鄒 佳，　郭立宏，　張 偉

(西安理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，陜西 西安 710048)

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適應(yīng)性預(yù)期條件下的雙邊平臺動(dòng)態(tài)最優(yōu)價(jià)格研究

鄒 佳，郭立宏，張 偉

(西安理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，陜西 西安 710048)

本文研究了當(dāng)市場兩邊的用戶序貫加入時(shí)，在先加入一邊的用戶對后加入一邊的用戶的數(shù)量形成適應(yīng)性預(yù)期的條件下，雙邊平臺的動(dòng)態(tài)最優(yōu)價(jià)格。本文建立了適應(yīng)性預(yù)期的雙邊市場最優(yōu)控制模型，在壟斷和雙寡頭兩種市場結(jié)構(gòu)中分別使用歐拉方程和拉格朗日乘子法求解出了兩種不同表現(xiàn)形式的最優(yōu)價(jià)格序列，前者表現(xiàn)為任意一期最優(yōu)價(jià)格與以往最優(yōu)價(jià)格之間的關(guān)系，后者表現(xiàn)為從初始期到終止期的最優(yōu)價(jià)格的完整序列，分別適用于解決平臺在以往最優(yōu)價(jià)格已知或以往最優(yōu)價(jià)格未知但終止時(shí)間既定這兩種情況下的定價(jià)問題。最終根據(jù)后一種價(jià)格序列進(jìn)行了數(shù)值仿真。

序貫加入；適應(yīng)性預(yù)期；最優(yōu)控制模型；最優(yōu)價(jià)格序列

1　引言

在雙邊市場中，市場一邊的用戶使用平臺所獲得的價(jià)值取決于市場另一邊的用戶數(shù)量，正是因?yàn)檫@種組間外部性的存在，使雙邊市場任意一邊的需求都取決于另一邊的需求[1,2]。但是當(dāng)市場的兩邊并不是同一時(shí)間加入平臺時(shí)，先加入一方的用戶就無法觀察到后加入一方的實(shí)際需求。例如零售平臺和B2C電子商務(wù)平臺通常會(huì)先引入賣家，然后才會(huì)有買家加入，在決定是否加入平臺時(shí)，買家可以通過直接觀察賣家的實(shí)際數(shù)量進(jìn)行決策，但是賣家卻無法觀察到買家的實(shí)際數(shù)量，同樣的情況也會(huì)出現(xiàn)在電腦操作系統(tǒng)、電子游戲以及廣告等不同類別的雙邊市場中。在這種情況下，先加入一方用戶只能依據(jù)對另一方用戶數(shù)量的預(yù)期進(jìn)行決策。但是當(dāng)先加入一方的用戶所獲得的信息并不充分時(shí)，例如無法觀察到平臺在市場另一邊的價(jià)格或者無法準(zhǔn)確判斷市場另一邊的價(jià)格對該邊需求的影響時(shí)，就不能使自己的需求預(yù)期對價(jià)格的反應(yīng)與實(shí)際的需求反應(yīng)保持一致[3]。

對于缺乏信息的用戶來說，適應(yīng)性預(yù)期(adaptive expectation)是一種合理的假設(shè)，因?yàn)椴捎眠m應(yīng)性預(yù)期的用戶只需要通過觀察市場另一邊以往的實(shí)際需求和預(yù)期需求就可以形成新預(yù)期并不斷自我修正，相比較使預(yù)期需求與實(shí)際需求總是保持一致所需的信息，適應(yīng)性預(yù)期所需的信息通常更容易獲得。適應(yīng)性預(yù)期的概念最早由Cagan[4]提出，用于解釋人們對通貨膨脹的預(yù)期，隨后Phelps[5]和Friedman[6]使用適應(yīng)性預(yù)期描述了Phillips曲線。在通貨膨脹、同業(yè)拆借市場、股票價(jià)格和農(nóng)產(chǎn)品市場等多個(gè)方面，都有研究證實(shí)了適應(yīng)性預(yù)期的存在[7～15]。

本文將離散時(shí)間形式的適應(yīng)性預(yù)期模型[4,5]引入到雙邊市場的研究中，用于研究當(dāng)市場兩邊序貫加入時(shí)，雙邊平臺在先加入一方用戶缺乏信息和非理性條件下的動(dòng)態(tài)最優(yōu)價(jià)格。本文假定平臺能夠?qū)r(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，先加入一方的用戶會(huì)根據(jù)以往的實(shí)際需求和預(yù)期需求而形成新的預(yù)期，預(yù)期和價(jià)格會(huì)相互影響而不斷發(fā)生變化，在此條件下對平臺的最優(yōu)價(jià)格進(jìn)行了研究。

