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【摘要】從平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中遇到的困惑出發(fā)，比較分析了平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的內(nèi)涵、數(shù)量關(guān)系和應(yīng)用中需要注意的主要方面，堅(jiān)信以不唯書、不唯上的科學(xué)態(tài)度對待學(xué)習(xí)，以更好地解決社會生活中的實(shí)際問題.

【關(guān)鍵詞】平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；應(yīng)用

目前，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)在中學(xué)和大學(xué)中都要學(xué)習(xí)，并且在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，但是，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中還存在一些有爭議的問題.本文將從平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者的內(nèi)涵比較、數(shù)量關(guān)系和應(yīng)用問題進(jìn)行分析，以期促進(jìn)學(xué)習(xí)時多思考、多參閱文獻(xiàn)，真正掌握所學(xué)知識，并更好地應(yīng)用于實(shí)踐中.

1平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的內(nèi)涵比較

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢特征的數(shù)值.其中，平均數(shù)分為廣義平均數(shù)和狹義平均數(shù)，廣義的平均數(shù)分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)，數(shù)值平均數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)，這些平均數(shù)都是根據(jù)同一現(xiàn)象數(shù)據(jù)來計算，用以反映現(xiàn)象在具體條件下一般水平、集中趨勢.位置平均數(shù)包括中位數(shù)和眾數(shù)，主要根據(jù)現(xiàn)象數(shù)據(jù)在一定位置確定現(xiàn)象集中趨勢的數(shù)據(jù).本論文所研究的平均數(shù)是指狹義的平均數(shù)，即算術(shù)平均數(shù)，在本論文后面部分的如不加特別注明都指算術(shù)平均數(shù).狹義平均數(shù)是現(xiàn)象中的所有個體的某一數(shù)據(jù)總和除以個體總數(shù)而計算的平均數(shù).在實(shí)際生活中用得最為廣泛，如班級平均成績、平均身高、平均年齡，企業(yè)員工的平均工資等.

在理解平均數(shù)內(nèi)涵時，要注意同一現(xiàn)象和包含的個體數(shù)據(jù)，如果不是同一現(xiàn)象或者計算的個體數(shù)不是計算現(xiàn)象的個體數(shù)，就不能理解為平均數(shù).舉個例子說明：人均糧食產(chǎn)量和人均糧食消耗量，這兩個數(shù)據(jù)看上去很相似，并且都有人均，其實(shí)只有人均糧食消耗量是平均數(shù)，而人均糧食產(chǎn)量不是平均數(shù).如2015年全國糧食總產(chǎn)量為124287億斤、全國糧食消耗總量為348758億斤、中國總?cè)丝跀?shù)量為136782億人，那么計算人均糧食產(chǎn)量時用124287億斤除以136782億人等于90866斤/人，在人均糧食產(chǎn)量中的總?cè)藬?shù)136782億人中包含了沒有生產(chǎn)糧食的在校學(xué)生等，所以人均糧食產(chǎn)量從形式上看是平均數(shù)，其實(shí)它沒有平均數(shù)的內(nèi)涵，不能作為平均數(shù).計算人均糧食消耗量時用348758億斤除以136782億人等于2549斤/人，因?yàn)椴还苁谴笕诉€是小孩，每個人都要消費(fèi)糧食，也就是2015年中國總?cè)丝跀?shù)量為136782億的人們消耗了糧食總量為348758億斤，對人們消耗糧食這個現(xiàn)象來說，包含了所有的人們個體數(shù)，所以，人均糧食消耗量具有平均數(shù)的內(nèi)涵，它是一個平均數(shù).

中位數(shù)是指某一現(xiàn)象中某一數(shù)據(jù)按大小順序排列、居于中間位置的那個數(shù)據(jù).如某中學(xué)1班有51名同學(xué)，一次考試中，按某科成績從小到大依次排列，排在中間的學(xué)生成績是85分，那么如果用中位數(shù)來反映1班全體同學(xué)的平均成績就是85分；又如2班有50名同學(xué)，這時排在中間位置就有兩名同學(xué)，確定2班同學(xué)的成績中位數(shù)時就用中間兩名同學(xué)成績的算術(shù)平均數(shù)來反映.

