張本鑫　朱志斌

全變差圖像恢復(fù)的自適應(yīng)步長梯度投影算法

張本鑫1，2朱志斌3，4

針對圖像去噪問題，本文基于全變差對偶公式提出一個新的梯度投影算法.算法采用改進(jìn)的非單調(diào)線搜索和自適應(yīng)BB（Barzilai-Borwein）步長，有效地改善了Chambolle梯度投影算法收斂慢的缺點.數(shù)值結(jié)果表明新算法優(yōu)于一些已有的梯度投影算法.

梯度投影，全變差，自適應(yīng)步長，改進(jìn)的線搜索，圖像恢復(fù)

引用格式張本鑫，朱志斌.全變差圖像恢復(fù)的自適應(yīng)步長梯度投影算法.自動化學(xué)報，2016，42（9）：1347-1355

自從Rudin，Osher和Fatemi（ROF）第一次提出全變差（Total variation，TV）去噪模型［1］，TV模型已經(jīng)成為圖像處理領(lǐng)域中非常成功的技術(shù)，在圖像恢復(fù)、去模糊、重建、修復(fù)等［2-5］方面得到廣泛應(yīng)用.ROF模型可以保留圖像的不連續(xù)邊界同時用下面的最小化函數(shù)去除噪音：

其中ω：Ω→R2是對偶變量.?·是散度算子.最近許多學(xué)者提出一些關(guān)于對偶ROF公式的算法.由于在對偶的情況下，不需要進(jìn)行光滑化處理.因此可以直接得到原問題的最優(yōu)解.Chan等提出對偶的想法［6］，并用牛頓法求解對偶形式的ROF模型.因此他們的方法具有局部二次收斂速度.但算法需要計算矩陣的逆.Chambolle提出了梯度投影下降算法［7-8］，它能快速收斂于中等精度而被廣泛應(yīng)用.隨后許多學(xué)者提出了基于Chambolle全變差最小化算法.基于二階廣義全變差正則項，文獻(xiàn)［9］提出了模糊圖像恢復(fù)的分裂Bregman算法.二階全變差可能需要較多的計算這會導(dǎo)致算法的CPU時間增多.文獻(xiàn)［10］提出了一個結(jié)合BB（Barzilai-Borwein）步長的譜共軛梯度投影算法求解圖像去噪問題，該算法使用了單調(diào)線搜索，這可能會限制BB步長的數(shù)值表現(xiàn).Xiao等提出了一個求解l1非光滑問題的非單調(diào)BB梯度算法［11］，數(shù)值結(jié)果表明可以和比較著名的算法相媲美.文獻(xiàn)［12-13］將交替使用BB步長的投影梯度算法應(yīng)用到壓縮感知和非負(fù)矩陣的分解上，并取得了較好的效果.文獻(xiàn)［14］在子算法中結(jié)合BB步長，有效地求解了核范數(shù)極小化問題.文獻(xiàn)［15］提出了求解全變差圖像恢復(fù)問題的非單調(diào)梯度投影算法.將Chambolle的最小化全變差方法拓展到非單調(diào)下降方法，先用BB步長代替Chambolle投影算法的常數(shù)步長，再用Dai等提出的自適應(yīng)非單調(diào)線搜索［16］保證算法的全局收斂性.

在高精度要求時，數(shù)值試驗表明，交替使用BB步長比單獨使用某一個BB公式的效果更好.因此，本文提出了一個基于全變差圖像恢復(fù)自適應(yīng)步長選擇的BB梯度投影算法.為了保證算法的收斂性，給出一個修正的非單調(diào)線搜索.這個線搜索可以得到一個較大的步長以及較少的計算函數(shù)值次數(shù)，因而減少算法迭代的時間.

1　自適應(yīng)BB步長投影算法

Chambolle在文獻(xiàn)［7］中得到問題（1）的解u表示如下：

上式中散度算子?·：X→Y定義為?·=-??，即對任意的ω∈Y和u∈X，〈-?·ω，u〉=〈ω，?u〉.因此求取式（1）的解取決于計算非線性映射，即等價于求解下面的約束優(yōu)化問題：

對偶問題（4）的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件為：

其中當(dāng)|ωi，j|=1時，αi，j＞0.當(dāng)|ωi，j|＜1時，αi，j=0.在后一種情況下，（?（?·ω+λf））i，j=0.故，綜合可知拉格朗日乘子α∈X滿足

由上述分析可知問題（4）的歐拉—拉格朗日公式為

因此，Chambolle提出了一個半隱式梯度下降算法：

其中τ＞0是一個時間步長.顯然，在Chambolle的投影算法中只要初始條件滿足|ω|≤1，那么在迭代過程中ω自然滿足約束條件.為了保證算法（7）的收斂性，Chambolle給出了下面的充分條件.

