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高三數學綜合測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.f(x)=3sin x,x∈[0,2π]的單調減區(qū)間為______.

2.若復數z=1+ai(i是虛數單位)的模不大于2,則實數a的取值范圍是______.

3.若方程ln x+2x-10=0的解為x0,則大于x0的最小整數是______.

6.下列說法中,正確的有______.(寫出所有正確命題的序號)

① 若f ′(x0)=0,則f(x0)為f(x)的極值點;

② 在閉區(qū)間[a,b]上，極大值中最大的就是最大值;

③若f(x)的極大值為f(x1),f(x)的極小值為f(x2),則f(x1)>f(x2);

④有的函數有可能有兩個最小值;

⑤已知函數f(x)=ex,對于f(x)定義域內的任意一個x1都存在唯一個值x2,使f(x1)f(x2)=1成立.

7.設向量a,b的夾角為θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),則sin θ=______.

13..設f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時,f(x)=x2,若對任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,則實數t的取值范圍是______.

14.已知函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對任意的x∈R,恒有f ′(x)≤f(x).若對滿足題設條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,則M的最小值為______.

二、解答題:(本大題共6小題,共90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知

(1)求θ;

(2) 求滿足f(x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

16.(本小題滿分14分)已知命題p:指數函數f(x)=(2a-6)x在R上單調遞減,命題q:關于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的兩個實根均大于3.若“p或q”為真,“p且q”為假,求實數a的取值范圍.

(1)求角C的大小;

18.(本小題滿分16分)一走廊拐角處的橫截面如圖所示,已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧,AB,DC分別與圓弧BC相切于B,C兩點,EF∥AB,GH∥CD,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

(1)若水平放置的木棒MN的兩個端點M,N分別在外壁CD和AB上,且木棒與內壁圓弧相切于點P,設∠CMN=θ(rad),試用θ表示木棒MN的長度f(θ);

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處,求木棒長度的最大值．

20.(本小題滿分16分)設f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數,其導函數為f ′(x).如果存在實數a和函數h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f ′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數f(x)具有性質P(a).

① 求證:函數f(x)具有性質P(b)；② 求函數f(x)的單調區(qū)間．

(2)已知函數g(x)具有性質P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x11,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍．

(1)寫出曲線C的參數方程,直線l的普通方程;

(2)過曲線C上任一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.

23. (附加題，本小題滿分10分)拋擲A,B,C三枚質地不均勻的紀念幣,它們正面向上的概率如下表所示(0

紀念幣ABC概率12aa

將這三枚紀念幣同時拋擲一次,設ξ表示出現正面向上的紀念幣的個數．

(1)求ξ的分布列及數學期望;

(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的最大值．

24. (附加題，本小題滿分10分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,F是棱BC的中點,點E在棱C1D1上,且D1E=λEC1(λ為實數)．

(2)試問:直線EF與直線EA能否垂直?請說明理由．

參考答案

一、填空題

二、解答題

17.(1)由題意,得

所以?ABC的面積

①若S在線段TG上，則TS=QT-QS.

②若S在線段GT的延長線上，則

TS=QS-QT.

在Rt?STM中，

19. (1)函數f(x)的定義域為(0,+∞),

由題意可得f(1)=2,f ′(1)=e，

故a=1,b=2.

h′(x)=e-x(1-x).

綜上，當x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

∴函數f(x)具有性質P(b).

②設φ(x)=x2-bx+1,則f ′(x)與φ(x)同號.

當b∈[-2,2]時，φ(x)=x2-bx+1>0恒成立，∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

當b∈(-∞,-2)時，φ(x)=x2-bx+1>0恒成立，∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

(2)依據題意，g′(x)=h(x)(x-1)2,

∴g(x)在(1,+∞)單調遞增，且有

α+β=x1+x2,α-β=(2m-1)(x1-x2).

α-x1=(m-1)x1+(1-m)x2,

β-x2=(1-m)x1+(m-1)x2,

∴(α-x1)(β-x2)=-(m-1)2(x1-x2)2<0.

∴α

若α

f(α)

∴g(α)-g(β)>g(x1)-g(x2)，不合題意.

∴x1<α<β

0=|g(α)-g(β)|

α-x1=(x1-x2),β-x1=-m(x1-x2).

同理有x1<β<α

綜上，0

22.(1)曲線C的參數方程為

直線l的普通方程為2x+y-6=0.

(2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離

23.(1)ξ的分布列

ξ0123P12(1-a)212(1-a2)12(2a-a2)a22

取y=1,則n=(2,1,2).

化簡,得3λ2-2λ+3=0,

因為Δ=4-36<0,所以該方程無解,所以假設不成立,即直線EF不可能與直線EA垂直.