與現(xiàn)有的雙邊市場研究相比，本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下：(1)將適應(yīng)性預(yù)期用于雙邊市場的研究中。現(xiàn)有研究對預(yù)期的假設(shè)分為三種：第一種假定用戶擁有充足的信息，預(yù)期能夠積極地響應(yīng)平臺價(jià)格的變動(dòng)，也就是預(yù)期需求與實(shí)際需求總是能夠保持一致，這種預(yù)期被稱為響應(yīng)性預(yù)期(responsive expectation)[3]，大多數(shù)研究都采用這種假設(shè)[6～22]。

其余兩種是消極性預(yù)期(passive expectation)[23]和謹(jǐn)慎性預(yù)期(wary expectation)，它們都假定用戶缺乏信息，前者指用戶對市場另一邊的需求形成一個(gè)固定的預(yù)期而不隨價(jià)格發(fā)生變化，后者指用戶通過觀察本方價(jià)格而預(yù)測平臺在另一方的最優(yōu)價(jià)格及最優(yōu)需求，并將這種最優(yōu)需求作為預(yù)期[3]。Gabszewicz和Wauthy[23]首次將消極性預(yù)期用于雙邊市場，研究了消極性預(yù)期條件下壟斷市場和具有縱向差異的雙寡頭市場的產(chǎn)出，并與響應(yīng)性預(yù)期的情況進(jìn)行了比較；Hagiu和Halaburda[3]將Gabszewicz和Wauthy[23]的研究推進(jìn)了一步，系統(tǒng)地研究了用戶在不同信息水平下所形成的預(yù)期對壟斷市場和具有橫向差異的雙寡頭市場的均衡價(jià)格和利潤的影響，作者除了對純粹的響應(yīng)性預(yù)期和消極性預(yù)期進(jìn)行了比較之外，還比較了二者的混合模式并新引入了謹(jǐn)慎性預(yù)期。

適應(yīng)性預(yù)期的特點(diǎn)是用戶能夠通過觀察過去的經(jīng)驗(yàn)而形成當(dāng)下的預(yù)期，因此在動(dòng)態(tài)過程中當(dāng)用戶既缺乏信息又不會(huì)保持預(yù)期固定不變，而且還非理性時(shí)，適應(yīng)性預(yù)期是更加符合現(xiàn)實(shí)的假設(shè)。

(2)使用動(dòng)態(tài)模型刻畫了價(jià)格和預(yù)期的變化過程。雙邊市場的靜態(tài)均衡研究只能對達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的價(jià)格進(jìn)行研究，而且通過假定預(yù)期一定會(huì)實(shí)現(xiàn)而完全省略了在形成均衡的過程中預(yù)期和價(jià)格的變化過程[1～3,16～23]。本文所建立的動(dòng)態(tài)模型以參與者每個(gè)時(shí)期的行為作為基礎(chǔ)，考慮到了各個(gè)參與者決策的變動(dòng)過程，因此對解決短期的或非均衡狀態(tài)的平臺定價(jià)問題會(huì)更加有效。

現(xiàn)有的雙邊市場動(dòng)態(tài)研究并沒有重點(diǎn)對用戶預(yù)期問題進(jìn)行過分析，也沒有對預(yù)期類型提出過明確的假設(shè)，例如：Damiano和Lam[24]對存在使動(dòng)態(tài)配對市場趨向穩(wěn)定的配對策略的一般性條件的探討，Satterthwaite和Shneyerov[25]，Shneyerov和Wong[26]對商品保留價(jià)格和成本方面信息不對稱的配對交易市場的研究，Kim和Tse[27]，Kang和Downing[28]對在位者和進(jìn)入者之間競爭的研究，Koh和Fichman[29]在買方用戶多歸屬條件下對買方用戶對相互競爭的兩個(gè)平臺中某個(gè)特定平臺的偏好與該平臺的買賣交易量之間的關(guān)系的研究等。這部分研究都沒有考慮當(dāng)一邊用戶無法積極響應(yīng)另一邊用戶的行為時(shí)的情況，因此本文與這部分研究的主要區(qū)別在于：在一邊用戶無法積極響應(yīng)另一邊用戶行為的假定下對平臺的動(dòng)態(tài)價(jià)格進(jìn)行研究，著重考慮預(yù)期對平臺價(jià)格的影響，并且能夠以解析的形式求解出價(jià)格、預(yù)期需求、實(shí)際需求和利潤的動(dòng)態(tài)變化過程。

