趙震

（安徽大學(xué)哲學(xué)系，安徽合肥230601）

克里普克極小固定點(diǎn)真理論

趙震

（安徽大學(xué)哲學(xué)系，安徽合肥230601）

說謊者悖論是一個(gè)很有意思的悖論，解悖方案也有很多?？死锲湛斯潭c(diǎn)真理論是一個(gè)著名的解悖方案。他基于強(qiáng)克林三值語義學(xué)構(gòu)造出固定點(diǎn)模型，以此來說明真的直觀含義并在某種意義上解決了說謊者悖論。他的理論有很多優(yōu)點(diǎn)，比如可以實(shí)現(xiàn)公式“P”和“P是真的”的等值置換；只有一個(gè)T謂詞而不是多個(gè)不同的Ti謂詞。但是他的理論也有很多不足之處，比如一些直觀上有效的公式不再是有效的、（T）模式不再成立、對(duì)角線定理不再成立以及表達(dá)力被弱化了等。

說謊者悖論；固定點(diǎn)；真值間隙；表達(dá)力

一、克里普克的目的及所遇到的問題

首先我們要清楚克里普克的目的是什么。克里普克當(dāng)然是要解決悖論，但是解決悖論只是他的真理論的一個(gè)“順便”解決的問題。最終他是要給出一個(gè)真理論。那么克里普克的真理論所要實(shí)現(xiàn)的目的是什么呢？或者說他要把握什么樣的“真”呢？克里普克自己說“我們希望能夠捕獲下面這樣的直觀。假設(shè)我們正在向不理解‘真’這個(gè)詞的人解釋‘真’。我們可能會(huì)說在我們能斷定（或否定）一個(gè)句子的情境下我們恰好也有權(quán)斷定（或否定）這個(gè)句子是真的。我們的對(duì)話者可以理解把真賦予（6）（‘雪是白的’）是什么意思，但是他可能依舊為把真賦予包含‘真的’這個(gè)詞自身的句子而大傷腦筋。既然他最初并不理解這些句子，那么同樣，在最開始向他解釋說稱一個(gè)句子是‘真的’（或‘假的’）等同于斷定（或否定）這個(gè)句子自身也是沒有解釋清楚的”[1]。

可見克里普克的真理論的目的是要使人們清楚明白：在可以斷定（或否定）一個(gè)句子的情境下也同樣可以斷定（或否定）這個(gè)句子是真的，換句話說就是“?是真的”和“?”可以等值置換。當(dāng)然這里的等值置換默認(rèn)的是外延語境下的等值置換。這個(gè)目的在一般句子上很容易理解和實(shí)現(xiàn)，但是在遇到一些特殊的句子，比如一個(gè)自身包含“真”謂詞的句子的時(shí)候，就會(huì)出現(xiàn)一些麻煩。所以克里普克的目的就是在所有句子上都能實(shí)現(xiàn)“?是真的”和“?”（在外延語境中）等值置換。

要想實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的首先要了解會(huì)遇到哪些麻煩。這些麻煩可以統(tǒng)一用一個(gè)名字來概括：說謊者悖論。

說謊者悖論的最初記載源自圣·保羅的《提多書》，該書記載了這樣一個(gè)故事：公元前6世紀(jì)，克里特島上的先知埃庇米尼得斯（Epimenides）說：“……他們中有人，甚至是他們自己的先知，曾說過：這個(gè)島上的所有人都是說謊者……這個(gè)見證是真的?！雹賹?duì)于上述這句話，如果恰好島上別的人說的話都是假的，并且這個(gè)先知只說了這一句話，那么這句話是真的還是假的呢？按照自然的推理，它是真的當(dāng)且僅當(dāng)它是假的，矛盾。這個(gè)悖論其實(shí)是依賴于其假設(shè)的事實(shí)，如果其假設(shè)的事實(shí)有誤，即不是所有人說的所有其他話都是假的，那么這個(gè)悖論就不成立。公元前4世紀(jì)米利都的歐布里斯提出了這樣的一個(gè)版本的說謊者悖論“我正在說的這句話是謊話”，這句話是悖論并不依賴于其假設(shè)的事實(shí)，而僅憑其自身就是悖論。但是，似乎還有一些問題，因?yàn)榭赡軙?huì)認(rèn)為這句話是既不真也不假的。于是有了強(qiáng)化的說謊者“本句話是不真的”。如果這句話是假的，那么它是真的，如果它是真的,那么它是不真的，所以它是真的當(dāng)且僅當(dāng)它是不真的，悖論。

