陳孝國，　邊曉菲，　王存權(quán)，　蔡吉花

(1.黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院， 北京 100083)

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三區(qū)間套下不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)的構(gòu)造方法

陳孝國1，邊曉菲1，王存權(quán)2，蔡吉花1

(1.黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院， 北京 100083)

為完善可拓集理論中初等關(guān)聯(lián)函數(shù)的構(gòu)造方法，借助區(qū)間距對(duì)三區(qū)間套下不確定型一維初等關(guān)聯(lián)函數(shù)的構(gòu)造方法進(jìn)行了研究，給出三區(qū)間套下的區(qū)間位值公式，并構(gòu)造了不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)，得到相關(guān)定理并進(jìn)行了證明。研究表明，上述方法在考慮不可接受區(qū)間、可接受區(qū)間和滿意區(qū)間基礎(chǔ)上構(gòu)造的不確定型一維初等關(guān)聯(lián)函數(shù)更加有效、適用，同時(shí)也將促使可拓學(xué)理論應(yīng)用范圍進(jìn)一步擴(kuò)展。

關(guān)聯(lián)函數(shù)； 區(qū)間距； 區(qū)間位值； 三區(qū)間套； 不確定型

0　引　言

可拓學(xué)是由我國學(xué)者蔡文教授于1983年提出的一門原創(chuàng)性學(xué)科，橫跨哲學(xué)、數(shù)學(xué)和工程學(xué)等眾多學(xué)科，其核心理論有基元理論、可拓集理論和可拓邏輯。可拓集理論中的可拓關(guān)聯(lián)函數(shù)在實(shí)際中具有廣泛的應(yīng)用前景及研究價(jià)值。近幾年，我國學(xué)者對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)的構(gòu)造研究做出了較多成果，楊春燕等[1]對(duì)二區(qū)間套下一維確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行了探討，得到若干性質(zhì)。隨后，李橋興[2]提出了節(jié)域?yàn)闊o窮區(qū)間的一般位值概念，并構(gòu)造了在中點(diǎn)取得最大值的初等關(guān)聯(lián)函數(shù)。胡寶清等[3]提出了二區(qū)間套下區(qū)間距、位值等概念，并給出一維不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)。李橋興等[4,5]指出了文獻(xiàn)[3]存在的不足，并在此基礎(chǔ)上對(duì)不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行了深入探討。李橋興等[6]最近又構(gòu)造出了三區(qū)間套下一維確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)，三區(qū)間套可以描述事物特征的不可接受區(qū)間、可接受區(qū)間和滿意區(qū)間，更符合實(shí)際需要。目前，已有研究成果大多只針對(duì)基元取精確點(diǎn)值時(shí)的確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行了探討，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中更為廣泛的基元取值為區(qū)間值的不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)造研究文獻(xiàn)較少?；诖耍P者對(duì)三區(qū)間套下的不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)造方法進(jìn)行探討，期望通過研究進(jìn)一步完善可拓集相關(guān)理論及方法，促使關(guān)聯(lián)函數(shù)具有更為廣泛的應(yīng)用。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)有界區(qū)間X=〈x1，x2〉和A=〈a1，a2〉，若x2-x1

定義2[5]設(shè)X=〈x1，x2〉和A=〈a1，a2〉，且X為A的小模區(qū)間，記X的中點(diǎn)為x12=(x1+x2)/2，則X和A之距(簡稱區(qū)間距)為

定義3[6]設(shè)X=〈x1，x2〉和A=〈a1，a2〉，且X為A的小模區(qū)間，記X的中點(diǎn)為x12=(x1+x2)/2，點(diǎn)x0∈(a1,a2)，若x0滿足

(1)x0∈(a1，(a1+a2)/2]，稱

為X關(guān)于點(diǎn)x0和區(qū)間A的左側(cè)距，記為ρl(X,x0,A)；

(2)x0∈[(a1+a2)/2,a2]，稱

為X關(guān)于點(diǎn)x0和區(qū)間A的右側(cè)距，記為ρr(X，x0，A)。

左側(cè)距和右側(cè)距統(tǒng)稱為區(qū)間側(cè)距，記為ρ(X，x0，A)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)有限區(qū)間，且A?B?C，稱C-B、B-A和A分別表示人們對(duì)事物特征的不可接受區(qū)間、可接受區(qū)間和滿意區(qū)間。也稱A、B和C分別為標(biāo)準(zhǔn)正域、正域和節(jié)域。符合上述條件的3個(gè)區(qū)間稱為三區(qū)間套。

