基于改進(jìn)趨近律的機(jī)械臂非奇異終端滑?？刂?/h1>
2016-11-03 07:57:21柴發(fā)武
黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2016年2期
徐 杰， 柴發(fā)武
(1.黑龍江科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)
?
基于改進(jìn)趨近律的機(jī)械臂非奇異終端滑模控制
徐杰1，柴發(fā)武2
(1.黑龍江科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)
針對(duì)終端滑?？刂葡到y(tǒng)存在的收斂速度慢、抖振等問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)趨近律。該趨近律可以根據(jù)狀態(tài)變量距離平衡點(diǎn)的遠(yuǎn)近，自適應(yīng)改變趨近速度，縮短趨近時(shí)間，同時(shí)減小抖振，可運(yùn)用于機(jī)械臂非奇異終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明：該算法能夠較快地跟蹤給定的期望軌跡，且抖振較小，有效提高機(jī)械手的性能。
自適應(yīng)趨近律; 終端滑?？刂? 機(jī)械臂
0 引 言
1948年，前蘇聯(lián)學(xué)者提出了滑?？刂?Sliding mode control, SMC)。就控制系統(tǒng)本身而言，它是非線性的，連續(xù)性很差。該控制方法在工作中適時(shí)發(fā)生改變，總是使系統(tǒng)向設(shè)計(jì)的狀態(tài)靠近，因此，SMC系統(tǒng)的魯棒性增強(qiáng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始進(jìn)行SMC的大量探索，19世紀(jì)80年代末，SMC的研究取得了突破性的進(jìn)展。美國(guó)學(xué)者Zak[1]提出了終端滑?？刂?TSMC)，指出如果將非線性的算法加入其中，系統(tǒng)能夠在一定的時(shí)間里完成跟蹤，但也會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。為了解決該問(wèn)題，F(xiàn)eng等[2]提出了一種新的方法——非奇異終端滑?？刂?NTSMC)。NTSMC及其各種改進(jìn)算法[3-5]，因?yàn)榫哂许憫?yīng)速度快，在一定的時(shí)間里能夠收斂，跟蹤的誤差小等優(yōu)點(diǎn)，受到很多研究者的推崇和應(yīng)用。但NTSMC距離中心點(diǎn)遠(yuǎn)的區(qū)域時(shí)，跟蹤速度變小，為此，研究者們?cè)O(shè)計(jì)了各種控制率，但都不可避免存在抖振問(wèn)題。
針對(duì)抖振問(wèn)題，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不同的解決方案，主要分為兩個(gè)方向：一是傳統(tǒng)方向，梅紅等[6]提出雙冪次趨近律，姜君等[7]也對(duì)趨近律設(shè)計(jì)做了大量的探索。在文獻(xiàn)[8-10]的研究中，學(xué)者們利用離散的方法，使系統(tǒng)的抖振得到了有效抑制，系統(tǒng)的魯棒性提高。二是混合控制方向，國(guó)外一些學(xué)者提出了神經(jīng)滑模控制[11-13]，用來(lái)解決有界不確定項(xiàng)的軌跡跟蹤問(wèn)題。文獻(xiàn)[14-15]將模糊控制和變結(jié)構(gòu)相結(jié)合，采用模糊系統(tǒng)來(lái)逼近變結(jié)構(gòu)框架中的每個(gè)細(xì)節(jié)和參數(shù)。
筆者在研究機(jī)械臂NTSMC的基礎(chǔ)上，將NTSMC切換函數(shù)和改進(jìn)趨近律同時(shí)應(yīng)用到SMC設(shè)計(jì)中，在NTSMC消除奇異值的前提下，引入改進(jìn)趨近律，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點(diǎn)的遠(yuǎn)近自適應(yīng)調(diào)節(jié)趨近速度，縮短趨近時(shí)間，當(dāng)接近滑模面時(shí)，又自適應(yīng)地減小趨近速度及抖振，改善機(jī)械臂的跟蹤精度，同時(shí)加強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。
1 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型
基于拉格朗日方程描述N關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為
(1)
式中：M(q)——非奇異的正定慣性力矩陣；
