雷前召，張寧寧

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

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【自然科學基礎理論研究】

規(guī)則形狀均勻帶電平面之中心垂軸電場差異性研究

雷前召，張寧寧

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

對均勻帶電圓盤和正多邊形面盤、圓環(huán)和正多邊形環(huán)以及含圓孔、正多邊形的無限大平面中心垂軸的電場分布進行了計算，并對所得解析結(jié)果進行了對比。通過模擬，得到圓盤、圓環(huán)均勻帶電平面中心垂軸電場分布圖，尤其是不同環(huán)面寬度的中心垂軸場強分布；對模擬結(jié)果進行了分析及總結(jié)。正多邊形的面盤、環(huán)的模擬結(jié)果具有相同的結(jié)論。通過對比，加深了對各種規(guī)則形狀帶電平面中心垂軸電場差異性的認識。

規(guī)則形狀；中心垂軸；電場差異性

帶電體的電場分布研究、帶電體的場強計算方法較多[1-9]，其中規(guī)則形狀帶電平面中心垂軸電場強度分布研究，比如對圓線圈、圓盤、圓柱面等中心軸線上的電場強度的計算[1-7]，一般局限于對場強分布公式進行推導，或?qū)δ骋恍螤顜щ婓w電場進行較深入探討；而對各種有規(guī)則形狀帶電平面軸線的電場分布的比較研究較少，對這些電場分布的一些共同特性研究不夠深入。而這些研究僅依靠簡單形狀均勻帶電體的電場強度計算方法——高斯定理、電勢梯度和場強積分等，往往得不到理想結(jié)果，因此，開展本研究尚有必要。

1 均勻帶電圓盤、圓環(huán)、有圓孔無限大平面中心垂軸電場

1.1 電場分布計算

均勻帶電圓盤、圓環(huán)及含圓孔平面如圖1所示，電荷面密度為σ。圓環(huán)內(nèi)外半徑分別是b和a，圓盤半徑為a，帶孔平面所含圓孔半徑為a。則利用連續(xù)電荷積分法可以計算圖1的(a)(b)(c)各分圖對應的中心垂軸電場[10-11]，分別為：

(1)

1.2 均勻帶電圓環(huán)、圓盤中心軸線電場分布模擬及分析

由前面推導所得圓盤、圓環(huán)軸線電場分布公式(1)，假設均勻帶電圓環(huán)外半徑為a、內(nèi)半徑為b，帶電量為Q，模擬所得結(jié)果如圖2所示。

均勻帶電圓環(huán)(不同環(huán)寬)在垂軸上的電場強度

圖2 均勻帶電圓環(huán)(不同環(huán)寬)中心垂軸上的電場分布

模擬結(jié)果分析：

圓盤電荷在z=0附近點產(chǎn)生的場強最大，此電場強度等同于“無限大”帶電平面的場強。但由于圓盤兩邊場強方向不同，電場強度在z=0點不連續(xù)，在圓盤中點場強為0。

模擬圖顯示，當距離增加時，電場強度值持續(xù)減小。而當中心垂軸距盤心距離|z| > 3a時，其電場強度近似于盤心同等電量的點電荷產(chǎn)生的場強，且距離越遠近似程度越高。

當均勻帶電圓環(huán)面外環(huán)半徑不變，逐漸減小內(nèi)環(huán)半徑b，向圓盤演變的過程中，環(huán)中心的場強均為0；除中心z=0點外，中心垂軸各點可導，且不論圓環(huán)寬度如何，每一環(huán)寬的圓環(huán)軸線場強分布都有一個極值點。

不同環(huán)寬的圓環(huán)軸線場強的極值點分布在一條曲線上，極值點對應的場強隨圓環(huán)面寬度的增加(b值減小)而增加，且逐漸向中心點靠近。當b=0，圓環(huán)最終變成圓盤，場強的極值達到最大，極值點即盤中心。

2 均勻帶電正多邊形盤、環(huán)以及含正多邊形孔的無限大平面之中心垂軸電場

2.1 電場分布計算

邊長為a，均勻帶電線密度為λ的線段，其中垂軸上距線段中點為r處的場強為[12]

(2)

據(jù)此，容易推導正n邊形面盤中心垂軸的電場強度。如圖3(a)所示，邊長為a，均勻帶電面密度為σ，正n邊形面盤中心垂軸上任意點P(距盤中心點為z)的場強[13]為

(3)

同樣均勻帶電面密度為σ，同軸正n邊形面環(huán)，如圖3(b)所示，其環(huán)的內(nèi)、外邊長分別為b、a，則其中心垂軸任意點P(距離環(huán)心為z)的電場強度為

(4)