定義4[6]設(shè)標(biāo)準(zhǔn)正域A=〈a1，a2〉，正域B=〈b1，b2〉和節(jié)域C=〈c1，c2〉均為有限區(qū)間，且A?B?C，則對(duì)于任意x(x∈R)稱

為點(diǎn)x關(guān)于三區(qū)間套A、B和C的一般位置值，簡稱位值。

若x=xu(xu存在)，則當(dāng)xu?X0時(shí)，令k(xu)=1；當(dāng)xu∈X0時(shí)，令k(xu)=0?1，表示k(xu)既等于0又等于1；若x=xv(xv存在)，則當(dāng)xv?X時(shí)，令k(xv)=-1；當(dāng)xv∈X時(shí)，令k(xv)=-1?0，表示k(xv)既等于-1又等于0，稱k(x)為點(diǎn)x關(guān)于三區(qū)間套X0、X和X且在X的非中點(diǎn)x0取最大值的一般關(guān)聯(lián)函數(shù)。

2　三區(qū)間套下不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)

定義6設(shè)A〈a1，a2〉，B〈b1，b2〉和C〈c1，c2〉是三個(gè)有限區(qū)間，且A?B?C，則對(duì)于A的任意小模區(qū)間X=〈x1，x2〉稱

為區(qū)間X關(guān)于三區(qū)間套A、B、C的一般位置值，簡稱位值。

定理1設(shè)A=〈a1，a2〉，B=〈b1，b2〉，C=〈c1，c2〉為三個(gè)有限區(qū)間，且A?B?C，X=〈x1，x2〉為A的一個(gè)小模區(qū)間，則X關(guān)于A，B，C的三區(qū)間套位置值D(X,A,B,C)<0。

由定義6可以看出定理1的結(jié)論是顯然的。

定義7設(shè)A=〈a1，a2〉，B=〈b1，b2〉和C=〈c1，c2〉是三個(gè)有限區(qū)間，且A?B?C，則對(duì)于A的任意小模區(qū)間X=〈x1，x2〉，當(dāng)X、A、B，X、B、C，X、A、B、C無公共同向端點(diǎn)xz時(shí)，令

稱k(X)為區(qū)間X關(guān)于A，B，C在B的中點(diǎn)取最大值的一般關(guān)聯(lián)函數(shù)。

定理2設(shè)A=〈a1，a2〉，B=〈b1，b2〉，C=〈c1，c2〉為三個(gè)有限區(qū)間且A?B?C，區(qū)間X=〈x1，x2〉為A的小模區(qū)間，則k(X)滿足：

(1)X?A且無公共同向端點(diǎn)?k(X)>1；

(2)X，A有公共同向端點(diǎn)?k(X)=1；

(3)?x∈X-A、X?B且X,A，B無公共同向端點(diǎn)?0

(4)X，B有公共同向端點(diǎn)?k(X)=0；

(5)?x∈X-B、X?C且X，B，C無公共同向端點(diǎn)?-1

(6)X，C有公共同向端點(diǎn)?k(X)=-1；

(7)?x∈X-C且X，C無公共同向端點(diǎn)?k(X)<-1。

證明僅證(1)、(3)、(5)、(7)。

必要性 (1)若X?A且無公共同向端點(diǎn)，有ρ(X，A)<0，ρ(X，B)<0。

分以下兩種情況討論：

若ρ(X，B)=ρ(X，A)，則有k(X)=ρ(X，B)/D(X,A,B,C)+1>1；

若ρ(X，B)≠ρ(X，A)，則有

k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)，

D(X，A，B，C)=ρ(X，B)-ρ(X，A)<0，

即k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，B)-ρ(X，A)]=1+ρ(X，A)/[ρ(X，B)-ρ(X，A)]>1。

(3)當(dāng)x∈X-A、X?B且X，A，B無公共同向端點(diǎn)時(shí)，有ρ(X，B)≠ρ(X，A)和ρ(X，B)<0。因此k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)>0成立。

