蔡 萍， 唐駕時

（1. 閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 福建 漳州 363000； 2. 湖南大學 機械與運載工程學院， 長沙 410082）

蔡 萍1， 唐駕時2

（1. 閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 福建 漳州 363000； 2. 湖南大學 機械與運載工程學院， 長沙 410082）

分析了L系統(tǒng)平衡點的非線性動力學性質， 根據(jù)Hopf分岔產(chǎn)生的條件， 設計控制器， 使原系統(tǒng)不穩(wěn)定的零平衡點產(chǎn)生極限環(huán). 對原系統(tǒng)的非零平衡點， 該控制器也使其在一個更大的參數(shù)區(qū)域， 在所期望的位置產(chǎn)生Hopf分岔. 基于中心流形定理和規(guī)范型理論求得的穩(wěn)定性指標保證了分岔解的穩(wěn)定性. 因此， 該控制器成功地實現(xiàn)了L系統(tǒng)平衡點的Hopf分岔反控制， 并且原系統(tǒng)的平衡點并未改變. 最后， 通過數(shù)值模擬來驗證理論分析的結果.

L系統(tǒng)； Hopf分岔； 反控制； 規(guī)范型； 穩(wěn)定性

引言

近十幾年來， 隨著混沌控制的迅速發(fā)展， 分岔控制引起了數(shù)學、物理、工程等領域眾多學者的廣泛興趣. 設計合理的控制器， 對系統(tǒng)的分岔行為進行控制具有重要的理論意義和實用價值［1～5］. 人們在分岔控制領域作了大量的研究工作， 提出了多種分岔控制方法， 如線性［2］及非線性反饋方法［3］， Washout濾波方法［5］， 規(guī)范型方法［6］等等. 相比混沌反控制， 分岔反控制的研究遠未成熟， 國內外取得的研究成果不多. 分岔反控制是分岔分析的逆問題， 即在預先指定的系統(tǒng)參數(shù)點通過控制產(chǎn)生期望的分岔行為. Hopf分岔反控制是通過自動控制產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)， 使動力系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩， 或通過Hopf分岔反控制， 使系統(tǒng)在一個更大的參數(shù)區(qū)域， 在所期望的位置產(chǎn)生Hopf分岔. Chen等［7］系統(tǒng)地闡述了Hopf分岔反控制的理論、方法和技術， 奠定了Hopf分岔反控制的基礎. 文［8］通過反饋控制和符號計算， 提出了一個Hopf分岔反控制方法， 使Liu混沌系統(tǒng)可以在一個更大的參數(shù)區(qū)域表現(xiàn)出Hopf分岔， 反控制策略保持了Liu系統(tǒng)的平衡結構， 選擇了理想的位置， 保證了Hopf分岔的穩(wěn)定性. 文［9］針對不同的分岔參數(shù)， 用多項式反饋控制影響零平衡點產(chǎn)生Hopf分岔， 并保證極限環(huán)穩(wěn)定， 實現(xiàn)了零平衡點Hopf分岔的反控制. 文［5］和［10］采用washout-filter反饋控制器， 通過選擇合適的控制參數(shù)， 分別對Chen 系統(tǒng)和Newton-Leipnik 系統(tǒng)進行了Hopf分岔反控制. 文［11］提出了一個非線性控制策略， 使一個三維系統(tǒng)在更大的參數(shù)范圍內出現(xiàn)余維1、余維2和余維3 Hopf分岔， 并使該混沌系統(tǒng)的平衡結構保持不變， 退化Hopf分岔在期望的位置保持穩(wěn)定.文［12］研究了索梁耦合結構的Hopf分岔的反控制， 實現(xiàn)了受控系統(tǒng)在指定的平衡點處產(chǎn)生Hopf分岔. L系統(tǒng)［13］具有復雜的動力學行為， 包括分岔和混沌. 近年來， 許多學者對該系統(tǒng)的混沌同步控制［14，15］、穩(wěn)定性及Hopf分岔分析［16，17］、余維2分岔的分析及控制［18，19］方面作了大量的工作. 本文主要研究L系統(tǒng)的Hopf分岔控制問題. 首先， 基于Routh-Hurwitz穩(wěn)定性理論分析了L系統(tǒng)的平衡點穩(wěn)定性， 從而判斷其是否產(chǎn)生Hopf分岔； 其次， 借助Hopf分岔理論來指導控制器的設計， 使原來不穩(wěn)定的零平衡點產(chǎn)生了極限環(huán)， 并給出了穩(wěn)定性指標. 該控制器同時也使非零平衡點的Hopf分岔參數(shù)區(qū)域得到了擴大， 從而實現(xiàn)了L系統(tǒng)的Hopf分岔反控制. 最后， 數(shù)值模擬的結果驗證了理論分析的正確性和控制器的有效性.

1.1平衡點0S的Hopf分岔反控制

1.1.1控制器的設計

1.1.2Hopf分岔穩(wěn)定性分析

顯然， 若20ab-＜0， 則有20β＜0， 從而保證了Hopf分岔解的穩(wěn)定性.

