孫 歡

(渭南師范學(xué)院 科學(xué)技術(shù)處，陜西 渭南 714099)

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【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

量子態(tài)的局部酉等價(jià)分類問題研究

孫 歡

(渭南師范學(xué)院 科學(xué)技術(shù)處，陜西 渭南 714099)

討論了在量子態(tài)局部酉等價(jià)(LU等價(jià))條件下系統(tǒng)密度矩陣的有關(guān)性質(zhì)，包括密度矩陣的秩、特征值及奇異值的關(guān)系，得到了兩個(gè)態(tài)LU等價(jià)的充分必要條件是兩者的核心張量相同或僅相差具有特定結(jié)構(gòu)算子。

密度矩陣；局部酉等價(jià)；奇異值

眾所周知，量子態(tài)的等價(jià)分類問題研究已經(jīng)成為量子計(jì)算和量子通信領(lǐng)域中的一個(gè)重大課題。近年來，在量子態(tài)的等價(jià)分類問題上，不論是對(duì)多體量子態(tài)純態(tài)等價(jià)的討論，還是對(duì)多體量子態(tài)混合態(tài)等價(jià)的討論，相比以前都取得了極大進(jìn)步[1]。本文在符合量子力學(xué)假設(shè)前提條件下，針對(duì)量子態(tài)的局部酉等價(jià)(LU等價(jià))有關(guān)問題，討論了滿足兩個(gè)局部酉等價(jià)的量子態(tài)所對(duì)應(yīng)密度矩陣滿足的條件，并且通過向量的n指標(biāo)矩陣表示的定義給出了量子態(tài)的n指標(biāo)矩陣表示，最后得到了量子態(tài)局部酉等價(jià)所滿足的條件和定理，通過舉例證實(shí)了結(jié)論的正確性。

1 量子態(tài)的LU等價(jià)

其中：Ui(i=1,2,…,n)是Hi上的酉算子。

(1)ρφ=UρψU+(U為酉陣)，且ρψ,ρφ的奇異值相同；

我們知道，對(duì)于一個(gè)封閉的量子系統(tǒng)，它的演化是由一個(gè)酉變換來描述的，即系統(tǒng)在時(shí)刻t1的狀態(tài)ρ1和時(shí)刻t2的狀態(tài)ρ2由一個(gè)僅依賴于時(shí)間t1,t2的酉算子聯(lián)系：ρ2=U(t1,t2)ρ1U(t1,t2)+，即LU等價(jià)的量子態(tài)也可以看作是一個(gè)封閉量子系統(tǒng)演化下不同時(shí)刻的態(tài)。

定義2給出了矩陣到向量之間的映射，容易驗(yàn)證對(duì)于兩體量子態(tài)，通過這樣的映射，把兩個(gè)態(tài)|a〉和|b〉的外積轉(zhuǎn)換成了|a〉和|b〉的張量積的形式，對(duì)于兩體量子態(tài)的矩陣表示，記為f-1(|ψ〉)=ψ。

通過上述定義，給出定理：

|φ〉 =U2?V2|S2〉=(U2?V2)|S1〉

=(U2?V2)(U1?V1)+|ψ〉=U2U1+?V2V1+|ψ〉，

下面通過例題驗(yàn)證LU等價(jià)的量子態(tài)所符合的條件和性質(zhì)。

例1 Bell態(tài)均是LU等價(jià)的[4]。

證明 Bell態(tài)對(duì)應(yīng)的矩陣表示和奇異值分解分別為：

可以看到，Bell態(tài)所對(duì)應(yīng)的矩陣表示具有相同的奇異值，由定理1的結(jié)論可以得到 Bell態(tài)均是LU等價(jià)的。

令

2 多體量子態(tài)的分類

定理2說明了兩體態(tài)LU等價(jià)的充要條件，我們用多維張量積的奇異值分解[5]來研究多體態(tài)的LU等價(jià)問題。

定義3 對(duì)A∈CI1×I2×…×IN，定義矩陣An∈MIn×(In+1In+2…INI1I2…In-1)，即對(duì)應(yīng)In行In+1…INI1…In-1列矩陣，其中An矩陣中的元素ai1i2…iN位于An的第in行第(in+1-1)In+2…INI1…In-1+…+(iN-1)I1…In-1+