下面證k(X)<1。采用反證法。

假設(shè)存在x∈X-A，使k(X)≥1，則有ρ(X，B)≤ρ(X，B)-ρ(X，A)，即ρ(X，A)≤0，就是說X?A，這與已知條件存在x∈X-A矛盾。所以有k(X)<1。

(5) 若?x∈X-B、X?C且X，B，C無公共同向端點(diǎn)時(shí)，有ρ(X，C)<0<ρ(X，B)，則k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)<0，又由于

k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，C)-ρ(X，B)]=-1+

ρ(X，C)/[ρ(X，C)-ρ(X，B)]>-1，

所以-1

(7)若?x∈X-C且X，C無公共同向端點(diǎn)，ρ(X，C)>0，ρ(X，B)>0，分兩種情況討論。

當(dāng)ρ(X，C)=ρ(X，B)時(shí)，k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)-1<-1；

當(dāng)ρ(X，C)≠ρ(X，B)時(shí)，k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)，其中

D(X，A，B，C)=ρ(X，C)-ρ(X，B)。

要證k(X)<-1，采用反證法。

假設(shè)?x∈X-C使k(X)≥-1，則有ρ(X，B)≤ρ(X，B)-ρ(X，C)，即ρ(X，C)≤0，就是說X?C，這與已知條件存在x∈X-C矛盾，所以有k(X)<-1。

充分性(1)當(dāng)k(X)>1時(shí)，必有ρ(X，B)<0，即X?B，分兩種情況討論。

若ρ(X，B)=ρ(X，A)，則由X?B?ρ(X，A)=ρ(X，B)<0?X?A，有k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)+1。

若ρ(X，B)≠ρ(X，A)，則k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)=ρ(X，B)/[ρ(X，B)-ρ(X，A)]。由k(X)>1知ρ(X，A)<0，即X?A。

(3) 當(dāng)00??x∈X-B，與已知X?B矛盾；

若k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)-1，則ρ(X，B)<0?X?B，與已知?x∈X-B矛盾。因此必有k(X)=ρ(X，B)/D(X，A，B，C)。

由k(X)>0?X?B，又由k(X)<1?ρ(X，B)>ρ(X，B)-ρ(X，A)?ρ(X，A)>0，即?x∈X-A。

因此當(dāng)0

(5)當(dāng)-1-1知ρ(X，B)<ρ(X，B)-ρ(X，C)，即ρ(X，C)<0，得到X?C。

因此當(dāng)-1

(7)當(dāng)k(X)<-1時(shí)，要證?x∈X-C。采用反證法，假設(shè)X?C，?x∈X-B，則k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，C)-ρ(X，B)]<-1，有ρ(X，B)>ρ(X，B)-ρ(X，C)，即ρ(X，C)>0，也就是說?x∈X-C，這與假設(shè)X?C矛盾。

所以有k(X)<-1??x∈X-C。

首先證單調(diào)遞增。當(dāng)x12

(1)當(dāng)?x∈X-B時(shí)，k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，C)-ρ(X，B)])=(x1-b1)/(b1-c1)結(jié)果表明隨著x1逐漸接近b1時(shí)，k(X)單調(diào)遞增。

(2)當(dāng)X?B且x12

下面證單調(diào)遞減。當(dāng)x12>b12時(shí)，分兩種情形討論。

(1)當(dāng)x12>b12時(shí)且X?B時(shí)，再細(xì)化為x12a12來分析。若x12

k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，B)-ρ(X，A)]=

(x2-b2)/(x1+x2-b2-a1)，

由于X=〈x1，x2〉是一個(gè)定長區(qū)間，即x2-x1=m(常數(shù))，所以 ，k(X)=(x1+m-b1)/(2x1+m-b2-a1)，k(X)關(guān)于x1求導(dǎo)可知k'(X)<0，所以k(X)關(guān)于x1是單調(diào)遞減的；若x12>a12，則

