王興平

時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

王興平1

研究滿足駐留時間條件的時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在一致完全可控條件下，引入帶權可控性格拉姆矩陣設計出參數(shù)化的反饋控制器，利用比較原理給出狀態(tài)轉移矩陣的超調估計.針對駐留時間已知和未知兩種情況，通過選擇設計參數(shù)消除切換產生的超調影響，建立了兩個指數(shù)鎮(zhèn)定結論.最后以仿真實例驗證本文結論.

時變線性切換系統(tǒng)，駐留時間，超調，狀態(tài)轉移矩陣，指數(shù)鎮(zhèn)定

引用格式王興平.時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定.自動化學報，2016，42（9）：1440-1444

切換系統(tǒng)由一組有限個子系統(tǒng)和一個描述子系統(tǒng)如何切換的切換規(guī)則組成.工程中有許多系統(tǒng)，如化工系統(tǒng)、機電系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)等，在不同階段或不同條件需以不同的系統(tǒng)模型來描述，它們都可歸結為切換系統(tǒng).由于這些工程應用背景的推動，近年來，切換系統(tǒng)的研究在控制理論領域備受關注.

共同二次Lyapunov函數(shù)方法是切換系統(tǒng)研究最基本的方法［1-4］.這一方法與一般系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)方法平行，思路最為簡明，得到的結果可以適用于任意切換規(guī)則，但這一方法對系統(tǒng)有相當高的要求，文獻［5］利用Lie代數(shù)理論給出共同二次Lyapunov函數(shù)存在的條件.對一般切換系統(tǒng)，共同二次Lyapunov函數(shù)并不總是存在［6］.在文獻［7］中，作者針對切換系統(tǒng)的特點引入多Lyapunov函數(shù)方法，這一方法擴展了Lyapunov函數(shù)方法應用的范圍，是切換系統(tǒng)研究的重要方法［8-10］.文獻［11］將LaSalle不變原理推廣到一類線性切換系統(tǒng)，對多Lyapunov函數(shù)方法作出進一步的補充完善.還有一些文獻不使用Lyapunov函數(shù)方法研究切換系統(tǒng)［12-14］，其中文獻［12］的方法比較富有啟發(fā)性.切換系統(tǒng)在系統(tǒng)切換時會出現(xiàn)超調現(xiàn)象，它能使一個由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)變得不穩(wěn)定.文獻［12］對切換超調做出估計并給出消除超調的方法，建立了線性切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的結論.

本文在駐留時間假設下研究時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在現(xiàn)有文獻中，關于這一問題的結論尚不多見.在時變系統(tǒng)中應用Lyapunov函數(shù)方法往往會牽涉復雜的數(shù)學處理，本文的研究方法追隨文獻［12］.切換系統(tǒng)不同于一般系統(tǒng)的一個特點是系統(tǒng)在切換時會發(fā)生超調，這會使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)變得不穩(wěn)定.所以，實現(xiàn)切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定除實現(xiàn)子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定外，還需消除切換超調的不利影響.本文引入帶權格拉姆可控性矩陣，對滿足一致完全可控性條件的時變線性系統(tǒng)設計出含設計參數(shù)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器，然后利用微分方程的比較原理給出系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣在切換時的超調估計.在駐留時間已知和未知兩種情況下，通過選擇適當?shù)脑O計參數(shù)消除超調的不利影響，給出兩個時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定結論.這兩個結論可看作文獻［12］中的結果在時變情景下的推廣.本文結論證明使用基于狀態(tài)轉移矩陣的矩陣分析技術比基于Lyapunov函數(shù)的分析方法更簡潔，同時這一方法建立在對系統(tǒng)狀態(tài)的直接分析上，相同的條件下可以得到更直接的結果.