眾數(shù)是指某現(xiàn)象中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)就是眾數(shù).在一個現(xiàn)象中可能有眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)，最典型的就是如果這一現(xiàn)象所有數(shù)據(jù)都一樣大小，沒有哪個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)比其他數(shù)據(jù)多，這時就無法確定眾數(shù).所以，只有在現(xiàn)象的數(shù)據(jù)個數(shù)比較多，而且又有某一個或多個出現(xiàn)的次數(shù)明顯比其他數(shù)據(jù)多時才存在眾數(shù)，并且眾數(shù)不像算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)，它可以有多個，若有多個數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)相等的眾數(shù)就稱為復(fù)眾數(shù).

2平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的數(shù)量關(guān)系

關(guān)于算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，大多數(shù)教材上的觀點(diǎn)認(rèn)為這三者之間的數(shù)量關(guān)系與總體的分布特征有關(guān)：（1）現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈無偏分布時，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等（見圖1）；（2）現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈左偏分布時，平均數(shù)小于中位數(shù)，中位數(shù)小于眾數(shù)（見圖2）；（3）現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈右偏分布時，眾數(shù)小于中位數(shù)，中位數(shù)小于平均數(shù)（見圖3）.

圖1對稱分布圖2左偏分布圖3右偏分布江海峰（2007）從不同變量類型和偏度下抽取數(shù)據(jù)分析了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，指出了現(xiàn)行教材關(guān)于三者關(guān)系的結(jié)論存在的問題[1].他認(rèn)為當(dāng)現(xiàn)象數(shù)據(jù)無偏分布時，始終存在平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等.當(dāng)現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈左偏分布時，在離散型分布情況下，并不是平均數(shù)始終小于中位數(shù)，中位數(shù)始終小于眾數(shù)，還有眾數(shù)和中位數(shù)相等并且大于平均數(shù)，也有眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者相等情況，可見，當(dāng)現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈左偏分布時，還有平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)以外情形，大多教材上的觀點(diǎn)不夠全面.當(dāng)現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈右偏分布時，在離散型分布下，存在平均數(shù)等于中位數(shù)且大于眾數(shù)情況，還存在平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者相等情況.可見，當(dāng)現(xiàn)象數(shù)據(jù)呈右偏分布時，還有眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)以外情形，教材上的觀點(diǎn)也不夠全面.

3平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用問題

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均值的大小，常用來代表一組數(shù)據(jù)的“一般水平”.在實(shí)際應(yīng)用中，可以進(jìn)行同類現(xiàn)象在不同空間、不同時間上的對比，可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系，也可以作為論斷事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考，但是當(dāng)數(shù)據(jù)中有“異常數(shù)”時，通常會出現(xiàn)不能科學(xué)反映現(xiàn)象本質(zhì)[2].

平均數(shù)是現(xiàn)象數(shù)據(jù)的代表值，在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，在應(yīng)用中要注意是否有實(shí)際意義.1831年，魁特奈特（A.Quetelet，1796—1874）提出了“平均人”的概念，他認(rèn)為“平均人”是在重要指標(biāo)上都具有某群體中一切個體相應(yīng)指標(biāo)的平均值的人，“平均人”實(shí)際生活中是不存在的[3].又如對“平均每個家庭有27個人”，顯然人也不可能是07個人.如一句順口溜就說明了平均數(shù)存在的問題：“有個暴富張千萬，鄰居九個窮光蛋，專家統(tǒng)計平均數(shù)，都是張百萬”.另外一個典型例子，如果某班有50名同學(xué)，前25名同學(xué)考試成績都在80分以上，而后25名同學(xué)考試成績都在60分以下，如果計算平均數(shù)出的平均成績?yōu)?0分，這時的平均數(shù)70分也沒有實(shí)際意義，根本沒有同學(xué)是70分或集中在70分左右.顯然，這些平均數(shù)，根本不能反映實(shí)際情況，完全失去了實(shí)際意義.所以，計算平均數(shù)存在實(shí)際意義，現(xiàn)象沒有異常數(shù)據(jù)，并且分布比較均衡，適宜使用平均數(shù)來代表現(xiàn)象集中趨勢[4].在現(xiàn)象的數(shù)據(jù)比較均勻分布時，平均數(shù)能比較科學(xué)地反映現(xiàn)象本質(zhì)特征，平均數(shù)的代表性比較強(qiáng)，理解也容易，才有足夠說服力.