(3)考慮了市場兩邊的用戶序貫決策的情況。當(dāng)市場兩邊的用戶并不是同一時(shí)間加入平臺，且平臺按照兩邊加入的順序序貫定價(jià)時(shí)，兩邊用戶的決策就是序貫的。因?yàn)樵谛袆?dòng)時(shí)先加入一方用戶無法觀察到后加入一方的價(jià)格及需求反應(yīng)，而后加入一方用戶則可以觀察到先加入一方的價(jià)格和需求。在動(dòng)態(tài)過程中這是一種合理的假設(shè)，因?yàn)槠脚_的價(jià)格和需求有可能隨時(shí)間發(fā)生變化，先加入一方無法根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)來消除決策時(shí)所面臨的不確定性，而無論對方的需求如何變化，后加入一方在決策時(shí)都可以觀察到一個(gè)確定的結(jié)果。但現(xiàn)有的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)研究都沒有考慮過這種情況[1～3,16～29]。

2　基本假設(shè)

π(τ)是平臺在第τ期的利潤。為了簡化模型假定平臺沒有成本，利潤函數(shù)為

(1)

3　壟斷市場

3.1最優(yōu)控制模型

在每一個(gè)時(shí)期內(nèi)平臺都會(huì)和用戶進(jìn)行一輪博弈，博弈順序?yàn)椋?1)平臺決定賣方價(jià)格；(2)賣方用戶觀察到平臺賣方價(jià)格后決定是否使用平臺；(3)平臺觀察到賣方用戶數(shù)量后決定買方價(jià)格；(4)買方用戶觀察到賣方用戶數(shù)量以及買方價(jià)格后決定是否使用平臺。通過倒序求解后三階段博弈可以將買方最優(yōu)價(jià)格、平臺最優(yōu)需求和最優(yōu)利潤變?yōu)橘u方最優(yōu)價(jià)格的函數(shù)，由于賣方價(jià)格取決于用戶的預(yù)期需求，而預(yù)期需求會(huì)與實(shí)際需求相互影響而不斷發(fā)生變化，因此賣方最優(yōu)價(jià)格要通過建立以預(yù)期需求作為狀態(tài)變量的最優(yōu)控制模型來求解。本小節(jié)將在求解后三階段博弈的基礎(chǔ)上建立最優(yōu)控制模型，而隨后的兩個(gè)小節(jié)則對最優(yōu)控制模型進(jìn)行求解。

(2)

π(τ)為凹函數(shù)的二階條件為αB<2。

(3)

(4)

3.2歐拉方程解

歐拉方程可以表示出動(dòng)態(tài)最優(yōu)條件下不同時(shí)期的控制變量之間的關(guān)系，因此通過求解歐拉方程可以獲得平臺當(dāng)期最優(yōu)價(jià)格與以往最優(yōu)價(jià)格之間的關(guān)系，當(dāng)平臺能夠獲得有關(guān)以往最優(yōu)價(jià)格的信息時(shí)，就可以按照這種方法制定價(jià)格。

將(2)式代入該式進(jìn)行計(jì)算并結(jié)合上一小節(jié)的內(nèi)容，可得出平臺任意一個(gè)時(shí)期的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)滿足的條件為

(5)

由(5)式可以看出，壟斷平臺任意一期的買方和賣方的最優(yōu)價(jià)格都取決于上一期的買方或賣方的最優(yōu)價(jià)格和買方需求的預(yù)期，而任意一期買方需求的預(yù)期則取決于買方或賣方以往所有時(shí)期的最優(yōu)價(jià)格，因此在初始預(yù)期已知的條件下，當(dāng)平臺能夠獲得買賣兩方中任何一方以往最優(yōu)價(jià)格的所有信息時(shí)，便可以按照這種方法制定當(dāng)期和隨后無限時(shí)期的價(jià)格。

3.3拉格朗日乘子法解

當(dāng)平臺無法獲得有關(guān)以往價(jià)格的信息時(shí)就無法使用(5)式所示的方法定價(jià)，例如一個(gè)提供新型服務(wù)的初創(chuàng)平臺既沒有自己的歷史信息也無法參考其他平臺的價(jià)格。因此本小節(jié)使用拉格朗日乘子法求解模型，獲得在終止時(shí)間既定條件下的完整的最優(yōu)價(jià)格序列，作為平臺在該情況下的定價(jià)方法。

(6)

4　雙寡頭市場

4.1最優(yōu)控制模型

在最優(yōu)狀態(tài)下平臺在買方的最優(yōu)價(jià)格和市場份額為

(7)

平臺1在第τ期的利潤為

(8)

(9)

(10)

4.2歐拉方程解

(11)