1　基本概念和問題敘述

考慮時變連續(xù)線性系統(tǒng)

的解為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)轉移矩陣，記為Φ（t，s）.系統(tǒng)（1）的可控性格拉姆矩陣（簡稱格拉姆矩陣）定義為

稱時變線性系統(tǒng)（1）是完全可控的（Completely controllable），如在任意時刻t0，任給初值，都存在定義在某一區(qū)間［t0，tf］上的控制輸入，將系統(tǒng)狀態(tài)在tf時刻驅動至0［15］.系統(tǒng)（1）是完全可控的一個充要條件是：對任給t0≥0，都存在tf＞t0使得G（t0，tf）＞0是正定的［15］.進一步如存在ε2＞ε1＞0，δ＞0使對所有t≥0都成立

就稱系統(tǒng)（1）關于完全可控性是一致的（Uniform with respect to complete controllability）［16］.

考慮包含N個n維時變線性系統(tǒng)的切換系統(tǒng)

其中切換函數(shù)σ（t）：［0，∞）→｛1，2，···，N｝是一個右連續(xù)的分段常值函數(shù)，對k=1，···，N，所有矩陣Ak（t），Bk（t）的元素都是分段連續(xù)的.切換函數(shù)σ（t）的切換時刻0=t0＜t1＜···定義為

記τk=tk+1-tk.在本文我們對切換函數(shù)σ（t）提出駐留時間假設.

假設1.切換函數(shù)σ（t）的駐留時間τ=infkτk＞0.

本文研究時變線性切換系統(tǒng)（5）的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.在切換函數(shù)σ（t）滿足假設1的條件下，分別就τ已知和τ未知兩種情況設計具有時變增益陣的狀態(tài)反饋控制器

指數(shù)鎮(zhèn)定時變線性切換系統(tǒng)（5）.

2　主要結論

2.1基本引理

仿照文獻［16］，引入帶權格拉姆矩陣

如存在δ＞0，使得對所有t≥0系統(tǒng)（1）的格拉姆矩陣G（t，t+δ）＞0，則對任意t≥0，

取反饋增益陣

以Φ（α，δ，t，s）表示系統(tǒng)（9）的狀態(tài)轉移矩陣，下面引理給出一個Φ（α，δ，t，s）的范數(shù)估計.

引理1.如果存在ε2＞ε1＞0，δ＞0使得系統(tǒng)（1）的格拉姆矩陣G（t，s）對所有t≥0滿足式（4），則對任意α＞0和任意t≥s≥0都有

從引理1的結論可以推出，當α＞0時，控制器（8）可以指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)（1）.另外，當t→s時，狀態(tài)轉移矩陣會出現(xiàn)瞬態(tài)超調［12］.引理1對這一超調也給出估計，這一超調具有上界.超調現(xiàn)象對切換系統(tǒng)的穩(wěn)定控制有著不利的影響，它能使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)經切換變?yōu)椴环€(wěn)定，實現(xiàn)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定必須要消除超調的影響.從引理1可以看出，當t＞s時，只要選取充分大的α，自t時刻之后超調對轉移矩陣的影響就會被指數(shù)衰減項e-2α（t-s）任意抵消.這一事實是后面主要結論證明的基礎.引理的證明在附錄中給出.

2.2主要定理

以Φi（t，s），Gi（t，s）分別表示切換系統(tǒng)（5）的第i個子系統(tǒng)

的狀態(tài)轉移矩陣和格拉姆矩陣，相應的帶權格拉姆矩陣Gi（α，t，s）定義為

定理1.假定時變線性切換系統(tǒng)（5）的切換函數(shù)σ（t）滿足假設1且τ已知.如果存在δ＜τ和ε2＞ε1＞0使對所有i=1，2，···，N和所有t≥0都有

則當

時，狀態(tài)反饋控制器

指數(shù)鎮(zhèn)定時變線性切換系統(tǒng)（5）.

證明.記

將反饋控制器（15）作用到切換系統(tǒng)（5）得到

下面證明如α滿足條件（14），系統(tǒng)（17）是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.

設σ（t）具有切換時刻0=t0＜t1＜t2＜···，系統(tǒng)（17）可以寫成分段形式

其中Φi（α，δ，t，s）是系統(tǒng)

的狀態(tài)轉移矩陣.于是，由式（19），得

利用條件（14）可以推出兩個不等式，

根據(jù)引理1，得到（20）中狀態(tài)轉移矩陣的估計

將式（23）代入式（20），并應用式（21）、（22）化簡整理可得

此即閉環(huán)系統(tǒng)（17）是指數(shù)漸近穩(wěn)定的.