在文獻(xiàn)［8］中，Chambolle建議用一個簡單的投影梯度下降方法代替式（7），即

應(yīng)用梯度投影算法的基本結(jié)果，文獻(xiàn)［17］證明了當(dāng)0＜τ≤1/4時，式（8）是收斂的.試驗表明當(dāng)τ=0.248時會有更好的數(shù)值表現(xiàn).不管是半隱式梯度下降算法（7）還是梯度投影算法（8）都需要函數(shù)值在每次迭代時單調(diào)下降.但當(dāng)目標(biāo)函數(shù)病態(tài)時，收斂到最優(yōu)值的速度常常會變慢.這可以解釋為用最速下降法求解無約束優(yōu)化問題，初始的幾步收斂得比較快，這是為什么Chambolle梯度投影算法能快速地收斂于中等精度的原因.但當(dāng)接近于最優(yōu)解時，算法會出現(xiàn)“鋸齒”現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度變慢.采用BB步長可以有效地解決上述問題.特別是對于二次函數(shù)，在問題病態(tài)時，交替使用BB步長會克服問題的病態(tài)性，更快地收斂于最優(yōu)解，詳細(xì)分析見文獻(xiàn)［18］.許多文獻(xiàn)表明，在高精度要求時采用自適應(yīng)BB步長會有更好的數(shù)值表現(xiàn)，本文數(shù)值試驗部分也驗證了這一點.

本節(jié)提出一個求解問題（4）的非單調(diào)自適應(yīng)步長梯度投影算法，它有效地改進(jìn)上述算法中式（7）和（8）收斂慢的缺點.問題（4）可以看作是在閉凸集上求解一個可微凸函數(shù)的最小化問題.首先考慮無約束優(yōu)化問題minω∈RnF（ω），梯度方法的迭代過程為ωk+1=ωk-μkgk，k=0，1，···，gk=?F（ωk），其中步長μk＞0通過合適的選擇規(guī)則確定.

Barzilai等提出一個獨創(chuàng)性的梯度方法［19］，步長由下面兩式?jīng)Q定：

其中sk-1=ωk-ωk-1，yk-1=gk-gk-1.實際上，是以下兩個近似割線方程

的最優(yōu)解.它是投影擬牛頓法的一種快速逼近算法.由于其形式簡單以及數(shù)值表現(xiàn)突出，故在工程應(yīng)用中得到了極大的關(guān)注.

用式（11）和（12）代替Chambolle算法中的時間步長τ，得到兩個相應(yīng)的非單調(diào)Chambolle投影算法.即非單調(diào)Chambolle半隱式梯度投影算法：

下面給出改進(jìn)的非單調(diào)線搜索梯度投影算法的具體步驟，記為算法1.

算法1.改進(jìn)的非單調(diào)線搜索梯度投影算法

少先隊員們在志愿活動中自主策劃方案、自主踐行活動、自主評價成果，不斷促進(jìn)自身主動地成長。自主，是少先隊員當(dāng)家做主的權(quán)利，是雛鷹日漸豐滿羽翼的催化劑，是少先隊員翱翔藍(lán)天的力量源泉！

步驟1.給定ω0∈Y，M≥1，θ∈（0，1），∈∈（0，1），k：=0，0＜ρmin＜ρmax.

步驟2.如果‖p（gk）‖=0，停止.

步驟5.改進(jìn)的非單調(diào)線搜索：

步驟6.令k=k+1，轉(zhuǎn)步驟2.

步驟3中的自適應(yīng)BB步長選擇算法：

步驟3.1.若k=0，令μ0∈［ρmin，ρmax］，τ1∈（0，1），Mμ為一正整數(shù).

3.6，否則轉(zhuǎn)步驟3.3.

