黨偉+孫雨

摘要：在運用邊界元方法計算開域場中的電場時，為提高傳統(tǒng)一階邊界元法的精度問題，提出NURBS曲面四邊形邊界元法。此方法是對計算模型進行二階四邊形剖分，采用剖分信息構造出NURBS曲面參數(shù)方程，然后用面積比值法定義曲面上頂點的形狀函數(shù)，曲面四邊形的四個頂點作為求解點，計算NURBS曲面四邊形單元上的積分值。

關鍵詞：NURBS；電場強度；提高精度；電場計算；邊界元法 文獻標識碼：A

中圖分類號：TM151 文章編號：1009-2374（2016）29-0018-04 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.29.008

邊界元法在求解電磁數(shù)值計算中，是利用離散技術將求解的邊界面離散為邊界單元，將邊界問題等價轉化為邊界積分方程問題，同時把邊界積分方程離散為代數(shù)方程組，最后利用數(shù)值方法計算方程組，得到邊界積分方程的解。

本文提出NURBS曲面四邊形邊界元方法。利用二階剖分單元的節(jié)點信息，構造出NURBS曲面四邊形單元，以曲面四邊形單元的頂點為求解點，計算NURBS曲面四邊形單元上的積分，最后形成NURBS曲面四邊形邊界元方法求解三維電場邊值問題。

1 NURBS曲面邊界元的基本原理

1.1 有理B樣條基函數(shù)

NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）方法，是在B樣條方法基礎上發(fā)展起來的，為了能進一步精確地描述有理數(shù)，推廣得到有理多項式基函數(shù)。將B樣條基函數(shù)推廣到有理的基函數(shù)，就得到了NURBS方法的基函數(shù)即有理B樣條基函數(shù)，而且NURBS曲面在中心投影下得到B樣條曲面，所以研究NURBS方法就必須了解B樣條方法基礎。

B樣條函數(shù)的概念最初是由Schoenberg于1946年提出的。由de Boor-Cox公式得出提出B樣條的遞推公式為：

式中：稱為相應于序列的次，即階B樣條基函數(shù)。其中，下標表示序號，下標表示次數(shù)?？梢钥闯鱿胍玫降趥€次B樣條基函數(shù)，就得共個節(jié)點序列，而且的支撐區(qū)間為。由該定義出發(fā)，可以導出任意階次的B樣條基函數(shù)。文章中是采用高斯積分方法求解數(shù)值積分，由于高斯積分法對應的積分區(qū)間為。而在區(qū)間上B樣條基函數(shù)為均勻的基函數(shù)，根據(jù)B樣條基函數(shù)的性質，次B樣條基函數(shù)只有個基函數(shù)在上非零，而且在上都為多項式函數(shù)。取，則由式（1）可得均勻2次B樣條基函數(shù)表達式為：

有理B樣條基函數(shù)作為對B樣條基函數(shù)的推廣，一個基函數(shù)變?yōu)橛欣矸质绞紫刃枰鄳囊粋€多項式作為分母，然而考慮到相同的分母將會給有理分式之間的計算帶來簡便。再注意到B樣條基函數(shù)具有的“權”性，即在區(qū)間的非負性和單位分解性，因此可以采取下面的方法：給每一個B樣條基函數(shù)乘以一個“權因子”，再用它們的“和”作為統(tǒng)一分母進行“平均”，這樣就得到了次有理B樣條基函數(shù)為：

1.2 NURBS曲面

NURBS曲面是非有理張量積型性B樣條曲面的有理推廣，類似于NURBS曲線定義，一張次NURBS曲面有理式可以表示為：

其中是雙變量的有理基函數(shù)：

式中：為控制點；為與控制點相應的權因子；和分別為參數(shù)向次和參數(shù)向次的定義在和規(guī)范有理B樣條基函數(shù)。

根據(jù)式（3），當時，得到廣泛應用的雙二次NURBS曲面的數(shù)學模型為：

上式中是由式（2）推導出，為的轉置矩陣。

根據(jù)式（7），要得出NURBS曲面的參數(shù)方程，必須就算出控制點P11，P12，…，P33。根據(jù)有理式表示的NURBS曲面參數(shù)方程還可以表示為，其中為曲面數(shù)據(jù)點列，維數(shù)為；為有理基函數(shù)，維數(shù)為，為方陣，則逆矩陣存在；是控制點，維數(shù)為。在已知曲面上的數(shù)據(jù)點列，假定權因子時，經(jīng)過矩陣求逆變換可得到雙二次NURBS曲面控制點矩陣求逆變換可得。

1.3 四邊形單元上的形狀函數(shù)