上述例子可以用更形式的語言表示如下：

例（1）：例（1）不是真的

這個(gè)句子的值是什么？如果它是真的，根據(jù)（1）自身它是假的；如果它不是真的，根據(jù)（1）它是真的。用嚴(yán)格的現(xiàn)代邏輯可以把這個(gè)推理描述如下：

上面這個(gè)直接帶有自指的說謊者悖論被稱為“簡(jiǎn)單的說謊者”（Simple Liar），這個(gè)例子還有一些變體，它們沒有直接的自指，但是有間接的自指，比如下面這個(gè)“轉(zhuǎn)圈悖論”[2]：

例（2）：A:B不是真的。

B：A是真的。使用相似的推理可以得出：如果A是真的，那么B不是真的，因而A不是真的；如果A不是真的，那么“B不是真的”不是真的，所以B是真的，因此A是真的。所以A是真的當(dāng)且僅當(dāng)A不是真的。同樣的推理也可以得到B是真的當(dāng)且僅當(dāng)B不是真的。這同樣適用于下面提到的例（6），如果假設(shè)（6）是悖論的話。

再看下面這個(gè)例子：

例（3）：（a）黑格爾是只小狗

（b）2+2=4

（c）這里的假話比真話多

如果黑格爾是那個(gè)哲學(xué)家的話，那么（c）是真的當(dāng)且僅當(dāng)（c）是假的。

上面的幾個(gè)例子的一個(gè)典型特點(diǎn)就是都包含自指和否定，這似乎說明說謊者悖論都與這二者有關(guān)，但是下面的這個(gè)說謊者悖論就沒有否定，至少表面上沒有否定。

例（4），庫里（H.Curry）悖論：令K是下面的這個(gè)句子的縮寫：

從上面的例子看，雖然不是所有的說謊者悖論都包含否定，但是它們都包含自指。這讓人感覺似乎說謊者悖論必須有自指。但是，并非如此，下面這個(gè)悖論的例子表明可以不使用自指也能構(gòu)造出說謊者悖論。

例（5），雅布羅（S.Yablo）悖論：設(shè)想一個(gè)無窮的句子序列（S1）,（S2）,（S3）……每一個(gè)句子說的都是接下來的句子都是不真的：

（S1）任給k>1,Sk是不真的

（S2）任給k>2,Sk是不真的

……

假設(shè)有Sn是真的，如果Sn說的是真的，那么任給k>n，Sk是不真的。因此（a）Sn+1是不真的，并且（b）任給m> k+1，Sm是不真的。根據(jù)（b），Sn+1所說的恰是這種情況，而這與（a）相矛盾。所以，任給n，序列中的句子Sn是不真的。但是這又恰說明任給n，Sn是真的。因此，對(duì)于任何n，Sn是真的當(dāng)且僅當(dāng)Sn不是真的。很明顯，這個(gè)例子里并沒有自指，但是，依然產(chǎn)生了與“真”有關(guān)的悖論。這個(gè)悖論被稱作“似說謊者悖論”（liar-like paradox）。雅布羅稱這個(gè)悖論是ω-liar，但是通常都稱其為雅布羅悖論，這個(gè)悖論表明可以不需要自指而僅需要非良基性就能構(gòu)造出悖論。

例（6）：偶然的說謊者（contingent liar）考慮瓊斯說的下面這句話：

（1）尼克松關(guān)于水門事件的大多數(shù)聲明是假的。

但是，假設(shè)尼克松關(guān)于水門事件的聲明除了下面的這句話之外其他的聲明恰好一半是真的一半是假的。

（2）瓊斯關(guān)于水門事件說的所有話都是真的。假設(shè)（1）是瓊斯關(guān)于水門事件說的唯一一句話，那么（1）和（2）都是悖論句：（1）［或（2）］是真的當(dāng)且僅當(dāng)（1）［或（2）］是假的。但是，如果瓊斯關(guān)于水門事件還說了其他的話，并且其中有些話是假的，那么（1）是真的而（2）是假的，這樣的情況下就沒有悖論。所以偶然的說謊者悖論意味著一個(gè)句子是否悖論句依賴于假設(shè)的事實(shí)。其實(shí)上面提到的最初的說謊者悖論就是一個(gè)偶然的說謊者悖論，因?yàn)樗蕾囉诳死锾貚u上所有人說的所有其他話都是假的。

