VC++ and MATLAB to design and develop all kinds of algorithm of geometric error evaluation software and visual evaluation results. Multiple sets of measurement data processing is applied to validate the accuracy of the algorithm on form and position errors, high precision and the feasibility of the software, and provide practical application value for complex shape of form error evaluation implementation.

geometric error; shape factor; evaluation algorithm; feasibility; accuracy

河北省科技技術(shù)計(jì)劃項(xiàng)目(基于曲面直接插補(bǔ)的空間刀具補(bǔ)償技術(shù)研究)：13211825

2016-06-20

李傳軍(1975-)，男，吉林蛟河市人，承德石油高等?？茖W(xué)校資產(chǎn)與后勤管理處副教授，博士生，研究方向：開放式數(shù)控系統(tǒng)、數(shù)控技術(shù)和曲面插補(bǔ)。

TB921

A

1008-9446(2016)05-0043-04