樊　夢(mèng)，王同科

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)三次插值公式余項(xiàng)估計(jì)

樊夢(mèng)，王同科

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

利用局部分?jǐn)?shù)階Taylor公式，導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)等距節(jié)點(diǎn)三次Lagrange插值公式余項(xiàng)的精確估計(jì)式，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析的正確性

局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；分?jǐn)?shù)階Taylor公式；三次插值；余項(xiàng)估計(jì)；收斂階

1　引言及預(yù)備知識(shí)

插值法［1-2］是利用函數(shù)f（x）在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在其他點(diǎn)上用這些特定函數(shù)的值作為f（x）近似值的方法.設(shè)f（x）在某區(qū)間上有定義，xi，i=0，1，…，n為該區(qū)間上互不相同的n+1個(gè)點(diǎn)，多項(xiàng)式插值就是求一個(gè)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式pn（x），使得pn（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.pn（x）的Lagrange表示形式為pn（x）=其中插值基函數(shù)

當(dāng)f（x）∈C［a，b］時(shí)，pn（x）的差商型余項(xiàng)為

許多學(xué)者對(duì)不同的插值問(wèn)題做了深入研究.文獻(xiàn)［3］研究了連續(xù)函數(shù)非等距節(jié)點(diǎn)線性插值的誤差估計(jì).文獻(xiàn)［4］總結(jié)了一些插值的收斂性問(wèn)題.文獻(xiàn)［5］給出了分段光滑函數(shù)的誤差估計(jì)式.雖然差商型余項(xiàng)對(duì)函數(shù)的光滑性要求很弱，但其無(wú)法給出插值余項(xiàng)的精確刻畫(huà).文獻(xiàn)［6］對(duì)于分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)的線性和二次插值函數(shù)，給出了插值余項(xiàng)的精確刻畫(huà)，其中使用的主要工具是局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)［7-11］.本研究在分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)二次插值公式余項(xiàng)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出了三次插值公式的余項(xiàng)表達(dá)式，并通過(guò)一些具體實(shí)例，借助Mathematica［12］程序驗(yàn)證余項(xiàng)估計(jì)式的正確性.

定義1［8-9］（KG局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)）設(shè)f（x）∈Ck［a，b］，給定x0∈［a，b］，若存在k＜α＜k+1，使得極限存在且有限，則稱(chēng)f（x）在x=x0處的局部α階右（+）或左（-）導(dǎo)數(shù)存在.進(jìn)一步，若式（1）的極限存在且為非零有限值，則稱(chēng)此時(shí)的α為臨界階.

注式（1）右端按Riemann-Liouville定義理解.

引理1［13］設(shè)f（x）∈C［a，b］，給定x0∈［a，b］，若存在，其中k＜α0＜k+1為臨界階，則

定義2［6，9］對(duì)于式（2）給出的余項(xiàng)若存在α1＞α0，使得

則定義f（x）在x=x0的α1階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

由式（3）可得

引理2［6］設(shè)f（x）∈Ck［a，b］且在x=x0處存在k＜α0＜α1＜…＜αn階局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，則f（x）的分?jǐn)?shù)階Taylor公式為

引理3［6］（二次插值公式余項(xiàng)估計(jì)）設(shè)函數(shù)f（x）∈C［x0，x2］，且f（x）在x0點(diǎn)局部α0（0＜α0＜3非整數(shù)）階可導(dǎo)，在其他點(diǎn)充分光滑，則經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)（x0，f（x0））、（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的二次插值余項(xiàng)主項(xiàng)在0＜ α0＜1、1＜α0＜2和2＜α0＜3時(shí)分別如下式所示.

2　分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)三次插值公式余項(xiàng)估計(jì)

給定函數(shù)f（x）∈C［x0，x3］，設(shè)f（x）在x0點(diǎn)局部α0（0＜α0＜4非整數(shù)）階可導(dǎo)，在區(qū)間［x0，x3］上其他點(diǎn)充分光滑.在區(qū)間（x0，x3）內(nèi)插入節(jié)點(diǎn)x1和x2，為使以下推導(dǎo)簡(jiǎn)便，假定節(jié)點(diǎn)分布是等距的，并記h=xi-xi-1，i=1，2，3.經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值函數(shù)及差商型余項(xiàng)分別為

為方便，僅考慮插值余項(xiàng)主項(xiàng)，即在f（x）關(guān)于x0的分?jǐn)?shù)階Taylor公式中，簡(jiǎn)單假定

由差商性質(zhì)得

式（12）、式（14）、式（16）和式（18）分別給出了α0取不同值時(shí)三次插值函數(shù)的余項(xiàng)估計(jì)，對(duì)其進(jìn)行綜合，可得到三次插值函數(shù)余項(xiàng)的完整估計(jì).