G(q)——重力項(xiàng)；
τd——不確定項(xiàng)或干擾，‖τd‖τ——控制力矩；
y——系統(tǒng)輸出;
q——N個(gè)關(guān)節(jié)位置向量,q=[q1,q2,…,qn]T。
機(jī)器人的控制目標(biāo)：使系統(tǒng)輸出q快速準(zhǔn)確地追蹤期望位置 qd。
假設(shè)qd二階連續(xù)可導(dǎo)，定義狀態(tài)變量
(2)
(3)
由式(2)、(3)定義如下機(jī)器人位置跟蹤誤差狀態(tài)方程：
(4)
2 趨近律設(shè)計(jì)
對(duì)于系統(tǒng)(4)采用冪次趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破鲿r(shí)，其趨近律為
(5)
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時(shí)，趨近速度較小，能夠削弱抖振，但系統(tǒng)狀態(tài)較滑模面遠(yuǎn)時(shí)，由于趨近速度小，造成到達(dá)滑模面的時(shí)間較長(zhǎng)，從而影響系統(tǒng)性能。另外,由于ε為固定值，不能自適應(yīng)地改變趨近速度，其收斂特性不能達(dá)到最佳性能。文中提出自適應(yīng)變速趨近律：
(6)
e=[e1,e2],k>0,ε>0,c>0,n>0,0<φ<1 。
可達(dá)性：
(k+c‖e‖1)sTs<0。
(7)
式(7)滿足可達(dá)性條件。
3 控制律設(shè)計(jì)
對(duì)于系統(tǒng)(4)定義非奇異終端滑模面
(8)
(9)
取控制率τ=τ0+τ1+τ2+τ3，其中
(10)
(11)
(12)
(13)
定理1對(duì)于式(4)所示的機(jī)器人系統(tǒng)，當(dāng)選用式(8)所示的滑模面，采用反演控制率τ，則系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
將τ=τ0+τ1+τ2+τ3代入，得
(k+c‖e‖1)s)，
(14)
(k+c‖e‖1)s)≤0，
4 仿真設(shè)計(jì)
以二關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，
τd=0.1-0.2q+0.3-2q。
仿真主要分兩步進(jìn)行：首先，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行NTSMC仿真，其次，對(duì)改進(jìn)趨近律的NTSMC進(jìn)行仿真，兩種方法所取參數(shù)一致。
圖1～3分別給出了NTSMC和改進(jìn)趨近律的NTSMC的關(guān)節(jié)位置跟蹤的仿真結(jié)果。從圖1a、圖2a和圖1b、圖2b可以看出,關(guān)節(jié)1的位置跟蹤分別用了1.3和0.9s，關(guān)節(jié)2的位置跟蹤分別用了1.9和1.6s,改進(jìn)趨近律的非奇異終端滑?？刂票确瞧娈惤K端滑?？刂品謩e提前0.4和0.3s完成追蹤；從圖2a、圖3c和圖2b。由圖2d可見(jiàn)，關(guān)節(jié)1的控制輸出抖振范圍分別為[-20,380]和[-15,175]，關(guān)節(jié)2的控制輸出抖振范圍分別為[-170,250]和[-10,80]，改進(jìn)趨近律的NTSMC抖振范圍明顯小于NTSMC的抖振范圍。因此，改進(jìn)趨近律的NTSMC比NTSMC制軌跡跟蹤速度快，而且改進(jìn)趨近律的非奇異終端滑?？刂破鞯妮敵龆墩衩黠@減小。
a 關(guān)節(jié)1
b 關(guān)節(jié)2
a 關(guān)節(jié)1 b 關(guān)節(jié)2
a 關(guān)節(jié)1跟蹤曲線 b 關(guān)節(jié)2跟蹤曲線
c 關(guān)節(jié)1輸入曲線 d 關(guān)節(jié)2輸入曲線
5 結(jié) 論
(1)分析了NTSMC中存在的問(wèn)題，提出將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進(jìn)行設(shè)計(jì)，達(dá)到實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男Ч?/p>
(2)設(shè)計(jì)自適應(yīng)趨近律，明顯減小了系統(tǒng)的抖振，并提高系統(tǒng)的跟蹤速度，縮短了到達(dá)滑模面的時(shí)間。
(3)利用Lyapunov定理證明了基于改進(jìn)趨近律的NTSMC的穩(wěn)定性。
(4)通過(guò)仿真對(duì)比驗(yàn)證了文中方法的先進(jìn)性。
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[6]梅紅， 王勇. 快速收斂的機(jī)器人滑模變結(jié)構(gòu)控制[J].信息與控制， 2009， 38(5) : 552-557.
