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高二數(shù)學(xué)測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為______.

3.某校高一有550名學(xué)生,高二有700名學(xué)生,高三有750名學(xué)生,學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況,決定按年級分層抽樣,抽取100名學(xué)生,則高二年級應(yīng)抽取______名學(xué)生.

4.從1,2,3中任選兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),則該兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為______.

5.已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=x,則該雙曲線的離心率為______.

7.如圖所示的偽代碼,則輸出的S的值為______.

For n From 1 to 11 Step 2

S←S+n

End For

Print S

第7題圖

9.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x-aln x,則a<3是函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增的______條件. (選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

10.(理科學(xué)生做)四名高二學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三門學(xué)科競賽,要求每名學(xué)生都參加且只參加1門學(xué)科競賽,則3門學(xué)科都有學(xué)生參賽的種數(shù)有______種.

11.(理科學(xué)生做)在(x2-3x+2)4的展開式中,x2項(xiàng)的系數(shù)為______.(用數(shù)字作答)

13.若一元二次不等式mx2+(2-m)x-2>0恰有3個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求甲只通過一所大學(xué)考試的概率;

(2)設(shè)三名學(xué)生中同時(shí)通過兩所大學(xué)考試的人數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.

(文科學(xué)生做)設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=x3+ax2+ax是R上的單調(diào)遞增函數(shù),命題q:|a-1|≤m(m>0).

(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷命題p的真假,并說明理由;

(2)若q是p的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

16.(本小題滿分14分) (理科學(xué)生做)在長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,BC=CC′=2.求

(1)直線B′D與BC′所成角的大小;

(2)二面角A-B′D-C的余弦值.

(1)求f(x)在(0,π)上的單調(diào)增區(qū)間;

(1)求a2,a3的值;

(2)猜想an與3的大小關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(2)猜想f(x)的正負(fù),并證明.

18.(本小題滿分16分)如圖,已知四邊形ABCD是一塊邊長為2千米的正方形地皮,其中曲邊三角形ADE是一個(gè)小池塘,點(diǎn)E在邊CD上且DE=1千米.假設(shè)曲邊AE可用以A為頂點(diǎn),AD為對稱軸的拋物線擬合,現(xiàn)綠化部門擬過曲邊AE上一點(diǎn)P作切線，交邊AB于點(diǎn)M,交邊CD于點(diǎn)N,在四邊形MBCN內(nèi)栽種花草.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t表示花草的面積S(t),并寫出定義域;

(2)求S(t)的最大值.

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線AC與PB交于點(diǎn)M,直線CP交x軸于點(diǎn)N.

① 當(dāng)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);

(1)當(dāng)m=1時(shí),求y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)設(shè)F(x)=f(x)-2g(x),若函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-1,求實(shí)數(shù)m的值;

參考答案

一、填空題

6.7；7.36;8.真；9.充分不必要；

12.tan αtan β+tan βtan γ+tan γtan α=1;

二、解答題

15.(理)(1)記甲通過A大學(xué)而不通過B大學(xué)考試為事件E，甲通過B大學(xué)而不通過A大學(xué)考試為事件F，則

所以甲只通過一所大學(xué)考試的概率

(2)每名學(xué)生同時(shí)通過兩所大學(xué)考試的概率

X0123P8274929127

(文)(1)因f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以

f ′(x)=3x2+2ax+a≥0,

所以Δ=4a2-12a≤0,解得0≤a≤3,

所以當(dāng)a=1時(shí)，命題p為真命題.

(2)由|a-1|≤m(m>0)，解得1-m≤a≤1+m.

因q是p的充分不必要條件，所以q?p,

又當(dāng)m=1時(shí)，p≠q，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1].

設(shè)平面AB′D的法向量n1=(x1,y1,z1),則

所以x1=0.

令y1=1,則z1=-2,

所以面AB′D的一個(gè)法向量n1=(0,1,-2),

同理面B′DC的一個(gè)法向量n2=(1,0,-1).

(2)由(1)可得

又∵0<θ<π,

17.(理)(1)由題意，得

(2)猜想an<3.

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1<3,結(jié)論成立，

②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak<3,

則n=k+1時(shí)，

所以ak+1<3.

根據(jù)①②，猜想成立.

消去y0,得17x20-64x0+60=0,

聯(lián)立直線AC，BP的方程，有