由反三角函數(shù)兩角差公式，式(4)進一步推導為

(5)

含正多邊形孔的無限大平面，如圖3(c)所示，中心垂軸任一P點電場

(6)

2.2 均勻帶電正多邊形環(huán)、盤中心垂軸電場分布特性

前面式(3)(5)和(6)分別為均勻帶電正多邊形盤、環(huán)和有正多邊形孔的無限大平面中心垂軸電場分布公式，和式(1)對比，似乎差異很大，但這只是表面現(xiàn)象。

可以證明[14]，當n→時，式(5)(6)(7)就由正n邊形過渡到對應的圓形帶電情形。正n邊形盤、環(huán)中心垂軸電場分布模擬結(jié)果完全類似于均勻帶電圓盤、圓環(huán)，其電場分布特性也和均勻帶電圓盤、圓環(huán)相似。不僅如此，對相同面積、相同電荷密度的正多邊形盤來說，其邊數(shù)n的變化對盤中心垂軸同一點場強的大小幾乎沒有影響，甚至和相同面積、相同電荷密度的圓環(huán)中心垂軸同一點場強非常接近。

(7)

(8)

3 結(jié)語

利用泰勒級數(shù)展式可以計算帶電圓盤在空間任意點的電場分布，但如果選取泰勒級數(shù)的一級近似，精度不高，而如果利用高階近似，則計算大為復雜。對規(guī)則形狀均勻帶電平面垂軸上任意點場強進行深入分析，通過對比研究，不僅能夠幫助我們熟悉軸線上電場分布規(guī)律，也有助于了解近軸區(qū)域電場分布大致情況，在此基礎上再根據(jù)需要決定是否對其電場分布區(qū)域做普遍性研究。

[1] 周海英,陳浩,張曉煒.均勻帶電薄圓盤的電場[J].大學物理，2005，24(11):31-34.

[2] 江俊勤.也談均勻帶電細圓環(huán)的電場分布[J].大學物理，2007，26(11):39-42.

[3] 賈秀敏.再論帶電細圓環(huán)與導體球殼系統(tǒng)的場分布[J].浙江大學學報(理學版)，2011，38(2):182-184.

[4] 賈秀敏.有限長均勻帶電圓柱殼的電場[J].浙江大學學報(理學版)，2014，41(5):528-530.

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[9] 魏生賢,陳光學,陶昌.填補法與高斯定理結(jié)合解決非對稱靜電場問題[J].曲靖師范學院學報,2013,32(3):23-26.

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[11] 竇春升，楊志懷，王參軍.大學物理[M].西安：陜西科學技術出版社，2010.

[12] 趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].第3版.北京:高等教育出版社,2011.

[13] 李成金,趙勛杰.正多邊形帶電框、帶電面軸線上的場強分布[J].物理與工程,2006,16(5):25-27.

[14] 王嘉樂.利用多邊形逼近圓環(huán)的思想計算有限長均勻帶電的偏軸圓筒在空間任意一點的電場[J].大學物理,2013,32(1):38-41.

[15] 方嵩林,范雙菲,傅蕓,等.淺論正多邊形帶電環(huán)盤筒柱的場強[J].物理通報,2012,(12):24-26.

【責任編輯 牛懷崗】

Research on the Differences between the Electric Fields of the Vertical Shafts to the Regular-shaped Uniformly Charged Planes Centers

LEI Qian-zhao,ZHANG Ning-ning

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

First the electric fields at the vertical shafts of the regular-shaped uniformly charged planes centers were calculated, the regular-shaped planes covering the circular and regular polygon plates, the circle and regular polygon rings and infinite plane with circular hole or regular polygon; the obtained analytical results were compared. Then the uniformly charged disc, the annulus center vertical axial electric field distributions were simulated; especially so were done the electric field intensity distributions at the ring central vertical axes under different ring width; similarly it could get the simulation results of the regular polygon plate, ring. Finally, the simulation results were analyzed and the differences between the electric fields of vertical shafts to various shapes charged planes centers were summarized. By contrast, a deep understanding about these differences was obvious.

regular shape； vertical shaft； electric fields difference

O441.1

A

1009-5128(2016)19-0014-05

2016-08-11

陜西省教育廳專項科研計劃項目：涇渭流域?qū)α鲗硬▽У某滩▊鞑ビ绊懷芯?15JK1242)；陜西省扶持學科數(shù)學學科基金資助項目：貝塞爾函數(shù)在電磁波傳播與散射中的應用(201606)

雷前召(1967—)，男，河南信陽人，渭南師范學院數(shù)理學院副教授，西安電子科技大學博士研究生，主要從事復雜介質(zhì)中的光、波傳播研究。