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(編輯徐巖)
Nonsingular terminal sliding mode control for manipulator based on improved reaching law
XUJie1,CHAIFawu2
(1.School of Electronic & Information Engineering, Heilongjiang University of Science &Technology, Harbin 150022, China; 2.School of Electrical & Control Engineering,Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)
This paper proposes an adaptive treading law used to improve the slower convergence and vibration occurring in terminal sliding mode control system. The law working by the distance of the state variables from the equilibrium position enables an adaptive change in the reaching time speed and shortens reaching time while reducing system chattering and thus may find a use in non-singular terminal sliding mode control of manipulators. Simulation results show that the proposed algorithm capable of a faster track of the desired trajectory, with less chattering, may provide an effective improvement in the performance of an anthropomorphic finger.
adaptive treading; terminal sliding mode control; manipulators
2016-02-26
徐杰(1964-)，女，黑龍江省哈爾濱人，教授，研究方向：圖像處理、控制理論與控制方法，E-mail：xuejie640101@163.com。
10.3969/j.issn.2095-7262.2016.02.017
TP13
2095-7262(2016)02-0192-05
A
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徐 杰， 柴發(fā)武
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基于改進(jìn)趨近律的機(jī)械臂非奇異終端滑模控制
徐杰1，柴發(fā)武2
(1.黑龍江科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)
針對(duì)終端滑?？刂葡到y(tǒng)存在的收斂速度慢、抖振等問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)趨近律。該趨近律可以根據(jù)狀態(tài)變量距離平衡點(diǎn)的遠(yuǎn)近，自適應(yīng)改變趨近速度，縮短趨近時(shí)間，同時(shí)減小抖振，可運(yùn)用于機(jī)械臂非奇異終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)中。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明：該算法能夠較快地跟蹤給定的期望軌跡，且抖振較小，有效提高機(jī)械手的性能。
自適應(yīng)趨近律; 終端滑?？刂? 機(jī)械臂
0 引 言
1948年，前蘇聯(lián)學(xué)者提出了滑?？刂?Sliding mode control, SMC)。就控制系統(tǒng)本身而言，它是非線性的，連續(xù)性很差。該控制方法在工作中適時(shí)發(fā)生改變，總是使系統(tǒng)向設(shè)計(jì)的狀態(tài)靠近，因此，SMC系統(tǒng)的魯棒性增強(qiáng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始進(jìn)行SMC的大量探索，19世紀(jì)80年代末，SMC的研究取得了突破性的進(jìn)展。美國(guó)學(xué)者Zak[1]提出了終端滑?？刂?TSMC)，指出如果將非線性的算法加入其中，系統(tǒng)能夠在一定的時(shí)間里完成跟蹤，但也會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。為了解決該問(wèn)題，F(xiàn)eng等[2]提出了一種新的方法——非奇異終端滑?？刂?NTSMC)。NTSMC及其各種改進(jìn)算法[3-5]，因?yàn)榫哂许憫?yīng)速度快，在一定的時(shí)間里能夠收斂，跟蹤的誤差小等優(yōu)點(diǎn)，受到很多研究者的推崇和應(yīng)用。但NTSMC距離中心點(diǎn)遠(yuǎn)的區(qū)域時(shí)，跟蹤速度變小，為此，研究者們?cè)O(shè)計(jì)了各種控制率，但都不可避免存在抖振問(wèn)題。