步驟3.3.求

定義gs（ω）=ω（ω，μBB，g）-ω，其中s∈［ρmin，ρmax］.由文獻(xiàn)［20］中的引理2.1可知，

如果ωk不是穩(wěn)定點，那么〈gk，dk〉＜-‖dk‖2/ρmax，因此搜索方向是下降方向.如果γ=0，式（16）就是標(biāo)準(zhǔn)的非單調(diào)線搜索.再由文獻(xiàn)［20］中的定理2.3知，只要∈［ρmin，ρmax］，算法1是收斂的.下面給出一般情形下算法1的收斂性.

定理2.算法1是適定的，且序列｛ωk｝的任意聚點ω?是式（4）的約束穩(wěn)定點.

再由γ的取值可得

所以式（16）是非單調(diào)下降，步長可以有限步得到.因此，算法1是適定的.

令ω?是｛ωk｝的聚點.考慮下面兩種情況：

剩下的證明類似于文獻(xiàn)［20］中定理2.3，此處不再詳細(xì)給出，有興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)［20］.因此，ω?是一個約束穩(wěn)定點.

成立的整數(shù).再由式（16）可得，對于k＞M-1（見文獻(xiàn)［21］），

當(dāng)k→∞時，F(xiàn)（ωl（k））→-∞，與F（ω）有界矛盾.因此，ω?是一個約束穩(wěn)定點.?

定理3是文獻(xiàn)［22］中的命題1，該性質(zhì)說明由對偶問題的解可以得到原問題的解.

定理3.令｛ωk｝是任意的序列，ωk∈K，k= 1，2，···，K=｛ω：|ω|≤1｝且｛ωk｝的所有聚點是式（4）的穩(wěn)定點.那么當(dāng)k→∞時，序列收斂于式（1）的唯一解

2　數(shù)值結(jié)果

本節(jié)給出算法1的數(shù)值表現(xiàn).仿真實驗在內(nèi)存為2GB處理器為i3的個人電腦上進(jìn)行.在兩個實驗中，Matlab版本為R2011a，高斯噪音由Matlab中的加噪函數(shù)imnoise產(chǎn)生，方差是0.01.采用均方根誤差（Root mean square error，RMSE）評價算法恢復(fù)的效果，定義如下

其中u是真實的圖像，uk是算法得到的圖像.

2.1和Chambolle梯度投影算法比較

本節(jié)將算法1和文獻(xiàn)［7—8］中的方法進(jìn)行對比.在算法1中，參數(shù)設(shè)置如下，α0=1，M=5，θ=10-5，ρmax=1010，ρmin=10-10，σ=0.5.保真項λ=0.053.

表1　數(shù)值結(jié)果Table 1Numerical results

測試如下算法：

1）文獻(xiàn)［7］算法：半隱式梯度下降算法，τ= 0.248，記為Chambolle.

2）文獻(xiàn)［8］算法：梯度投影下降算法，τ= 0.248，記為Chambolle1.

3）MChambolle：算法1中自適應(yīng)步長選擇算法，ωk+1（·）由式（13）計算，γ=0.5.

4）GPSSABB：算法1中自適應(yīng)步長選擇算法，ωk+1（·）由式（14）計算，γ=0.

5）MGPSSABB：算法1中自適應(yīng)步長選擇算法，ωk+1（·）由式（14）計算，γ=0.5.五種方法的停止準(zhǔn)則為

為了公平測試算法的速率，每幅圖像進(jìn)行10次試驗，表1給出迭代步數(shù)和CPU時間（秒）的10次平均數(shù)值結(jié)果.可以看出，四種方法恢復(fù)的RMSE值相差不大，但算法1有效地改善了Chambolle算法的收斂速度.圖1給出了Boat（1024×1024）恢復(fù)的結(jié)果.圖2說明非單調(diào)下降算法有效地改善原始算法的數(shù)值表現(xiàn)，特別是對高精度要求和大尺寸的圖像效果更好.

圖1　Boat（1024×1024）去噪結(jié)果Fig.1Denoising results of Boat（1024×1024）

2.2和梯度投影類算法比較

文獻(xiàn)［22］給出求解式（4）的一系列BB梯度投影算法且在基于對偶間隙的基礎(chǔ)上給出算法的一個停止準(zhǔn)則.下面給出文獻(xiàn)［22］中基于對偶間隙的停止準(zhǔn)則.