以上是說謊者悖論的一些例子，其中庫里悖論和雅布羅悖論并不是克里普克文章中所討論的悖論，但是克里普克的方法依舊可以處理這些悖論。

二、克里普克極小固定點(diǎn)理論

為了實(shí)現(xiàn)他的這個(gè)目的，克里普克構(gòu)造了一個(gè)極小固定點(diǎn)真理論。他的這個(gè)固定點(diǎn)真理論是基于強(qiáng)克林的三值語義學(xué)的，所以首先介紹強(qiáng)克林三值語義學(xué)。強(qiáng)克林語義學(xué)是關(guān)于命題邏輯的，其賦值模式如下表：

?

?

?

其中：析取式為，如果至少一個(gè)析取支為；析取式為F，如果兩個(gè)析取支都為F；否則，析取式為U。合取式為T，如果兩個(gè)合取支都為T；合取式為F，如果至少一個(gè)合取支為F；否則，合取式為U?！癆 B”被定義為“?A∨B”，所以其賦值可以由之推出②。

克里普克在強(qiáng)克林語義學(xué)上加了量詞的解釋：給定非空定義域D，一元謂詞P（x）被解釋為D的不交子集對(duì)（S1,S2），S1是P（x）的外延（extension），S2是反外延（anti-extension）。當(dāng)x被指派為S1中元素時(shí)得到P（x）為T，當(dāng)x被指派為S2中元素時(shí)得到P（x）為F，否則P（x）為U。

xP（x）是T，如果存在某些x的指派使得P（x）是T；

xP（x）是F，如果任給x的指派都有P（x）是F；

否則，xP（x）是U。?

xP（x）是T，如果任給x指派都有P（x）是T；?

xP（x）是F，如果存在x指派使得P（x）是F；

否則，?xP（x）是U。

克里普克證明：存在一個(gè)極小的固定點(diǎn)模型使得在其中T（「?）和?可以等值替換，并且說謊者悖論不是假的。其基本思路是這樣的：

首先有一個(gè)不包含謂詞T（）的初始語言L，它足夠豐富使得它的句法可以通過算術(shù)化而在L中得到表達(dá)。通過加上一個(gè)一元謂詞T（），L擴(kuò)充成L+。T（）的解釋由有序?qū)Γ⊿1,S2）給出，這里S1是T（）的外延（extension），S2是T（）的反外延（anti-extension），對(duì)于S1∪S2以外的元素T（x）沒有定義（undefined）。L（S1,S2）是L+的解釋，它把T（）解釋為（S1,S2），其他L中謂詞的解釋不變。

現(xiàn)在考慮一個(gè)模型分層：

令L0就是一個(gè)上述的L+，L0的解釋是L0（∧,∧），這里∧是空集，即L0是T（）完全未被定義的語言；對(duì)任意α，假設(shè)已經(jīng)定義了Lα=L（S1,S2）那么Lα+1=L（S1+, S2+），這里S1+是Lα中真句子的集合，S2+是Lα中假的句子和Lα中不是句子的東西的編碼的集合。設(shè)（S1,α, S2,α）③是T（）在Lα中的解釋，S1,α,和S2,α都隨α的增加而增加，這樣就可以定義第一個(gè)超窮層稱其為L(zhǎng)ω，Lω=（S1,ω, S2,ω），這里S1,ω是所有S1,α（α<ω）的并，S2,ω是所有S2,α（α<ω）的并。給定Lω，可以定義Lω+1，Lω+2……Lω+n。即使在超窮層次上T（x）的外延（extension）和反外延（anti-extension）依舊隨α的增加而增加，當(dāng)然，這里的增加并非嚴(yán)格增加，它允許相等。我們說（S1+,S2+）擴(kuò)充（S1,S2）［用符號(hào)表示為（S1+,S2+）≥（S1,S2）或（S1, S2）≤（S1+,S2+）當(dāng)且僅當(dāng)S1,?S1+∧S2?S2+］。直觀上這意味著如果T（）被解釋成（S1+,S2+），在所有（S1,S2）被定義的地方前一個(gè)解釋和后一個(gè)解釋幾乎一樣，唯一的區(qū)別是一些在（S1,S2）的解釋下屬于沒有被定義的情況在（S1+,S2+）的解釋中被定義（為真或假）了。這里的賦值規(guī)則的一個(gè)基本屬性“≤”是保序運(yùn)算，即如果（S1,S2）≤（S1+,S2+），則在L（S1,S2）中真的句子在（S1+,S2+）中保真，同樣在前者中為假的句子在后者中也為假。