中位數(shù)總體來說，因?yàn)樗焕昧爽F(xiàn)象中個別數(shù)據(jù)來確定集中趨勢，代表性和可靠性都比較差.一般情況下，現(xiàn)象存在極大或極小值等異常數(shù)據(jù)時，才用中位數(shù)來描述現(xiàn)象的規(guī)律和特征.如前面提到的“暴富張千萬”的例子，如果用中位數(shù)來反映他們的收入就比較科學(xué)合理了，而不是大多集中在百萬元收入，也不會讓人們難以理解.再比如大家關(guān)心的住房現(xiàn)象，如果某人有幾十套、甚至幾百套房產(chǎn)，并且都是大面積房產(chǎn)，在一定范圍內(nèi)如果用平均數(shù)來反映居民的住房面積，就不能夠真實(shí)地反映現(xiàn)象本質(zhì)，這時應(yīng)用中位數(shù)卻能比較好地反映人們的居住面積.在應(yīng)用中位數(shù)時，我們還需要注意另外一個問題，首先對給定現(xiàn)象的數(shù)據(jù)按從小到大或者從大到小進(jìn)行排序后，處在中間位置的那個數(shù)（奇數(shù)個數(shù)時）或處在中間位置的那兩個數(shù)（偶數(shù)個數(shù)時）的算術(shù)平均數(shù)，而不是直接找到數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)，因?yàn)楫?dāng)一個現(xiàn)象的數(shù)據(jù)隨便編排時，處于中間的數(shù)是發(fā)生變化的，只有將現(xiàn)象數(shù)據(jù)按大小順序排序后，中間位置的數(shù)才是確定的，也就確定了一個現(xiàn)象的中位數(shù).

眾數(shù)作為現(xiàn)象數(shù)據(jù)的代表時，也只用了個別數(shù)據(jù)來反映現(xiàn)象集中趨勢，可靠性也比較差.在現(xiàn)象的數(shù)據(jù)中如果存在異常數(shù)據(jù)，為了去除這些異常數(shù)據(jù)的影響，用出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)來反映現(xiàn)象的集中趨勢，是比較科學(xué)合理的.在實(shí)際生活中，眾數(shù)通常應(yīng)用在不確定情況下或?yàn)榱耸r省力而對結(jié)果影響不大的情況下.例如，農(nóng)貿(mào)市場每天菜農(nóng)賣的蔬菜價格、商場中銷售的衣服的尺寸、鞋的尺寸等等是根據(jù)眾數(shù)來確定的.這些數(shù)據(jù)的代表性如果用平均數(shù)來反映，幾乎是不可能的，也沒必要，應(yīng)用眾數(shù)就更具有現(xiàn)實(shí)意義.

總之，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)仍然在實(shí)際生活中廣泛應(yīng)用，但是在應(yīng)用時一定要結(jié)合現(xiàn)象的具體情況來分析.社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有“橄欖球”型、“啞鈴”型、“J”型和“反J”型等，有的現(xiàn)象的數(shù)據(jù)是不適合用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來反映其本質(zhì)特征的，就可以分成不同階段、考慮權(quán)重進(jìn)行分析，并結(jié)合極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等手段進(jìn)行比較研究，才能更好地揭示現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，更好地發(fā)揮平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)在實(shí)際生活中的作用.

參考文獻(xiàn)

[1]江海峰.算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)之間關(guān)系的再探討[J].統(tǒng)計教育，2007（10）：37-39.

[2]范召霞.幫你分辨平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)[J].初中生輔導(dǎo)，2012（72）：35-39.

[3]吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報，2013（11）：16-21.

[4]唐芳.算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的合理運(yùn)用[J].中國統(tǒng)計，2008（3）：49-50