由TV范數(shù)的定義，ROF模型有如下形式：

利用文獻(xiàn)［23］中命題2.4的min-max定理，問題（1）可轉(zhuǎn)化為：

圖2　Boat（1024×1024）梯度投影的相對范數(shù)vs.CPU時間（秒）Fig.2Relative norm of projected gradient vs. CPU time（s）of Boat（1024×1024）

式（18）中內(nèi)層最小化問題的精確解為：

將式（19）代入式（18）中，可得對偶問題：

對偶間隙定義如下：

如果u和ω是可行解，那么

其中O為原對偶最優(yōu)值.如果（u，ω）是原對偶問題的最優(yōu)解，那么

下面具體分析當(dāng)ω=ωk滿足如下停止準(zhǔn)則時

由算法1得到的u逼近最優(yōu)解ˉu，其中Tol是很小的正整數(shù).從式（3），可以推出

本節(jié)給出算法在停止準(zhǔn)則（21）下的數(shù)值表現(xiàn)，并與文獻(xiàn)［22］中一些梯度投影算法比較.測試圖像為Cameraman（256×256），Barbara（512×512）.在試驗中，保真參數(shù)λ=0.045，ρmax=105，ρmin= 10-5，M=5，θ=10-4，α0=1，σ=0.5，Mμ=2.

測試如下算法.

1）文獻(xiàn)［7］算法：半隱式梯度下降算法，τ= 0.248，記為Chambolle.

2）文獻(xiàn)［22］的一些梯度投影算法：GPCL，GPLS，GPBBM，GPBBM（3），SQPBBM，GPBB-safe，GPBBNM，GPABB.

3）GPSSABB：算法1中自適應(yīng)步長選擇算法，ωk+1（·）由式（14）計算，γ=0.

4）MGPSSABB：算法1中自適應(yīng)步長選擇算法，ωk+1（·）由式（14）計算，γ=0.5.

圖3分別給出Tol=10-4時Cameraman和Tol=10-6時Barbara圖像恢復(fù)的結(jié)果.可以看出，算法1能夠有效地去除噪音得到清晰的圖像.表2和3給出Tol=10｛-2，-3，-4，-6｝的數(shù)值結(jié)果.其中GPBBNM表示在標(biāo)準(zhǔn)非單調(diào)線搜索下僅使用的梯度投影算法.GPABB是另一種形式的交替使用BB步長梯度投影算法.GPBBNM和GPABB算法是文獻(xiàn)［22］中表現(xiàn)最好的算法，具體形式可以參考文獻(xiàn)［22］.從這兩個表中可以發(fā)現(xiàn)，Tol≤10-4時，新算法優(yōu)勢并不明顯，甚至稍微慢于其他算法，如GPABB和GPBBNM.但Tol=10-6時，MGPSSABB的優(yōu)勢明顯地表現(xiàn)出來，迭代步數(shù)和時間比GPABB和GPBBNM大大減少.圖4給出了對偶間隙隨時間變化的曲線.在算法滿足停止準(zhǔn)則終止時，從圖4可以看出新算法CPU時間遠(yuǎn)少于GPABB和GPBBNM算法的CPU時間.這也證實了算法1在采用自適應(yīng)BB步長和改進(jìn)的線搜索下，能夠更快地收斂于最優(yōu)解，特別是精確恢復(fù)大尺寸圖像和高精度要求時.

表2　Cameraman（256×256）迭代步數(shù)和CPU時間（秒）Table 2Number of iterations（Iter）and CPU time（s）of Cameraman（256×256）

表3　Barbara（512×512）迭代步數(shù)和CPU時間（秒）Table 3Number of iterations（Iter）and CPU time（s）of Barbara（512×512）

圖3　Cameraman（Tol=10-4）和Barbara（Tol=10-6）MGPSSABB的去噪結(jié)果Fig.3Denoising results of MGPSSABB of Cameraman（Tol=10-4）and Barbara（Tol=10-6）

圖4　四個算法的對偶間隙vs.CPU時間（秒）（Tol=10-6）Fig.4Duality gap vs.CPU time（s）for four algorithms（Tol=10-6）

通過圖2和圖4發(fā)現(xiàn)，相對范數(shù)和對偶間隙在迭代過程中不是單調(diào)下降.而這個非單調(diào)性是文獻(xiàn)［16］指出的一個重要特征，它可能使算法更快地收斂于最優(yōu)解.