針對(duì)抖振問(wèn)題，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不同的解決方案，主要分為兩個(gè)方向：一是傳統(tǒng)方向，梅紅等[6]提出雙冪次趨近律，姜君等[7]也對(duì)趨近律設(shè)計(jì)做了大量的探索。在文獻(xiàn)[8-10]的研究中，學(xué)者們利用離散的方法，使系統(tǒng)的抖振得到了有效抑制，系統(tǒng)的魯棒性提高。二是混合控制方向，國(guó)外一些學(xué)者提出了神經(jīng)滑模控制[11-13]，用來(lái)解決有界不確定項(xiàng)的軌跡跟蹤問(wèn)題。文獻(xiàn)[14-15]將模糊控制和變結(jié)構(gòu)相結(jié)合，采用模糊系統(tǒng)來(lái)逼近變結(jié)構(gòu)框架中的每個(gè)細(xì)節(jié)和參數(shù)。
筆者在研究機(jī)械臂NTSMC的基礎(chǔ)上，將NTSMC切換函數(shù)和改進(jìn)趨近律同時(shí)應(yīng)用到SMC設(shè)計(jì)中，在NTSMC消除奇異值的前提下，引入改進(jìn)趨近律，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)距離平衡點(diǎn)的遠(yuǎn)近自適應(yīng)調(diào)節(jié)趨近速度，縮短趨近時(shí)間，當(dāng)接近滑模面時(shí)，又自適應(yīng)地減小趨近速度及抖振，改善機(jī)械臂的跟蹤精度，同時(shí)加強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。
1 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型
基于拉格朗日方程描述N關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為
(1)
式中：M(q)——非奇異的正定慣性力矩陣；
G(q)——重力項(xiàng)；
τd——不確定項(xiàng)或干擾，‖τd‖ τ——控制力矩； y——系統(tǒng)輸出; q——N個(gè)關(guān)節(jié)位置向量,q=[q1,q2,…,qn]T。 機(jī)器人的控制目標(biāo)：使系統(tǒng)輸出q快速準(zhǔn)確地追蹤期望位置 qd。 假設(shè)qd二階連續(xù)可導(dǎo)，定義狀態(tài)變量 (2) (3) 由式(2)、(3)定義如下機(jī)器人位置跟蹤誤差狀態(tài)方程： (4) 對(duì)于系統(tǒng)(4)采用冪次趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破鲿r(shí)，其趨近律為 (5) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模面時(shí)，趨近速度較小，能夠削弱抖振，但系統(tǒng)狀態(tài)較滑模面遠(yuǎn)時(shí)，由于趨近速度小，造成到達(dá)滑模面的時(shí)間較長(zhǎng)，從而影響系統(tǒng)性能。另外,由于ε為固定值，不能自適應(yīng)地改變趨近速度，其收斂特性不能達(dá)到最佳性能。文中提出自適應(yīng)變速趨近律： (6) e=[e1,e2],k>0,ε>0,c>0,n>0,0<φ<1 。 可達(dá)性： (k+c‖e‖1)sTs<0。 (7) 式(7)滿足可達(dá)性條件。 對(duì)于系統(tǒng)(4)定義非奇異終端滑模面 (8) (9) 取控制率τ=τ0+τ1+τ2+τ3，其中 (10) (11) (12) (13) 定理1對(duì)于式(4)所示的機(jī)器人系統(tǒng)，當(dāng)選用式(8)所示的滑模面，采用反演控制率τ，則系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。 將τ=τ0+τ1+τ2+τ3代入，得 (k+c‖e‖1)s)， (14) (k+c‖e‖1)s)≤0， 以二關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)， τd=0.1-0.2q+0.3-2q。 仿真主要分兩步進(jìn)行：首先，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行NTSMC仿真，其次，對(duì)改進(jìn)趨近律的NTSMC進(jìn)行仿真，兩種方法所取參數(shù)一致。 圖1～3分別給出了NTSMC和改進(jìn)趨近律的NTSMC的關(guān)節(jié)位置跟蹤的仿真結(jié)果。從圖1a、圖2a和圖1b、圖2b可以看出,關(guān)節(jié)1的位置跟蹤分別用了1.3和0.9s，關(guān)節(jié)2的位置跟蹤分別用了1.9和1.6s,改進(jìn)趨近律的非奇異終端滑?？