為了找到不動(dòng)點(diǎn)模型，通常會(huì)定義一個(gè)“跳躍函數(shù)”J，使行J（σ）=T，其中σ是L（S1,S2）的模型，T是L（S1+, S2+）的模型。

那么，是否有一個(gè)序數(shù)層γ使得J（σ）=σ，其中σ是L（S1,γ,S2,γ）的模型，J（σ）是（S1,γ,S2,γ）的模型，并且S1,γ=S1,γ+，S2,γ=S2,γ+，從而沒有新的陳述在下一層被斷定為真或假呢？克里普克認(rèn)為答案是肯定的，因?yàn)檎Z言L0的初始符號(hào)數(shù)量是固定的，所以其包含的句子的數(shù)量也是固定的（不大于其初始符號(hào)數(shù)量的冪集），所以為真的句子不會(huì)無限增加，一定會(huì)在某個(gè)序數(shù)γ上S1,γ=S1,γ+1，S2,γ=S2,γ+1。這個(gè)序數(shù)γ上的模型就是跳躍函數(shù)J的固定點(diǎn)。

固定點(diǎn)本來是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它是指：對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（），如果存在f（）的定義域中的個(gè)體e，使得f（e）=e，則稱e是函數(shù)f（）的固定點(diǎn)。這里，克里普克的固定點(diǎn)模型實(shí)際上是借用了這個(gè)數(shù)學(xué)上的概念，他先設(shè)定一個(gè)函數(shù)g（），使得任給L（S1,S2）的模型ρ，g（ρ）=μ，μ是L（S1+,S2+）的模型。上述的固定點(diǎn)模型就是說在σ層次上，可以得到g（γ）=δ，其中γ是L（S1,S2）的模型，δ是L（S1,σ+,S2,σ+）的模型，并且γ=δ，從而γ就是g（）的固定點(diǎn)，同時(shí)也是L的一個(gè)固定點(diǎn)模型。

被固定點(diǎn)模型解釋的語言稱作固定點(diǎn)語言。在固定點(diǎn)語言下，任給L中句子?和L的固定點(diǎn)模型σ都有σ（?）=σ（T（「?）），即?在σ下是真的當(dāng)且僅當(dāng)T（「?）在σ下是真的。這個(gè)等價(jià)式的證明很簡(jiǎn)單：假設(shè)τ是g（）的固定點(diǎn)，任給L中句子χ，τ（χ）=T iff.g（τ）（「χ）∈S1，這里的S1是T（）在g（τ）下的外延，g（τ）（「χ）∈S1iff.g（τ）（T（「χ））=T，因?yàn)棣邮莋（）的固定點(diǎn)，所以，g（τ）（T（「χ））=T iff.τ（T（「χ））=T。

此外，克里普克還引入了“內(nèi)在的固定點(diǎn)”，稱一個(gè)固定點(diǎn)是內(nèi)在的（intrinsic）當(dāng)且僅當(dāng)它不會(huì)賦予任何句子這樣一個(gè)真值，使得這個(gè)真值與它在其他固定點(diǎn)上的真值相沖突④。一個(gè)句子有內(nèi)在的真值當(dāng)且僅當(dāng)一些內(nèi)在的固定點(diǎn)給它一個(gè)真值。有一些無根的非悖論句子，在其有真值的固定點(diǎn)上有相同的真值，但是缺少內(nèi)在的真值，比如“本句話是真的或者并非本句話是真的”（P∨?P）這句話，它在某些P有真值的固定點(diǎn)上都是真的，而且不在任何固定點(diǎn)上是假的。但是，假設(shè)有一些固定點(diǎn)使P為真，有一些固定點(diǎn)使P為假，那么P∨?P在任何內(nèi)在的固定點(diǎn)上都不能有真值，因?yàn)檫@里的賦值規(guī)則是遵循組合原則的，即先有構(gòu)成元素的真值，再根據(jù)規(guī)則復(fù)合出復(fù)合公式的真值，而在內(nèi)在的固定點(diǎn)上每一個(gè)構(gòu)成元素的真值也必須符合內(nèi)在的固定點(diǎn)的要求，即其真值不能與其他固定點(diǎn)上的賦值相沖突，所以P必須在所有固定點(diǎn)上有相同的賦值，而這是無法做到的，所以它沒有真值，所以由之復(fù)合而成的公式P∨?P也沒有真值。

