杜　瑞，王玉玉

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

Adams譜序列的一些注記

杜瑞，王玉玉

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

利用May譜序列證明了，當n＞3時，乘積元素是非平凡的，并且和h0gn在Adams譜序列中不是dr（r≥2）邊緣，其中：p≥5，q=2（p-1）.

May譜序列；Ext群；Adams譜序列；dr微分；非平凡性

設(shè)p≥5為任意奇素數(shù)，A為模p的Steenrod代數(shù)，S為球譜.研究球面穩(wěn)定同倫群的一個重要也很有效的工具是Adams譜序列［1］：其中是A的上同調(diào).如果中的一族生成元xi在Adams譜序列中是永久循環(huán)且非平凡地收斂到π*S中的一個同倫元素fi，則fi在Adams譜序列中有濾子s，并由表示.證明一個元素在Adams譜序列中永久循環(huán)且收斂到π*S中的一個非零元，一般需要做3項工作∶①證明該元素非平凡；②證明其不是dr（r≥2）邊緣；③研究由Adams譜序列向π*S擴張的問題.文獻［2］在證明乘積元素的收斂性時，即做了以上3項工作.然而，到目前為止，對包含第四希臘字母類元素的乘積元素進行考查時，后2方面問題并沒有結(jié)論.如文獻［3］僅證明了乘積元素的非平凡性.本研究考查乘積元素對其做前2項工作，為進一步發(fā)掘球面穩(wěn)定同倫群的新元素做準備，而做這2項工作的有力工具是May譜序列.

1　Ext群和May譜序列的一些預(yù)備知識

引理令t=q（cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0）+e為正整數(shù)，0≤ci＜p（0≤i＜n），0＜cn＜p，0≤e＜q.設(shè)s為任意正整數(shù)，0＜s＜p，如果e＞s，那么在May譜序列中有

2　主要結(jié)果

定理1當p≥5，n＞3時，有

注由本節(jié)定理，可以進一步考慮本研究所考查的2個元素與希臘字母類元素α（n）s（n=1，2，3，4）復(fù)合后的乘積元素的收斂性，從而發(fā)掘出更多的球面穩(wěn)定同倫群中的非平凡元素.

［1］ADAMS J F.Stable Homotopy and Generalised Homology［M］.Chicago∶Univeristy of Chicago Press，1974.

［2］LIU X G.A nontrivial product of filtration s+5 in the stable homotopy of spheres［J］.Acta Mathematica Sinica，2007，23（3）：385-392.

［3］ZHONG L N，LIU X G.Non-triviality of the productin the Adams spectral sequence［J］.Acta Mathematica Scientia，2014，34（2）∶274-282.

［4］LIULEVICIUS A.The factorizations of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations［J］.Mem Amer Math Soc，1962，42：1-112.

［5］AIKAWA T.3-dimensional cohomology of the mod p Steenrod algebra［J］.Mathematica Scandinavica，1980，47：91-115.

［6］RAVENEL D C.Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres［M］.Orlando∶Academic Press，1986.

（責任編校馬新光）

Some notes on Adams spectral sequence

DU Rui，WANG Yuyu
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

By using the May spectral sequence，it is proved that the two productsare nontrivial，and both of them are not the dr-boundary in the Adams spectral sequence，where n＞3，p≥5，q=2（p-1）.

May spectral sequence；Ext group；Adams spectral sequence；dr-differential；nontriviality

O189.23

A

1671-1114（2016）02-0006-04

2015-07-16

國家自然科學(xué)基金資助項目（11301386）；天津市青年骨干教師資助計劃項目（ZX110QN044）；天津師范大學(xué)博士基金資助項目（52XB1011）.

杜瑞（1991—），女，碩士研究生.

王玉玉（1979—），女，教授，主要從事球面穩(wěn)定同倫群方面的研究.