與壟斷的情況不同，雙寡頭平臺在買方的最優(yōu)價(jià)格僅與差異化水平相關(guān)，而任意一個(gè)時(shí)期的賣方最優(yōu)價(jià)格僅取決于上一個(gè)時(shí)期的賣方最優(yōu)價(jià)格。在初始預(yù)期已知的條件下，通過(7)式和(11)式，平臺可以根據(jù)以往任意一期的賣方最優(yōu)價(jià)格制定當(dāng)期及隨后無限時(shí)期的價(jià)格。

4.3拉格朗日乘子法解

(12)

5　數(shù)值仿真

6　結(jié)論

本文在用戶采用適應(yīng)性預(yù)期的條件下建立了雙邊市場的最優(yōu)控制模型，在壟斷和雙寡頭兩種市場結(jié)構(gòu)中，分別通過歐拉方程和拉格朗日乘子法求解出兩種不同表現(xiàn)形式的最優(yōu)價(jià)格序列，對平臺的動(dòng)態(tài)最優(yōu)價(jià)格進(jìn)行了研究，最終得出以下結(jié)論：

(1)在壟斷市場中，在初始預(yù)期已知的條件下，平臺任意一期的買方和賣方的最優(yōu)價(jià)格都可以表示為買賣兩方中任何一方以往所有時(shí)期的最優(yōu)價(jià)格的函數(shù)或者時(shí)間的函數(shù)，二者分別由文中的(5)式和(6)式給出。當(dāng)任何一方以往所有時(shí)期的最優(yōu)價(jià)格都已知時(shí)，平臺可以按照(5)式制定當(dāng)期和隨后無限時(shí)期的買方和賣方價(jià)格；當(dāng)以往價(jià)格未知但終止時(shí)間既定時(shí)，平臺可以按照(6)式制定自初始期到終止期的買方和賣方價(jià)格。

(2)在對稱的雙寡頭市場中，平臺的買方最優(yōu)價(jià)格等于平臺之間的差異化程度而與時(shí)間無關(guān)；在初始預(yù)期已知的條件下，任意一期的賣方最優(yōu)價(jià)格可以表示為上一期賣方最優(yōu)價(jià)格的函數(shù)或者時(shí)間的函數(shù)，二者分別由文中的(11)式和(12)式給出。當(dāng)以往任意一期的賣方最優(yōu)價(jià)格已知時(shí)，平臺可以按照(11)式制定當(dāng)期和隨后無限時(shí)期的賣方價(jià)格；與壟斷的情況相同，當(dāng)以往價(jià)格未知但終止時(shí)間既定時(shí)，平臺可以按照(12)式制定自初始期到終止期的賣方價(jià)格。

本文的研究還可以在預(yù)期類型和市場結(jié)構(gòu)兩方面進(jìn)行拓展。通過對模型中的狀態(tài)方程進(jìn)行調(diào)整，可以將研究拓展到其他類型預(yù)期的市場；對雙寡頭市場的研究可以通過Salop環(huán)[32,33]的方法拓展到一般性的差異化多寡頭市場，同時(shí)也可以稍加改變就拓展到兩邊都具有差異化且單歸屬的寡頭市場。

本文的主要不足在于沒有考慮用戶采用不同預(yù)期時(shí)的情況。在今后的研究中，作者將對適應(yīng)性預(yù)期條件下雙邊市場趨于穩(wěn)態(tài)的一般性條件進(jìn)行探討，并且還要以某個(gè)具體的雙邊市場為例對用戶預(yù)期的類型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

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The Dynamic Optimal Prices of Two-sided Platform with Adaptive Expectations

ZOU Jia, GUO Li-hong, ZHANG Wei

(SchoolofEconomicsandManagement,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

We study the dynamic optimal prices of two-sided platforms which the two sides of users sequentially join and the users of firstly joining side form adaptive expectations to the quantity of the users of secondly joining side. We build up the optimum control model of two-sided market based on adaptive expectation and respectively solve the model through Euler equation and Lagrangian multiplier method in order to obtain two optimal prices sequences which differ in the types of expression in each of the monopoly and duopoly market. The two sequences, which the former one is shown as the relation between the optimal prices of the current period and the optimal prices of past periods and the later one is shown as the complete optimal prices sequence from initial period to terminal period, would respectively apply to the pricing problem of platforms under different conditions that the optimal prices of past periods are given or the time of termination is given rather than that of the past optimal prices. Finally, we simulate the numerical values of optimal prices based on the later sequence.

sequential joining; adaptive expectation; optimum control model; optimal prices sequences

2015- 05-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71172201)；陜西省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(107-221450)

F224.32

A

1003-5192(2016)04- 0069- 06

10.11847/fj.35.4.69