本文是以四邊形單元的四個頂點為求解點，運用面積比值法構造曲面四邊形頂點上的形狀函數(shù)。曲面單元如圖1所示，曲面單元上任意一點處的函數(shù)值由4個頂點節(jié)點i、j、k、l上的函數(shù)值和點相對于4個頂點節(jié)點的形狀函數(shù)插值得到。在圖1中，點處的兩條參數(shù)等值線將曲面單元分成、、、共4部分，其中每一部分的面積都可以通過曲面參數(shù)方程得到。設曲面單元總的面積為。則點處關于4個頂點的形狀函數(shù)定義為：

1.4 邊界元法

三維靜電場光滑邊界的積分方程為：

式中：為邊界上的場點；為邊界上的源點；為場點電位；為源點電位；為源點到場點的距離，；為邊界外法線方向；S為求解區(qū)域的邊界。

2 NURBS曲面邊界元算例分析

2.1 算例一

如圖2是高為2、半徑為1的四分之一圓柱面。運用面積計算可知其表面積為。將其剖分一個單元，得出節(jié)點信息后，導入一階平面四邊形邊界元程序計算其表面積為2.8284，相對誤差為9.97%。將節(jié)點信息導入NURBS曲面邊界元程序計算出四分之一圓柱面的表面積為3.1645，相對誤差為0.073%?？梢缘贸鯪URBS曲面邊界元程序相比一階平面四邊形邊界元程序精度提高了9.24%，所以NURBS曲面更接近實際的四分之一圓柱面，NURBS曲面邊界元比一階平面四邊形邊界元計算更加精確。

2.2 算例二

半徑為1的導體球面，給導體球面加上100V電壓，求解球面上的電場強度。用ANSYS建立球面模型，將其自由剖分54個單元，導出單元及節(jié)點信息代入NURBS曲面邊界元程序計算各節(jié)點上的電場強度，結果云圖如圖3（a）。建立模型后進行一階單元剖分，自由剖分為54個單元，代入一階平面四邊形邊界元程序計算得出結果為圖3（b）。將兩種計算沿球面電場強度的結果在同一坐標系中呈現(xiàn)為圖3（c）。

由電磁場知識得知半徑為1m的導體球面加上100V電壓，則球面上的電場強度為100V/m。NURBS曲面邊界元計算結果最大相對誤差為1.46%，一階平面四邊形邊界元計算結果最大誤差為12.94%。從兩種計算得出沿球面上電場強度分布，可以得出NURBS曲面邊界元計算結果基本上落在電場強度100V/m左右，節(jié)點分布相對規(guī)律。一階平面四邊形邊界元計算結果距離電場強度100V/m偏差加大，節(jié)點分布相對零亂。所以可以得出在相同的剖分單元下，NURBS曲面單元擬合出的曲面更接近實際的球面，計算結果相對一階平面也更加精確。

2.3 算例三

陶瓷絕緣子型號XP-120，絕緣子結構高度為146mm，建立該絕緣子模型后對邊界面采用二階四邊形單元規(guī)則剖分240個單元，如圖4（a）。高壓端金具施加kV電壓，低壓端金具電壓為0V。傘群和芯棒認為是一種介質，相對介電常數(shù)為6.0，分別用NURBS曲面邊界元法和一階平面四邊形邊界元法計算絕緣子的電場強度。為了驗證邊界元算法計算結果的正確性，根據(jù)軸對稱可以用二維軸對稱高精度有限元法（無限遠處為零電位）計算絕緣子電場強度進行結果對比分析驗證，單位為kV/mm。

由圖4從數(shù)值可以看出，NURBS曲面邊界元法計算的絕緣子上最大電場強度為13.95kV/mm，高精度有限元計算結果為13.134kV/mm，一階平面四邊形邊界元法計算結果為17.675kV/mm。對比圖4（b）、圖4（c）、圖4（d）可知，NURBS曲面邊界元法與高精度有限元算法計算結果基本一致；一階平面四邊形邊界元法計算結果相對誤差為34.5%左右，可以得出NURBS曲面邊界元法比一階平面四邊形邊界元法明顯的精度提高。邊界元算法只需要對求解模型的邊界進行剖分，求解的規(guī)模明顯小一些，這也是邊界元法相比有限元法的優(yōu)勢。

3 結語

相比于傳統(tǒng)的邊界元法，提出了NURBS曲面四邊形邊界元方法，該方法在不增加節(jié)點的情況下提高邊界元方法計算的精度。通過算例表明，該方法比傳統(tǒng)一階平面單元更逼近實際邊界，既提高了精度，又沒有增加節(jié)點數(shù)，達到了比較理想的效果。

參考文獻

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[4] 李亞莎，王澤忠.基于圓環(huán)坐標系的三維靜電場曲面三角形邊界元法[J].電工技術學報，2006，21（9）.

作者簡介：黨偉（1975-），男，湖北十堰人，國網(wǎng)湖北省電力公司十堰供電公司高級工，助理工程師。

（責任編輯：黃銀芳）