刂票确瞧娈惤K端滑?？刂品謩e提前0.4和0.3s完成追蹤；從圖2a、圖3c和圖2b。由圖2d可見(jiàn)，關(guān)節(jié)1的控制輸出抖振范圍分別為[-20,380]和[-15,175]，關(guān)節(jié)2的控制輸出抖振范圍分別為[-170,250]和[-10,80]，改進(jìn)趨近律的NTSMC抖振范圍明顯小于NTSMC的抖振范圍。因此，改進(jìn)趨近律的NTSMC比NTSMC制軌跡跟蹤速度快，而且改進(jìn)趨近律的非奇異終端滑?？刂破鞯妮敵龆墩衩黠@減小。 a 關(guān)節(jié)1 b 關(guān)節(jié)2 a 關(guān)節(jié)1 b 關(guān)節(jié)2 a 關(guān)節(jié)1跟蹤曲線 b 關(guān)節(jié)2跟蹤曲線 c 關(guān)節(jié)1輸入曲線 d 關(guān)節(jié)2輸入曲線 (1)分析了NTSMC中存在的問(wèn)題，提出將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進(jìn)行設(shè)計(jì)，達(dá)到實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男Ч?/p> (2)設(shè)計(jì)自適應(yīng)趨近律，明顯減小了系統(tǒng)的抖振，并提高系統(tǒng)的跟蹤速度，縮短了到達(dá)滑模面的時(shí)間。 (3)利用Lyapunov定理證明了基于改進(jìn)趨近律的NTSMC的穩(wěn)定性。 (4)通過(guò)仿真對(duì)比驗(yàn)證了文中方法的先進(jìn)性。 [1]ZAK M. 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A fuzzy adaptive avariable structure controller with applications to robot manipulators[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybemetics: Part B, 2001, 31(3): 331-340. (編輯徐巖) Nonsingular terminal sliding mode control for manipulator based on improved reaching law XUJie1,CHAIFawu2 (1.School of Electronic & Information Engineering, Heilongjiang University of Science &Technology, Harbin 150022, China; 2.School of Electrical & Control Engineering,Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China) This paper proposes an adaptive treading law used to improve the slower convergence and vibration occurring in terminal sliding mode control system. The law working by the distance of the state variables from the equilibrium position enables an adaptive change in the reaching time speed and shortens reaching time while reducing system chattering and thus may find a use in non-singular terminal sliding mode control of manipulators. Simulation results show that the proposed algorithm capable of a faster track of the desired trajectory, with less chattering, may provide an effective improvement in the performance of an anthropomorphic finger. adaptive treading; terminal sliding mode control; manipulators 2016-02-26 徐杰(1964-)，女，黑龍江省哈爾濱人，教授，研究方向：圖像處理、控制理論與控制方法，E-mail：xuejie640101@163.com。 10.3969/j.issn.2095-7262.2016.02.017 TP13 2095-7262(2016)02-0192-05 A2 趨近律設(shè)計(jì)
3 控制律設(shè)計(jì)
4 仿真設(shè)計(jì)
5 結(jié) 論
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