王　維

(山東省曹縣第三中學(xué),274400)

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○高考之窗○

品味2016年高考數(shù)列創(chuàng)新試題

王維

(山東省曹縣第三中學(xué),274400)

創(chuàng)新試題已成為近幾年高考數(shù)學(xué)卷的一大亮點(diǎn),特別是有關(guān)數(shù)列的創(chuàng)新試題,倍受高考命題專家的青睞.高考創(chuàng)新試題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解能力、抽象概括能力以及創(chuàng)新意識(shí).創(chuàng)新試題通常以“新定義”為載體考查考生正確理解與運(yùn)用新知識(shí)的能力,特別是能將所學(xué)知識(shí)與方法遷移到不同情境中,進(jìn)而考查考生的理性思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文僅以2016年全國(guó)各省市高考有關(guān)數(shù)列試題為例予以說(shuō)明.

一、定義新數(shù)列創(chuàng)新題

例1(全國(guó)卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()

(A)18個(gè)(B)16個(gè)

(C)14個(gè)(D)12個(gè)

解由題意可知,必有a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3個(gè)0，3個(gè)1,且對(duì)任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).

于是，可將不同的“規(guī)范01數(shù)列”列舉如下:

(1)0,0,0,0,1,1,1,1;

(2)0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;

(3)0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,0,1,1,0,1,0,1;

(4)0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.

綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個(gè),故應(yīng)選C.

評(píng)注本題是一個(gè)新定義數(shù)列創(chuàng)新試題,解決該題的關(guān)鍵是對(duì)新定義數(shù)列的正確理解與應(yīng)用,同時(shí)也考查分類加法計(jì)數(shù)原理.

例2(全國(guó)卷)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1.

(1)求b1,b11,b101;

(2) 求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和.

解(1)由題意，可得等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n(過(guò)程略).于是有

b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,

b101=[lg 101]=2.

(2) 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則當(dāng)0≤lg an<1時(shí),n=1,2,3,…,9;當(dāng)1≤lg an<2時(shí),n=10,11,12,…,99;當(dāng)2≤lg an<3時(shí),n=100,101,102,…,999;當(dāng)lg an=3時(shí),n=1 000,

所以，數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和為

T1000=b1+b2+b3+…+b1000

=0×9+1×90+2×900+3×1

=1 893.

評(píng)注本題定義一個(gè)新函數(shù)即取整函數(shù)(又稱高斯函數(shù))，應(yīng)緊扣取整函數(shù)的定義,把數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式表示為分段函數(shù)的形式,進(jìn)而使問(wèn)題得以順利解決.

二、新數(shù)列運(yùn)算創(chuàng)新題

例3(江蘇卷)設(shè)U={1,2,…,100}對(duì)數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定義ST=at1+at2+…+atk.例如，T={1,3,66}時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=30.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2) 對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST

(3)設(shè)C?U,D?U,SC≥SD,求證:SC+SC∩D≥2SD.

解(1)由題意,可得an=a1·3n-1(n∈N*).當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=a2+a4=a2+a2·32=10a2=30,從而a2=3,所以a1=1,因此an=3n-1(n∈N*).

(3)下面分三種情況進(jìn)行證明:

①若D?C,則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

②若C?D,則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.

E≠?,F≠?,E∩F=?，

從而SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,由SC≥SD,可得SE≥SF.

設(shè)k為E中的最大數(shù),m為F中的最大數(shù),則k≥m,m≥1,k≠m.由(2)可得SE

SF≤a1+a2+…+am

=1+3+…+3m-1

所以SE≥2SF+1,

整理,可得SC+SC∩D≥2SD+1.

綜合①②③,可得SC+SC∩D≥2SD.

評(píng)注這是一道數(shù)列創(chuàng)新題,解決此題的關(guān)鍵就在于對(duì)新運(yùn)算的理解與運(yùn)用.第(1)問(wèn)利用新定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解;第(2) 問(wèn)利用等比數(shù)列的求和公式,并結(jié)合放縮法使問(wèn)題得以順利證明;第(3)問(wèn)合理利用化歸與轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想,并結(jié)合推理知識(shí)，問(wèn)題即可得證.