克里普克證明的只是極小固定點(diǎn)模型的存在，因?yàn)樗裈（）最初解釋為空集的有序?qū)?。還有其他的固定點(diǎn)模型，只要把T（）的最初解釋變?yōu)槠渌姆强沼行驅(qū)纯?。利用佐恩（Zorn）引理，每一個(gè)固定點(diǎn)都可以擴(kuò)充為一個(gè)極大固定點(diǎn)，但是沒有最大固定點(diǎn)（largest fixed point），因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)對(duì)相同公式有不同真值的固定點(diǎn)都沒有相同的外延。但是有最大的內(nèi)在固定點(diǎn)（largest intrinsic fixed point），最大的內(nèi)在固定點(diǎn)是對(duì)T（）的唯一的最大解釋（largest interpretation），它與日常直觀的真觀念相一致并且對(duì)“真”的賦值都一致。

有了固定點(diǎn)模型之后就可以嚴(yán)格定義一些概念。首先是“有根性”：給定L的一個(gè)句子A，A是有根的如果它在極小的固定點(diǎn)中有真值，否則無根。如果A是有根的，A的層次就是那個(gè)最小的序數(shù)α使得A在Lα中有真值。

“有根性”的直觀表述是：如果一個(gè)句子斷定了一類（這一類可以只包含一個(gè)句子）句子的真值，它的真值可以根據(jù)這個(gè)類中的句子的真值來斷定，如果其中一些句子自身包含“真”的觀念，則它們的真值必須通過考察其他句子來斷定，如果這個(gè)過程終止于不涉及“真”概念的句子就能斷定最初那個(gè)陳述的真值，就稱這個(gè)最初的句子是“有根的（grounded）”，否則就是“無根的（ungrounded）”。有時(shí)候，一個(gè)句子是否有根的并不是句子本身的句法或語義的性質(zhì)，而是依賴于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，比如，“尼克松關(guān)于水門事件的大多數(shù)主張都是假的”這句話就依賴于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)來斷定。另外，如果一個(gè)句子x斷定一個(gè)類C中所有句子真，并且如果C中有一個(gè)句子假，那么就允許x是假的且有根的，而不論C中其他句子是否有根。

借助固定點(diǎn)模型定義有根性之后，克里普克還借助它來定義悖論：一個(gè)句子是悖論的，如果它在任何固定點(diǎn)上都沒有真值。有了悖論的定義之后，又可以得出下面一些關(guān)于有根句或無根句的性質(zhì)：如果一個(gè)句子是有根的，那么它在所有固定點(diǎn)上有相同的真值。如果一個(gè)句子是無根的，那么：（1）無根且悖論的句子在任何固定點(diǎn)上都沒有真值，（2）無根且不是悖論的句子有兩種可能：（a）在全部極大固定點(diǎn)上有真值，但是卻不一定真值都一樣，比如“本句話是真的”這樣的句子⑤。（b）在某些而非全部極大固定點(diǎn)上有真值，并且在所有它們有值的固定點(diǎn)上有相同的真值，比如“本句話是真的或者并非本句話是真的”，這句話在由“內(nèi)在的固定點(diǎn)”擴(kuò)充成的極大固定點(diǎn)上就沒有真值，原因前面已經(jīng)提到。而且，有固定點(diǎn)使其為真，但沒有固定點(diǎn)使其為假。但是它是無根的，因?yàn)樗跇O小固定點(diǎn)上無真值。所以在其有真值的固定點(diǎn)上它都是真的。

克里普克方案對(duì)于說謊者悖論問題的解決方法是承認(rèn)有悖論性語句，比如承認(rèn)說謊者語句???T（「?）的存在，但是因?yàn)樗跇O小固定點(diǎn)上沒有真值，所以這個(gè)悖論句只能落在真值間隙里，所以沒有矛盾，其他說謊者也可以類似處理。

三、對(duì)克里普克方案的評(píng)價(jià)

