汪　森， 陳　浩, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

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具有均勻Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的一維反鐵磁鏈的孤子激發(fā)

汪森， 陳浩*, 王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

孤子； 反鐵磁鏈； 多重尺度法

準(zhǔn)一維磁體的孤子激發(fā)在理論研究上取得了重大成果，體現(xiàn)在2個方向：(1)一維海森伯鐵磁鏈中的孤子解[1-5]；(2)一維海森伯反鐵磁鏈中的孤子解[6-8].其基本思想均考慮一維海森伯磁性鏈，在存在非線性作用(交換作用各向異性、Aharonov-Bohm效應(yīng)等)時，再考慮外磁場的影響，求出此時磁性鏈所具有的孤子解.

對于一維反鐵磁物質(zhì)來說，超交換作用非常重要．克拉默斯[9]認(rèn)為：反鐵磁性物體內(nèi)部磁性離子之間的交換作用是以隔在中間的非磁性離子為媒介來實現(xiàn)的，并命名為超交換作用，同時提出超交換作用模型，用于解釋反鐵磁自發(fā)磁化的起因．Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用是一種各向異性超交換相互作用[10-11],存在于許多反鐵磁體與弱鐵磁體中，如CuGeO3、La2CuO4、Cs2CuCl4、BaCu2Si2O7等，根源于粒子自旋和軌道耦合的反對稱性， MORIYA[11]5在1960年提出了DM相互作用的表達(dá)式：

(1)其中,Di,j為DM相互作用矢量,反對稱，即Di,j=-Dj,i，Si和Sj分別為格點i和格點j上的自旋矢量．

氧化銅超導(dǎo)體中低溫相的弱磁性、相變問題與DM相互作用有關(guān)，而且它在量子點量子計算中也起著重要的作用．在反鐵磁鏈模型[9-11]中，DM相互作用都是交錯的，對應(yīng)哈密頓量為：

(2)

其中,取DM相互作用的方向為Z方向，即Dz=(0，0，D).然而近年隨著對磁性材料探討的深入，人們發(fā)現(xiàn)，部分反鐵磁體(TiOCl等)在垂直于DM相互作用矢量方向的外磁場作用下，也有可能存在均勻DM相互作用[12-13]. 此后,對該情況下的反鐵磁體的零溫相圖，所用的反鐵磁體的哈密頓量[14]2為：

(3)

由于式(3)描述了反鐵磁體一種不同以往的新現(xiàn)象，求式(3)的孤子解很有必要，但其求解極其困難，如果磁場是弱磁場，對應(yīng)的Zeeman能小于DM相互作用能，粗略計算時忽略Zeeman能，式(3)就變成了具有均勻DM相互作用的一維反鐵磁鏈，此時可求出其孤子解.

本文求出了具有均勻DM相互作用的一維反鐵磁鏈的橢圓函數(shù)波解和對應(yīng)孤子解，并且討論了DM相互作用對一維反鐵磁鏈孤子解的影響．為求解計算過程中出現(xiàn)的非線性方程組，利用了多重尺度方法[15].已知利用多重尺度方法可求出非線性薛定諤方程的包絡(luò)孤子解[16]以及Aharonov-Bohm磁通對反鐵磁鏈中的孤立子的影響[17]．

1　模型的哈密頓量和運動方程

(4)

(5)

假設(shè)a、b子格中自旋分別沿+Z、-Z方向，利用Holstain-Primakoff變換[20]

(6)

(7)

(8)

(9)

利用海森伯運動方程[21]，得到算符al、bl的運動方程為

(10)

(11)

(12)

算符al、bl的本征方程為

(13)

利用式(13)，可將式(10)、(11)化為

(14)

(15)

2　多重尺度方法求解

利用準(zhǔn)分立近似和多重尺度相結(jié)合的方法[16]83，將αl(t)和βl(t)按以下方式展開：

yl(t)=εy(1)(t,ξl,θl)+ε2y(2)(λ,ξl,θl)+…=

(16)

(17)

把式(16)、(17)代入式(14)、(15)，并比較ε的不同冪次項.

(1)比較ε的一次項，得到

(18)

(19)

由式(18)、(19)可假設(shè)

(20)

(21)

式中

(22)

(23)

(2)比較ε的二次項，并結(jié)合式(20)、(21)得到

(24)

(25)

由式(24)、(25)可得

-i[2ωvg+2A1(4DSdcoskd-4JSdsinkd)×

(26)

其中，等號右端含有誘發(fā)久期項的exp(iθl)，為了消除久期項，要求右端方括號內(nèi)的值為0,得到

vg=

(27)

式(27)滿足vg=dω/dk. 由式(24)、(25)，可假定

(28)

(29)

(3)比較ε的三次項，并結(jié)合式(20)、(21)、(24)、(25)、(28)、(29)得到

(30)

exp(-iθl)-[4A1+3(A1)2coskd+coskd]×

(31)

由式(30)、(31)可得

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

即標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程.