(i1-1)I2…In-1+(i2-1)I3…In-1+…in-1列，稱An為A的n指標(biāo)矩陣表示。

例3 設(shè)A∈R3×2×3，其中

a111=a112=a211=-a212=1，a223=a321=a323=4，

a113=a312=a123=a322=0，a121=a122=a213=a221=-a222=a311=a313=2。

對(duì)應(yīng)的矩陣表示分別為

定理2 (多維張量積的奇異值分解定理)設(shè)A∈CI1×I2×…×IN，則有下式成立：

其中：U(n)是一個(gè)In×In酉陣，A×nU為A的n模積，S∈CI1×I2×…×IN且滿足以下條件：

(1)〈Sin=α,Sin=β〉=0(α≠β，Sin=α表示固定第n個(gè)指標(biāo)為α)；

(2) ‖Sin=1‖≥‖Sin=2‖≥…≥‖Sin=IN‖≥0,(n=1,2,…，N)，其中：S稱為A的核心張量。

可以看到定理2使用起來比較復(fù)雜，通過定義3中的矩陣表示可以給出下面的等價(jià)關(guān)系式：

An=Un·Sn·(Un+1?Un+2?…UN?U1?…?Un-1)T。

由定理2對(duì)多體態(tài)|ψ〉有下式成立：

ψn=Un·Sn·(Un+1?Un+2?…UN?U1?…?Un-1)T。

故|ψ〉∈C2?C2?C4的核心張量為

引理1 若|ψ〉=?nUn|S〉且|ψ〉=?nVn|S'〉，則|S'〉=?nQn+|S〉，其中：Qn具有例2中U1，U2的形式，即Qn是與|ψ〉的n指標(biāo)矩陣表示的奇異值結(jié)構(gòu)一致的分塊對(duì)角酉陣。

證明 因?yàn)閨ψ〉=?nUn|S〉，由向量的n指標(biāo)矩陣表示定義知有下式成立：

ψn=Un·Sn·(Un+1?Un+2?…UN?U1?…?Un-1)T。

又由于|ψ〉=?nVn|S'〉，有下式成立：

故有下式成立：

|ψ〉=?nWn|S〉,|φ〉=?nVn|S'〉。

由條件知|ψ〉=?nUn+|φ〉=(?nUn+)(?nVn)|S'〉，由引理1得|S'〉=?nQn+|S〉。

充分性：設(shè)|S'〉=?nQn+|S〉，對(duì)|ψ〉,|φ〉進(jìn)行多維張量的奇異值分解得：

|ψ〉=?nWn|S〉=(?nWn)(?nPn)|S'〉，

|φ〉=?nVn|S'〉。

則有下式成立：

即|φ〉=?nUn|ψ〉。

3 結(jié)語

本文主要討論了量子態(tài)的LU等價(jià)問題，通過量子系統(tǒng)的密度矩陣和量子態(tài)的矩陣表示方法，得出了兩個(gè)態(tài)LU等價(jià)所滿足的條件和定理，證明了兩個(gè)態(tài)LU等價(jià)的充要條件是它們的核心張量相同或僅相差具有特定結(jié)構(gòu)的算子。

[1] M. Walter,B. Doran,D. Gross,et al.Entanglement polytopes: multiparticle entanglement from singleparticle information[J].Science，2013,340(6137):1205-1208.

[2] Michael A.Nielsen,Isaac L. Chuang.量子計(jì)算和量子信息[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3] David W. Lyons, Scott N. Walck. Multiparty quantum states stabilized by the diagonal subgroupof the local unitary group[J].Phys.Rev.A,2008,78(4):042314.

[4] W.Dur,G.Vidal,J.I.Cirac. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways[J].Phys.Rev.A,2000,62(6):062314.

[5] T.Bastin,S.Krins,P.Mathonet,et al.Operational families of entanglement classes for symmetric n-qubit states[J].Phys.Rev.Lett,2009,103(7):070503.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

A Research on Classification of Quantum States under LU Equivalence

SUN Huan

(Department of Science and Technology,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

This paper discusses the properties of density matrix of multi-partite quantum states on local unitary equivalence, including the rank, eigenvalue and singular value of density matrix. Especially, it is proved that two states are local unitary equivalence if and only if their core tensors are the same or differ by a specific structure of the operator.

density matrix; local unitary equivalence; singular value

O177.1

A

1009-5128(2016)19-0019-05

2016-08-21

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目:量子態(tài)分類與量子絕熱逼近中的算子論方法(11371012)

孫歡(1989—)，女，陜西大荔人，渭南師范學(xué)院科學(xué)技術(shù)處教師，理學(xué)碩士，主要從事量子信息與量子計(jì)算研究。