k(X)=ρ(X，B)/[ρ(X，B)-ρ(X，A)]=

(x2-b2)/(a2-b2),

結(jié)果表明k(X)隨著x2增加而單調(diào)遞減。

(2)當(dāng)x12>b12且?x∈X-B時(shí)，再細(xì)化為x12>c12或x12c12，則

k(X)=ρ(X,B)/[ρ(X，C)-ρ(X，B)]=

(x2-b2)/(b2-c2)，

結(jié)果表明k(X)隨著x2的增加而單調(diào)遞減。

若x12

(1)x0∈(a1,(a1+a2)/2]，稱

(2)x0∈[(a1+a2)/2，a2]，稱

為X關(guān)于x0和A的右側(cè)距，記為ρr(X，x0，A)。

定義9 (最大值在x0處取得的關(guān)聯(lián)函數(shù))設(shè)A=〈a1，a2〉，B=〈b1，b2〉和C=〈c1，c2〉是三個(gè)有限區(qū)間，且A?B?C，則對(duì)于A的任意小模區(qū)間X=〈x1，x2〉，當(dāng)X、A、B，X、B、C，X、A、B、C無公共同向端點(diǎn)時(shí)，令

稱k(X)為區(qū)間X關(guān)于A，B，C在B中x0處取最大值的一般關(guān)聯(lián)函數(shù)。

3　結(jié)束語

在已有二區(qū)間套下的區(qū)間距及位值公式基礎(chǔ)上，構(gòu)造了三區(qū)間套下的不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)，得到相關(guān)性質(zhì)，并給出了證明。由于復(fù)雜事物的信息往往具有不確定性,人們很難獲取事物特征的精確值，因此基元的取值從精確的點(diǎn)值拓展到區(qū)間值，將使不確定型初等關(guān)聯(lián)函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中更加廣泛。同時(shí)，三區(qū)間套使得關(guān)聯(lián)函數(shù)能夠更加細(xì)致的描述事物的變化過程，提高可拓學(xué)相關(guān)理論在解決社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工程技術(shù)、人工智能等領(lǐng)域矛盾問題的實(shí)用性及有效性。

[1]楊春燕， 蔡文. 可拓集中關(guān)聯(lián)函數(shù)的研究進(jìn)展[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 29(2): 7-14.

[2]李橋興. 節(jié)域?yàn)樨?fù)無窮區(qū)間和全體實(shí)數(shù)域的初等關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)造[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2012, 32(12): 2740-2744.

[3]胡寶清， 王孝禮， 何娟娟. 區(qū)間上的可拓集及其關(guān)聯(lián)函數(shù)[J].廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 17(2): 101-104.

[4]李橋興， 劉思峰. 一般位值公式及一般初等關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)造方法[J].系統(tǒng)工程, 2006, 24(6): 116-118.

[5]李橋興， 劉思峰. 基于區(qū)間距和區(qū)間側(cè)距的初等關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)造[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 38(7): 1097-1100.

[6]李橋興， 楊春燕. 正域?yàn)橛邢迏^(qū)間的三區(qū)間套一維關(guān)聯(lián)函數(shù)[J]. 科技導(dǎo)報(bào), 2014, 32(36): 48-51.

(編輯徐巖)

Construction method of uncertain type elementary dependent function in three nested intervals

CHENXiaoguo1,BIANXiaofei1,WANGCunquan2,CAIJihua1

(1. College of Science, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China；2. School of Mechanics & Civil Engineering, China University of Mining & Technology, Beijing 100083, China)

This paper is an attempt to improve the construction method of elementary dependent function in extension set theory. The improvement is achieved by investigating the construction method of uncertain type one-dimensional elementary dependent function in three nested intervals by the interval distance; producing the interval position value formula in three nested intervals; developing the uncertain type elementary dependent function; and ultimately verifying the related theorem obtained. This research suggests that the above method could work more effectively for the uncertain type one-dimensional elementary dependent function developed out of the consideration of unacceptable interval, acceptable interval and satisfied interval and promises a wider application of extenics theory.

dependent function; interval distance; interval position value; three nested intervals; uncertain type

2015-12-07

黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(QC2015055)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12531577)；中國礦業(yè)大學(xué)(北京)博士研究生拔尖創(chuàng)新人才培育基金項(xiàng)目(20150606)

陳孝國(1978-)，男，黑龍江省克東人，副教授，博士，研究方向：復(fù)雜決策理論，E-mail：kjdxcxg@sohu.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.01.023

N945.16

2095-7262(2016)01-0106-04

A