1.2平衡點S±的Hopf分岔反控制

由于平衡點S+和S-具有幾何對稱性， 這里僅討論S+處的Hopf分岔反控制. 文［18］給出未控系統(tǒng)（1）在平衡點S+處產(chǎn)生Hopf分岔的參數(shù)條件為

其中g1（ u1， v1， w1），g2（ u1， v1， w1），g3（ u1， v1， w1）是系統(tǒng)的非線性部分， 由于其表達式過于復雜， 這里略去. 代入公式計算得到Hopf分岔穩(wěn)定性指標β2=0， 因此， 受控系統(tǒng)在平衡點S+處產(chǎn)生的Hopf分岔為退化的， 不能確定其穩(wěn)定性. 文［20］指出可以進一步計算β4來判定其穩(wěn)定性， 但這是一項極為繁雜而不必要的工作，事實上， 通過數(shù)值模擬， 可以說明受控系統(tǒng)此時已獲得穩(wěn)定的極限環(huán). 比較參數(shù)條件（7） 、（8）、（9）， 顯然，通過施加控制器， 使系統(tǒng)在一個更大的參數(shù)區(qū)域， 在所期望的位置產(chǎn)生了Hopf分岔， 從而實現(xiàn)Hopf分岔反控制目標.

2　數(shù)值模擬

若選取參數(shù)a=3，b=10，c=13， 未控系統(tǒng)平衡點S0是不穩(wěn)定的鞍點， 如圖1（a）所示. 添加控制器（6）后，仍取a=3，b=10，c =13， 并取k=0.5， 計算得到穩(wěn)定性指標β2=-0.000075339＜0， 受控系統(tǒng)在平衡點S0產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)， 如圖1（b）所示.

若選取參數(shù)a=3，b=6，c=3， 未控系統(tǒng)在平衡點S+產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)， 如圖2（a）所示. 對于受控系統(tǒng)，取同樣的參數(shù)a=3，b=6，c=3， 并取k=0.1， 雖然穩(wěn)定性指標β2=0， 但也獲得了穩(wěn)定的極限環(huán)， 如圖2（b）所示. 選取參數(shù)a=3，b=6，c=13， 未控系統(tǒng)平衡點S+是不穩(wěn)定的， 不發(fā)生Hopf分岔， 如圖3（a）所示. 對于受控系統(tǒng)， 取同樣的參數(shù)a=3，b=6，c=13， 以及k=0.1， 受控系統(tǒng)仍獲得了穩(wěn)定的極限環(huán)， 如圖3（b）所示. 數(shù)值模擬的結果和理論分析是一致的.

圖1　系統(tǒng)在S0處的相圖

圖2　系統(tǒng)在S+處的相圖

圖3　系統(tǒng)在S+處的相圖

3　結論

［1］ Cai P， Tang J S， Li Z B. Controlling Hopf Bifurcation of a New Modified Hyperchaotic LSystem ［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2015：614135

［2］ 劉素華， 唐駕時. Langford 系統(tǒng)Hopf 分叉的線性反饋控制［J］. 物理學報， 2007， 56（6）： 3145～3151

［3］ Yu P， Chen G R. Hopf bifurcation control using nonlinear feedback with polynomial functions［J］. Int. J. Bifurcat. Chaos， 2004， 14（5）： 1683～1704

［4］ Cai P， Tang J S， Li Z B. Analysis and c ontrolling of Hopf Bifurcation for chaotic Van der Pol-Duffing system［J］. Mathematical and Computational Applications， 2014， 19（3）： 184～193

［5］ Cheng Z S， Cao J D. Anti-control of Hopf bifurcation for Chen’s system through washout filters［J］. Neurocomputing， 2010， 73： 3139-3146

［6］ Kang W， Krener A J. Extended Quadratic Controller Normal Form and Dynamic State Feedback Linearization of Nonlinear Systems［J］. SIAM J. Control. Optim.， 1992， 30（6）： 1319～1337

［7］ Chen D S， Wang H O， Chen G R. Anti-control of H opf bifurcations ［C］. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I： Fundamental Theory and Applications， 2001， 48（6）： 661～672

［9］ 劉素華， 唐駕時. 四維Qi系統(tǒng)零平衡點的Hopf分叉反控制［J］. 物理學報， 2008， 57（10）： 6162～6167

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［11］ Wei Z C， Yang Q G. Anti-control of Hopf bifurcation in the new chaotic system with two stable node-foci［J］. Applied Mathematics and Computation，2010， 217（1）： 422～429

［12］ 王志搴， 唐駕時， 羅迎社. 索-梁耦合結構Hopf分岔的反控制［J］. 固體力學學報， 2016， （37）1： 90～94

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［15］ Park J H. Chaos synchronization of a chaotic system via nonlinear control ［J］. Chaos， Solitons and Fractals， 2005， 25： 579～584

［16］ Yu Y G， Zhang S C. Hopf Bifurcation in the Lsystem ［J］. Chaos， Solitons and Fractals， 2003， 17： 901～906

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［20］ Hassard B D， Kazarinoff N D， Wan Y. Theory and Applications of Hopf Bifurcation ［M］. London： Cambridge University Press， 1981

Anti-control of Hopf Bifurcation for LSystem

CAI Ping1， TANG Jia-shi2
（1. School of Mathematics and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， China；2. College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China）

The nonlinear dynamic property of the equilibrium of Lsystem is studied. According to the conditions of Hopf bifurcation， a certain limit cycle is created from the zero steady state by appropriate control. For nonzero steady state， the controlled system can exhibit Hopf bifurcation in a much larger parameter region at the desired location. Based on the center manifold theory and normal form reduction， the stability index of bifurcation solution is given. The anti-control strategy used keeps the equilibrium structure of the system. Finally， numerical simulation results are presented to illustrate analytical results found.

Lsystem； Hopf bifurcation； anti-control； normal form； stability

O19

A

1672-5298（2016）03-0008-06

2016-06-25

國家自然科學基金面上項目（11372102）； 福建省中青年教師教育科研項目（科技）（ JA15316）

蔡 萍（1979- ）， 女， 福建仙游人， 博士， 閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院講師. 主要研究方向： 非線性動力學