克里普克方案相對(duì)于分層方案來說的最大優(yōu)點(diǎn)就是真正實(shí)現(xiàn)了只有一個(gè)真謂詞，并且在這里是語義封閉的，即可以自己說自己真或不真，這與日常語言更相符合。這也是克里普克方案較之塔爾斯基方案的最大優(yōu)勢(shì)之所在。

但是克里普克方案也是有問題的，首先，像A→A以及A.A以及需要借助這些定理推出的其他定理等都不是普遍有效的。更重要的是，這些公式之所以不再是有效的是因?yàn)榕胖新稍谶@里不再有效，也就是強(qiáng)克林三值語義學(xué)中存在真值間隙，它既不是真的也不是假的。這就與日常語言以及常識(shí)相去太遠(yuǎn)。

不只是上面提到的這些定理不成立，對(duì)角線定理的通常表述在這種情況下也是不成立的。通常的對(duì)角線定理表述為：任給帶一個(gè)自由變項(xiàng)的開公式P（），存在一個(gè)句子?，使得?.P（「?）。但是這個(gè)定理在克里普克的方案里可能是不能成立的，因?yàn)楫?dāng)?沒有真值的時(shí)候⑥，?.P（「?）也沒有真值。

上面提到了真值間隙，其實(shí)真值間隙導(dǎo)致的問題不只是使某些通常接受的定理不再是有效式，而且還有一個(gè)很重要的問題就是其否定是選擇性否定，而不是排除性否定。這與日常直覺相差很大，日常思維中固然有選擇性否定，但日常思維中同樣也有排除性否定，克里普克的方法只對(duì)這種選擇性否定有意義，一旦引入排除性否定同樣可以構(gòu)造出新的悖論。所以，在克里普克的方案中，L不包含這樣一個(gè)謂詞N使得N（「?）在L中是真的當(dāng)且僅當(dāng)?是假的或者是既不真也不假的⑦，否則，可以構(gòu)造出一個(gè)句子χ，使得χ.N（「χ），所以從χ是真的可以推出χ是假的或者是既不真也不假的，從χ是假的或者是既不真也不假的可以推出χ是真的，這即使在三值情況下依舊是矛盾。在這種情況下，或者克里普克方案的表達(dá)力太弱以至不能表達(dá)排除性否定或者它將面臨著新的說謊者的復(fù)仇。“因此像‘本語句是假的或無根的’這樣的強(qiáng)化的說謊者悖論就無法用他的理論來解決”[3]。

另外，很容易看出，其實(shí)克里普克的方案也是有“分層”的，只不過他的方案中的分層只是模型的分層，而不是語言的分層。在語言上克里普克方案中只有一個(gè)真謂詞，而不是很多的真謂詞，但是這個(gè)真謂詞的外延隨著模型分層的變化而變化，直到達(dá)到極小固定點(diǎn)模型才停止擴(kuò)充。除了這種模型的內(nèi)在分層之外，克里普克還承認(rèn)有語言的分層，但這個(gè)分層是在他的方案之外的元語言層次，并且正是在元語言中我們才可以（在排除性的否定的意義上）說“說謊者語句不是真的”，而這句話不能在他的理論中表達(dá)。所以克里普克說“上升到元語言的必然性可能是目前理論的弱點(diǎn)之一。塔爾斯基分層的幽靈依舊伴隨著我們”[1]。

注釋：

①上面只是按照出現(xiàn)的時(shí)間來介紹的，事實(shí)上，說謊者悖論的發(fā)現(xiàn)很大程度上應(yīng)該歸功于歐布里斯，盡管他比埃庇米尼得斯要晚兩個(gè)世紀(jì)，因?yàn)榘寻１用啄岬盟沟哪蔷湓捓斫鉃殂Ｕ撌呛芡碇蟮氖虑榱?。圣·保羅自己并沒有意識(shí)到這句話的悖論性。按照Spade,Paul Vincent在1973年發(fā)表的“The Origins of the Mediaeval Insolubilia Literature”中記載，甚至在中世紀(jì)的關(guān)于說謊者悖論的文獻(xiàn)中也沒有人提到埃庇米尼得斯這句話的悖論性。