最后，這兩節(jié)的數(shù)值試驗表明新提出的自適應(yīng)步長梯度投影算法是有效的，優(yōu)于其他幾種梯度投影算法.

3　結(jié)論

針對全變差圖像去噪問題，本文提出了一個自適應(yīng)BB步長梯度投影算法，用著名的BB步長代替Chambolle梯度投影算法中的時間常數(shù)步長，并在改進(jìn)的非單調(diào)線搜索下證明算法的全局收斂性.數(shù)值結(jié)果表明，新提的算法有效地改善了原始方法.從表1中數(shù)值結(jié)果可以看出，特別是對于大尺寸圖像，新算法運(yùn)行的CPU時間大約是Chambolle半隱式梯度投影方法的CPU時間的一半.并與其他梯度投影方法做比較，其數(shù)值表現(xiàn)也有明顯優(yōu)勢.

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張本鑫桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動化學(xué)院博士研究生.主要研究方向為最優(yōu)化方法和變分法在圖像處理中的應(yīng)用.

E-mail：zbx913@163.com

（ZHANGBen-XinPh.D.candidate at the School of Electronic Engineering and Automation，Guilin University of Electronic Technology.His research interest covers optimization algorithm，variational method and their applications in image processing.）

朱志斌桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授.2004年獲西安交通大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位.主要研究方向為最優(yōu)化方法及其在圖像處理和反問題中的應(yīng)用.本文通信作者.

E-mail：optimization_zhu@163.com

（ZHUZhi-BinProfessor at the School of Mathematics and Computing Science，Guilin University of Electronic Technology.He received his Ph.D.degree in applied mathematics from Xi＇an Jiaotong University in 2004.His research interest covers optimization and their applications in image processing and its inverse problem.Corresponding author of this paper.）

Gradient Projection Algorithm for Total Variation Image Restoration by Adaptive Steplength Selection Rules

ZHANG Ben-Xin1，2ZHU Zhi-Bin3，4

We propose a new gradient projection algorithm for image denoising based on the dual of total variation. The new method exploits nonmonotone line-search and adaptive steplength selection based on strategies for alternation of the well-known Barzilai-Borwein rules.The proposed method is much faster than the Chambolle＇s gradient projection algorithm.Numerical results illustrate the efficiency of this method.

Gradient projection，total variation，adaptive steplength selection，new line search，image restoration

Manuscript March 24，2015；accepted April 28，2016

10.16383/j.aas.2016.c150146

Zhang Ben-Xin，Zhu Zhi-Bin.Gradient projection algorithm for total variation image restoration by adaptive steplength selection rules.Acta Automatica Sinica，2016，42（9）：1347-1355

2015-03-24錄用日期2016-04-28

國家自然科學(xué)基金（11361018，11461015），廣西省自然科學(xué)基金（2014GXNSFFA118001），廣西自動檢測技術(shù)與儀器重點實驗室基金（YQ15112，YQ16112），廣西高?？蒲幸话沩椖浚↘Y2016YB167），桂林市科技攻關(guān)項目（20140127-2），廣西和桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目（YJCXB201502）資助

SupportedbyNationalNaturalScienceFoundationof China（11361018，11461015），NaturalScienceFoundation of Guangxi Province（2014GXNSFFA118001），Guangxi Key Laboratory of Automatic Detecting Technology and Instruments（YQ15112，YQ16112），Guangxi Education Scientific Research Program（KY2016YB167），Guilin Science and Technology Project（20140127-2），Innovation Project of Guangxi and Guilin University of Electronic Technology Graduate Education（YJCXB201502）

本文責(zé)任編委黃慶明

Recommended by Associate Editor HUANG Qing-Ming

1.桂林電子科技大學(xué)電子工程與自動化學(xué)院桂林5410042.桂林電子科技大學(xué)廣西自動檢測技術(shù)與儀器重點實驗室桂林5410043.桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院桂林5410044.桂林電子科技大學(xué)廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點實驗室桂林541004

1.School of Electronic Engineering and Automation，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 5410042.Guangxi Key Laboratory of Automatic Detecting Technology and Instruments，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004 3.School of Mathematics and Computing Science，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 5410044.Guangxi Colleges and Universities Key Laboratory of Data Analysis and Computation，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004