下面考慮切換函數(shù)σ（t）滿足假設1但駐留時間τ未知這一情況.由于定理1中的τ和δ需要滿足條件δ＜τ，在τ未知時，這一條件是無法驗證的，所以，定理1的結論在這一情況下是不可用的.下面我們給出新的反饋控制設計方法.這一方法是在每一切換時刻tk給出τ的估計值，根據(jù)估計值選擇滿足的δk及合適的αk，再由選定的αk和δk分別按式（12）、（16）計算Gσ（tk）（αk，t，s）及反饋增益矩陣Kσ（tk）（αk，δk，t）.

為保證Kσ（tk）（αk，δk，t）的計算對所有可能的τ＞0都有意義，這里提出條件，要求對任意小的δ＞0都存在ε1，ε2＞0使式（13）成立，也即存在定義在正實數(shù)集上的非負連續(xù)函數(shù)ε2（δ）＞ε1（δ）＞0，使對所有i=1，2，···，N，t≥0和δ＞0都有

定義函數(shù)

則h（δ）＞1且在（0，1］上是連續(xù)單調下降的.

依照上面描述的思路，下面給出在每一切換時刻設計狀態(tài)反饋控制器的遞歸步驟.

初始化.在系統(tǒng)初始時刻t0=0，直接取作為τ的估計值，然后定義

按式（12）和式（16）分別計算格拉姆矩陣Gσ（t0）（α0，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（0）（α0，δ0，t），定義t0=0時刻狀態(tài)反饋控制器為

步驟1.在切換時刻t=t1，取作為τ的估計值并定義

按式（12）和式（16）分別計算格拉姆矩陣Gσ（t1）（α1，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（t1）（α1，δ1，t），定義t1時刻狀態(tài)反饋控制器為

步驟k.在切換時刻t=tk，取作為τ的估計值并定義

按式（12）和式（16）分別計算格拉姆矩陣Gσ（tk）（αk，t，s）和反饋增益矩陣Kσ（tk）（αk，δk，t），定義tk時刻狀態(tài)反饋控制器為

按這樣的遞歸程序，我們在每一切換時刻都設計出狀態(tài)反饋控制器.下面證明，如條件（25）成立，這樣遞歸設計的狀態(tài)反饋控制器可以在τ未知時實現(xiàn)切換系統(tǒng)（5）的指數(shù)鎮(zhèn)定.

定理2.假定時變線性切換系統(tǒng)（5）的切換函數(shù)σ（t）滿足假設1但τ未知.如果存在定義在正實數(shù)集上的非負連續(xù)函數(shù)ε2（δ）＞ε1（δ）＞0，使得式（25）對所有i=1，2，···，N，t≥0和δ＞0都成立，則按以上遞歸步驟設計的狀態(tài)反饋控制器指數(shù)鎮(zhèn)定時變線性切換系統(tǒng)（5）.

證明.在每一切換時刻將如上遞歸設計的狀態(tài)反饋控制器作用于切換系統(tǒng)（5），其閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成分段形式

令k=max｛i：ti＜t｝并記系統(tǒng)（29）在初始0時刻的初值為，閉環(huán)系統(tǒng)（29）的狀態(tài)可以表示為

其中Φσ（ti）（αi，δi，t，s），i=0，1，···是系統(tǒng)

的狀態(tài)轉移矩陣.