設(shè)f（x）在x0的分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)式為

其中r（x）在［x0，x3］上四階可導(dǎo).由以上討論，可得如下定理.

定理設(shè)函數(shù)f（x）∈C［x0，x3］，且在x0點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)式為式（19），而f（x）在區(qū)間［x0，x3］上其他點(diǎn)充分光滑.在區(qū)間（x0，x3）內(nèi)插入等距節(jié)點(diǎn)x1和x2，并記h=xi-xi-1，i=1，2，3，則經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值余項(xiàng)為

以上討論均假定函數(shù)f（x）在插值區(qū)間左端點(diǎn)存在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，若f（x）在插值區(qū)間右端點(diǎn)存在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，則使用左導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)階Taylor公式可得同樣結(jié)果.

3　數(shù)值算例

下面通過(guò)幾個(gè)具體函數(shù)來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)階光滑函數(shù)三次插值余項(xiàng)主項(xiàng)估計(jì)的正確性.

例1求函數(shù)f（x）=x1/3arcsin x在區(qū)間［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］及［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大誤差.

首先考慮f（x）在［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］上的三次插值最大誤差.將這些區(qū)間都剖分為3等份，即h依次為1/6、1/18、1/54、1/162，分別構(gòu)造不同區(qū)間上的三次插值函數(shù)，在每個(gè)區(qū)間上求最大絕對(duì)插值誤差，記為結(jié)果見(jiàn)表1.

表1　例1中函數(shù)在x=0點(diǎn)附近三次插值的最大絕對(duì)誤差及數(shù)值收斂階Tab.1　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=0 in example 1

表1中數(shù)值收斂階oh=log3（εh/εh/3）.由表1知，當(dāng)步長(zhǎng)h減少時(shí)，插值最大誤差緩慢減少.由f（x）在x=0點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)式

可知f（x）在x=0點(diǎn)僅4/3階可導(dǎo)，與表1中的數(shù)值收斂階非常接近，說(shuō)明理論分析完全正確.

再求函數(shù)f（x）=x1/3arcsin x在區(qū)間［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大誤差.將這些區(qū)間都剖分為3等份，即h依次為1/6、1/18、1/54、1/162，分別構(gòu)造不同區(qū)間上的三次插值函數(shù)，在每個(gè)區(qū)間上求最大絕對(duì)插值誤差，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2　例1中函數(shù)在x=1點(diǎn)附近三次插值的最大絕對(duì)誤差及數(shù)值收斂階Tab.2　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=1 in example 1

將f（x）在x=1處進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)，得

由表2知數(shù)值收斂階與理論收斂階1/2非常接近.

例2f（x）=x2/7（x3-x2-x+1）3/4arcsin（1-x），該函數(shù)在x=1處分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)，插值區(qū)間及最大絕對(duì)誤差見(jiàn)表3.

表3　例2中函數(shù)三次插值的最大絕對(duì)誤差及數(shù)值收斂階Tab.3　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 2

將f（x）在x=1處進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)，得

由表3知數(shù)值收斂階與理論收斂階5/2非常接近.

例3f（x）=exp（（1-x）1/3）（x3-x2-x+1）3/4· arcsin2（1-x），該函數(shù)在x=1處分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)，插值區(qū)間及最大絕對(duì)誤差見(jiàn)表4.

表4　例3中函數(shù)三次插值的最大絕對(duì)誤差及數(shù)值收斂階Tab.4　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 3

將f（x）在x=1處進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Taylor展開(kāi)，得

由表4知數(shù)值收斂階與理論收斂階7/2比較接近，但與前2個(gè)例子相比誤差較大，主要原因在于f（x）在x= 1處的分?jǐn)?shù)階Taylor公式的前3項(xiàng)臨界階分別為7/2、23/6、25/6，它們比較接近，相互影響，導(dǎo)致數(shù)值收斂階計(jì)算誤差較大.

例1～例3表明函數(shù)的光滑性與插值收斂速度密切相關(guān)，函數(shù)的光滑性越低，則收斂階越小，插值收斂速度越慢.這些例子也驗(yàn)證了本研究得到的余項(xiàng)估計(jì)式完全正確.

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（責(zé)任編校馬新光）

Remainder estimation of cubic Lagrange interpolation for fractional smooth functions

FAN Meng，WANG Tongke
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The sharp remainder estimation of cubic Lagrange interpolation with equidistant nodes is derived for fractional smooth functions based on local fractional Taylor's formula.Numerical examples verify the correctness of the theoretical analysis.

local fractional derivative；fractional Taylor's formula；cubic interpolation；remainder estimation；convergence order

O241.3

A

1671-1114（2016）02-0001-05

2015-05-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471166）.

樊夢(mèng)（1990—），女，碩士研究生．

王同科（1965—），男，教授，主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究．