②如果把T、U和F分別用數(shù)字表示為1、0.5和0的話，那么強(qiáng)克林的三值邏輯的賦值的特點(diǎn)是：合取式的值等于合取支中的最小值，析取式的值等于取析取支中的最大值，蘊(yùn)涵式按通常的方式被否定和析取定義；波茲瓦邏輯（弱克林邏輯）關(guān)于否定的賦值與強(qiáng)克林的賦值一樣，其他情況下的特點(diǎn)是：如果一個(gè)公式（合取式或析取式）中有一個(gè)支的取值是U（0.5），那么這個(gè)公式的值為U，否則，合取式的取值為合取支中的最小值，析取式的取值為析取支中最大值，蘊(yùn)涵式按通常的方式被否定和析取定義；盧卡西維奇的三值邏輯與強(qiáng)克林邏輯在否定、合取、析取上的賦值一樣，區(qū)別在于有關(guān)蘊(yùn)涵的賦值，而且關(guān)于蘊(yùn)涵的其他賦值也都一樣，只是在前件為U且后件也為U的時(shí)候在盧卡西維奇邏輯中的賦值是T，所以“A→A”在盧卡西維奇邏輯中是有效式，而這個(gè)公式在強(qiáng)克林那里并不是有效的，這也是克里普克方案的一個(gè)問題之所在。

③其中下標(biāo)“1”表示“外延”，“2”表示“反外延”，“α”表示語言的層次。

④這里需要澄清一下，克里普克在文章中認(rèn)為他的方案是二值的，即T和F，而不是三值的，所以U是沒有真值而不是第三值，只不過這種沒有真值的情況和把它當(dāng)作第三值并按強(qiáng)克林邏輯處理的時(shí)候是一樣的，所以可以把它當(dāng)作三值的方案來看，但其實(shí)克里普克只承認(rèn)T和F二值，所以這里的真值是指T或F。

⑤這個(gè)句子在極小固定點(diǎn)上沒有真值，因?yàn)槌跏寄Ｐ桶裈（）解釋為空集的二元組（∧,∧），在這層解釋下這個(gè)句子既不是真的也不是假的，所以沒有真值，又因?yàn)檫@個(gè)句子是說它自己的，所以在后面擴(kuò)充對(duì)T（）的解釋的時(shí)候它依舊是沒有真值的，直到極小固定點(diǎn)上它依然沒有真值。但是在其他非極小固定點(diǎn)上，因?yàn)槠涑跏寄Ｐ筒皇强占亩M，所以可以把任意的句子放在T（）的外延或反外延中，所以這個(gè)時(shí)候也可以把“本句話是真的”這個(gè)句子放在其外延或反外延中，由此擴(kuò)充而成的極大固定點(diǎn)中自然有這個(gè)句子的真值，但是因?yàn)樗瓤梢员环诺酵庋又幸部梢苑诺椒赐庋又?，所以在不同的極大固定點(diǎn)中其真值不一定相同。

⑥因?yàn)閷?duì)角線定理的構(gòu)造用到了量化語句.x（Sub（x,v）∧P（x）），如果P（）是T（），當(dāng)T（）最初被解釋為空集的二元組（∧,∧）的時(shí)候，根據(jù)這里的語義，整個(gè)存在語句就沒有真值，而且因?yàn)檫@個(gè)句子的代入例是其自身，所以在后面對(duì)T（）的解釋的擴(kuò)充中也沒有真值，當(dāng)擴(kuò)充到固定點(diǎn)上的時(shí)候也是沒有真值的，所以這個(gè)量化句是沒有真值的，所以由這個(gè)句子通過量詞消去之后得到的等價(jià)式T（「?）.?也是沒有真值的。

⑦因?yàn)樵诳肆秩颠壿嬛兄^詞“假的”可以被定義為“不是真的”，所以所謂不包含排除性否定其實(shí)還可以更精確的表述為不包含謂詞“既不真也不假”。

[1]Saul Kripke.Outline of a Theory of Truth[J].The Journal of Philosophy,1975，（19）：690—716.

[2]陳波.邏輯哲學(xué)研究[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2013.

[3]陳波.悖論研究[M].北京：北京大學(xué)出版社，2014.

責(zé)任編輯 曾慶福

B81

A

1007-905X（2016）04－0041－06

2016-01-28

安徽大學(xué)博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目資助（J0100131）；安徽大學(xué)哲學(xué)系“固本強(qiáng)基”計(jì)劃“開放性基金項(xiàng)目”資助（GBX005）

趙震，男，河北滄州人，安徽大學(xué)哲學(xué)系講師，哲學(xué)博士，主要從事真理論與悖論研究。