由定義，δk滿足0＜δk≤1且是單調下降的，其極限為

進一步，由定義函數(shù)h（δ）在區(qū)間0＜δ≤1連續(xù)單調下降，所以h（δk）單調上升收斂到h（δ）＞1.再由αk定義，αk單調上升且具有極限

于是，根據(jù)極限定義可知，存在正整數(shù)k0，當k≥k0時，下面三個不等式同時成立

利用式（31），首先有

因為t≥kτ及2δ≤τ，所以k≤t/τ≤t/（2δ）.于是，利用上面兩個不等式可以得到

其中C3=2C1-2C2.將此不等式代入式（30）即有

3　仿真實例

下面給出一個仿真實例驗證定理2的結論.取

考慮二階時變線性切換系統(tǒng)

其中切換函數(shù)σ（t）如下定義：在［0，1］隨機選取一個數(shù)a，然后在［a，2a］中重復獨立隨機選取數(shù)列τ0，τ1，···.令

定義

這樣，σ（t）的駐留時間τ=infkτk≥a且以概率1大于0，但τ不能提前預知.對任意t≥0，δ＞0，可驗證兩個子系統(tǒng)的格拉姆矩陣都滿足一致完全可控性條件（25）.

按定理2中給出的步驟設計反饋控制器并應用于切換系統(tǒng)（32）.在平面區(qū)域［-10，10］×［-10，10］內隨機選取系統(tǒng)初值，然后運行仿真.為顯示控制策略的有效性，仿真程序獨立運行兩次，兩次仿真中隨機產生的駐留時間τ以概率1是不同的，每次運行系統(tǒng)執(zhí)行四次切換.仿真結果如圖1及圖2所示.

圖1　第一次仿真運行結果Fig.1Simulation results in the first run

圖2　第二次仿真運行結果Fig.2Simulation results in the second run

4　結語

切換系統(tǒng)與一般系統(tǒng)的一個不同之處就是切換動作對系統(tǒng)行為的影響，其中最為常見的就是超調的影響.超調會使由穩(wěn)定子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)經切換變?yōu)椴环€(wěn)定，所以實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定需消除超調對系統(tǒng)的不利影響.本文研究一類具有一致完全可控性的時變線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題.通過引入帶權格拉姆可控陣，設計出含有設計參數(shù)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器，并利用比較原理給出閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的超調估計.在切換規(guī)則滿足駐留時間假設的前提下，對駐留時間已知和未知兩種情況分別選擇設計參數(shù)消除切換超調的影響，建立了兩個時變線性切換系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的結論.這兩個結論將駐留時間條件下的定常線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定結論推廣至時變情形.

附錄引理1的證明

對這一微分不等式應用比較定理［17］，得出

根據(jù)G（α，t，t+δ）定義及e4α（t-σ）的單調性，有

所以

于是

代入式（A2）整理可得

因為Φ（α，δ，t，s）是系統(tǒng)（A1）的狀態(tài)轉移矩陣，所以，代入式（A3）并利用矩陣范數(shù)定義就可得到

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王興平海軍航空工程學院系統(tǒng)科學與數(shù)學研究所副教授.主要研究方向為非線性系統(tǒng)和多智能體系統(tǒng).E-mail：wangxpyan@hotmail.com（WANG Xing-PingAssociate professor at the Institute of Systems Science and Mathematics，Naval Aeronautical and Astronautical University.His research interest covers nonlinear systems and multi-agent systems.）

Exponential Stabilization of Switched Time-varying Linear Systems

WANG Xing-Ping1

The paper considers the exponential stabilization problem for switched time-varying linear systems with dwell time.Under the uniformly complete controllability condition，parameterized feedback controllers are designed by introducing the weighted controllability Gramian.Furthermore，an estimation of overshoots of the state transition matrix is derived using the comparison principle.By choosing the parameters to absorb the resulting overshoots，two exponential stabilization results are given for the cases of known and unknown dwell time.Finally，the effectiveness of the results is illustrated by a numerical example.

Switched time-varying linear systems，dwell time，overshoot，state transition matrix，exponential stabilization

Manuscript August 31，2015；accepted February 15，2016

10.16383/j.aas.2016.c150540

Wang Xing-Ping.Exponential stabilization of switched time-varying linear systems.Acta Automatica Sinica，2016，42（9）：1440-1444

2015-08-31錄用日期2016-02-15

本文責任編委孫希明

Recommended by Associate Editor SUN Xi-Ming

1.海軍航空工程學院系統(tǒng)科學與數(shù)學研究所煙臺264001

1.Institute of Systems Science and Mathematics，Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001