3　橢圓函數(shù)波解及相應(yīng)孤子解

當(dāng)P>0、Q>0時，式(36)具有橢圓函數(shù)波解和相應(yīng)亮孤子解[15]169-173，結(jié)合式(16)有

(37)

(38)

其中DN(x,r)被稱為第三類Jacobi橢圓函數(shù)[23],Ω=qvg+q2P-γ+ω,γ>0,γ,q是待定常數(shù)，x0是積分常數(shù).若將所討論的反鐵磁鏈閉合成1個環(huán)，則αl(t)滿足周期邊界條件：

αl(t)=αl+N(t)，

(39)

其中N為元胞個數(shù).將式(39)代入式(38)，結(jié)合第三類Jacobi橢圓函數(shù)的周期性：

DN(μ+2K)=DN(μ),

其中

可得k+q=2nπ/Nd(n=0,±1,±2,…);

當(dāng)r→1時，即K(r)→∞，Nd→∞,式(37)、(38)化為亮孤子解:

exp{i[(k+q)ld-Ωt]}，

(40)

其中Ω=qvg+q2p-γ+ω，γ>0，根據(jù)式(12)得

(41)

可將式(41)歸一化可得

(42)

由式(40)、(42)可知,對于αl(t)的孤子解，其峰值A(chǔ)、寬度Ls、能量E分別為:

其中ω、A1、vg、P、Q分別由式(22)、(23)、(27)、(34)、(35)表述，解αl(t)代表相速為Ω/(k+q)的振蕩波，其包絡(luò)是1個鐘形峰，峰寬由Ls量度，包絡(luò)中心以速度(2qP+vg)在一維鏈中傳播，傳播過程中包絡(luò)的形狀不變，因此φ(xi,t)為包絡(luò)孤子，Ls代表包絡(luò)孤子的尺寸.

4　討論與結(jié)論

本文研究了具有DM相互作用的一維反鐵磁鏈，采用反鐵磁中常用的雙子格模型，在只考慮最近鄰作用時，利用Holstain-Primakoff變換、Glauber相干態(tài)表示，以及Heisenberg運動方程，得到了1個偏微分方程組，然后應(yīng)用多重尺度方法，消除久期項時，得到1個非線性薛定諤方程，求出了在一級近似下該模型的橢圓函數(shù)波解和孤子解，并求出亮孤子(P>0、Q>0)情況下相應(yīng)的特征量——孤子寬度、孤子峰值及孤子能量．結(jié)果表明，孤子寬度、峰值及能量與DM相互作用的Z分量D的關(guān)系非常復(fù)雜，與k的取值有關(guān)，并不隨D的增減而單調(diào)增減．

式(22)表明，系統(tǒng)具有2支譜線. 1支為光學(xué)支，對應(yīng)于

另1支為聲學(xué)支，對應(yīng)于

明顯，-4JS≤ω-≤0≤ω+≤4JS.對于光學(xué)支頂部，此時

ω+=4JS，4JS coskd+4DSsinkd=0，

結(jié)合式(23)、(35),得到Q=0，代入式(36)知，系統(tǒng)只存在簡諧波解，無孤子解；對于聲學(xué)支底部，此時

ω-=-4JS，4JScoskd+4DSsinkd=0，

同理，得到Q→∞，系統(tǒng)波函數(shù)趨于0；對于光學(xué)支底部和聲學(xué)支頂部，有ω+=ω-=0，式(27)中vg→∞，出現(xiàn)奇異性，有待進(jìn)一步研究.

當(dāng)D取0時，式(4)表示各項同性的一維反鐵磁鏈，此時式(35)中Q=0，式(36)在一級近似下沒有孤子解，這表明：均勻DM相互作用的存在破壞了各項同性．當(dāng)2qP+vg=0時，式(41)表示的包絡(luò)振幅不隨時間而變化，代表局域模．

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【中文責(zé)編：成文英文責(zé)編：肖菁】

Soliton Excitation in An One-Dimentional Antiferromagnetic Chain with Uniform Dzyaloshinskii-Moriya Interaction

WANG Sen, CHEN Hao*, WANG Ruiqiang

(School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

soliton; antiferromagnetic chain; multi-scale method

2015-08-23《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項目(11174088)

陳浩，教授，Email: chenhao@scnu.edu.cn.

O482．51；O175．29

A

1000-5463(2016)03-0082-06