三、新數(shù)列性質(zhì)創(chuàng)新題

例4(上海卷)若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,則稱{an}具有性質(zhì)P.

(1)若{an}具有性質(zhì)P.且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;

(2)若無(wú)窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1=c5=1,b5=c1=81,an=bn+cn,判斷{an}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由;

(3)設(shè){bn}是無(wú)窮數(shù)列,已知an+1=bn+sin an(n∈N*),求證:“對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.

解(1)由題意,可知a2=a5=2,從而a3=a6,a4=a7=3,a5=a8=2.

由a6+a7+a8=21,可得a6=21-a7-a8=21-3-2=16,即a3=16.

(2)設(shè){bn}的公差為d,{cn}的公比為q(q>0),則b5-b1=4d=80,從而d=20,所以bn=b1+(n-1)d=20n-19.

故{an}不具有性質(zhì)P.

(3)充分性:若數(shù)列{bn}為常數(shù)列,令bn=C(其中C為常數(shù)),則

an+1=C+sin an(n∈N*).

若存在p,q使得ap=aq(p,q∈N*),則

ap+1=C+sin ap=C+sin aq=aq+1,

即ap+1=aq+1，故{an}具有性質(zhì)P.

必要性：若對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P,則a2=b1+sin a1.

令函數(shù)f(x)=x-b1,g(x)=sin x,則對(duì)任意的b1,函數(shù)f(x)與g(x)的圖象必有一個(gè)交點(diǎn),即存在a1,使得f(a1)=g(a1),即a1-b1=sin a1,從而a1=b1+sin a1=a2,an=an+1,從而bn+1=an+2-sin an+1=an+1-sin an=bn.

故數(shù)列{bn}是常數(shù)列.

綜上可知,“對(duì)任意a1,{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.

評(píng)注本題是數(shù)列的新定義性質(zhì)創(chuàng)新試題,解決此題的關(guān)鍵就在于對(duì)新定義數(shù)列性質(zhì)的正確理解與靈活運(yùn)用.

四、數(shù)列綜合型創(chuàng)新題

例5(北京卷)設(shè)數(shù)列A:a1,a2,…,aN(N≥2)，如果對(duì)小于n(2≤n≤N)的每個(gè)正整數(shù)k都有ak

(1)對(duì)數(shù)列A:-2,2,-1,1,3,寫(xiě)出G(A)的所有元素;

(2)證明:若數(shù)列A中存在an使得an>a1,則G(A)≠?;

(3)證明:若數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個(gè)數(shù)不小于aN-a1.

解(1)易求G(A)的所有元素為2與5.

(3)當(dāng)aN≤a1時(shí)結(jié)論成立.

以下設(shè)aN>a1,由(2)可知G(A)≠?.

設(shè)G(A)={n1,n2,…,np},且n1

an0

對(duì)i=0,1,…,p,記

若Gi≠?,取mi=minGi,則對(duì)任意1≤k

故G(A)的元素個(gè)數(shù)p不小于aN-a1.

評(píng)注這是一道集合與數(shù)列的綜合創(chuàng)新試題，主要考查新定義數(shù)列、集合以及不等式等基礎(chǔ)知識(shí).而解題的關(guān)鍵就在于對(duì)新定義數(shù)列的理解與運(yùn)用,同時(shí)也考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想、運(yùn)算求解能力以及創(chuàng)新意識(shí).

綜上可知,對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新,已成為近幾年高考數(shù)學(xué)卷的一大亮點(diǎn).這就要求學(xué)生面對(duì)生疏情境,能迅速?gòu)膯?wèn)題中提取有用信息,進(jìn)而對(duì)這些有用信息進(jìn)行加工,合理遷移，運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)加以解決.這里有用信息的提取以及化歸與轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,同時(shí)也是解題的一個(gè)難點(diǎn).由于創(chuàng)新試題能夠較好地考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力與轉(zhuǎn)化能力,從而可檢測(cè)學(xué)生理性思維的廣度與深度以及繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能,因此,在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)予以高度重視.